新高考二輪復習真題源講義第24講 定值問題（原卷版）

第24講定值問題一．解答題（共19小題）1．已知中心為坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線過點，且點在軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）命題：“過橢圓的一個焦點作與軸不垂直的任意直線”交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線，過該圓錐曲線焦點的弦，的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點，的長度與、兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關于拋物線的類似的正確命題，并加以證明．（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．2．已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點，且點在軸的射影恰為該橢圓的一個焦點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓的一個焦點作與軸不垂直的任意直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由．3．已知橢圓，離心率分別為左、右焦點，橢圓上一點滿足，且△的面積為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點．過點且平行于的直線交橢圓于點，，證明：為定值．4．已知橢圓的離心率為，上頂點到直線的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓相交于，兩點，且，求直線方程；（注意用兩種方法作答，每種方法4分）（3）設直線過點且與橢圓相交于，兩點，不經(jīng)過點，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值．5．已知橢圓，的離心率等于，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，是否存在定直線，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由．6．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，上頂點在直線上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于，兩點，不是橢圓的頂點）．點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于，兩點．設直線，的斜率分別為，，問是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；求面積的最大值．7．已知橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點，是右準線與軸的交點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上頂點的直線交橢圓另一點，交軸于點，若，求直線的方程；（3）設點，過點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點，試問是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．8．已知橢圓的右焦點為，過作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點，線段的中垂線交軸于點．（1）若，求點坐標；（2）問：是否為定值．9．已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的一個動點，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點，第一象限點在橢圓上且滿足軸，連接，，記直線，，的斜率分別為，，，探索是否為定值，若是求出；若不是說明理由．10．已知橢圓的離心率為，過橢圓的左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，且橢圓截直線所得弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍；（3）試問在軸上是否存在一點，使得恒為定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．11．在平面直角坐標系中，橢圓．（1）若橢圓的焦點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，①是橢圓上的動點，點的坐標為，求的最小值及對應的點的坐標；②過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：是定值，并求出這個定值．12．已知左焦點為的橢圓過點，過右焦點分別作斜率為，的橢圓的動弦，．設點，分別為線段，的中點．（1）求橢圓的標準方程；（2）求三角形面積的最大值；（3）若，①求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標．②求證：點到直線，的距離的平方和為定值．13．已知橢圓中，以為中點的弦所在直線的方程是．（1）求橢圓的方程；（2）設點為橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值．14．如圖，已知拋物線的焦點到直線的距離為．是過拋物線焦點的動弦，是坐標原點，過，兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點．（1）求證：．（2）若動弦不經(jīng)過點，直線與準線相交于點，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得在弦運動時恒成立？若存在，求的值；若不存在，說明理由．15．已知，分別為橢圓的左、右焦點，焦距為2，過作斜率存在且不為零的直線交于，兩點，且△的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）已知弦的垂直平分線交軸于點，求證：為定值．16．已知圓的圓心坐標為，且該圓經(jīng)過點．（1）求圓的標準方程；（2）若點也在圓上，且弦長為8，求直線的方程；（3）直線交圓于，兩點，若直線，的斜率之積為2，求證：直線過一個定點，并求出該定點坐標．（4）直線交圓于，兩點，若直線，的斜率之和為0，求證：直線的斜率是定值，并求出該定值．17．已知圓的方程為，直線，設點，．（1）若點為，試判斷直線與圓的位置關系；（2）若點在圓上，且，，過點作直線，分別交圓于，兩點，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①若直線過點，求直線的斜率；②試問：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．18．已知橢圓的左、右焦點分別是，，直線與橢圓交于點，兩點，當，是橢圓的頂點，且△的周長為6．（1）求橢圓的方程；（2）若，，在直線上的射影分別為，，，連接，當變化時，證明直線與相交于一定點，并求出該定點的坐標；（3）設橢圓的左頂點為，直線，與直線分別相交于點，，試問：當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，