新高考二輪復(fù)習(xí)真題源講義第24講 定值問(wèn)題（解析版）

第24講定值問(wèn)題參考答案與試題解析一．解答題（共19小題）1．已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）命題：“過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線”交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線，過(guò)該圓錐曲線焦點(diǎn)的弦，的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，的長(zhǎng)度與、兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線的類似的正確命題，并加以證明．（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)雙曲線的方程為點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為可得的另一個(gè)焦點(diǎn)為（1分）由（3分），又，所以（4分）雙曲線的方程為（Ⅱ）關(guān)于拋物線的類似命題為：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線交拋物線于點(diǎn)，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，定值是2（6分）證明如下：由于直線與軸不垂直，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程可得由題意與有兩個(gè)交點(diǎn)，，則，△設(shè)，，，則，，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)（8分）的垂直平分線的方程為令可得，即，（9分）（10分）（Ⅲ）過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)，則為定值，定值是（其中是圓錐曲線的離心率）（13分）（法二）由題意可設(shè)雙曲線的方程為（1分）由已知可得（3分）解可得，雙曲線的方程為（4分）（Ⅱ），（Ⅲ）同法一2．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的射影恰為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說(shuō)明理由．【解答】解：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的射影恰為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)橢圓方程為，把代入，得：，整理，得，解得，或，橢圓的方程為（4分）“過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作與軸不垂直的任意直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則為定值，且定值是4”（5分）證明如下：由于與軸不垂直，可設(shè)直線的方程為①當(dāng)時(shí)，由．依題意與有兩個(gè)交點(diǎn)、，所以△．設(shè)，，，，則，，所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，（7分）的垂直平分線的方程為：．令，解得，即，所以．（9分）又，（10分）所以．（11分）②時(shí)，易得結(jié)論成立．綜上所述，結(jié)論成立．^（12分）3．已知橢圓，離心率分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，且△的面積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，，證明：為定值．【解答】（1）解：方法一：由離心率，得：，所以，橢圓上一點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)為圓：與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得，所以，解得：，，所以柯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．方法二：由橢圓定義；，，得到：，即，又，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）證明：設(shè)直線的方程為：．得，，設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線方程：，．4．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)到直線的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線方程；（注意用兩種方法作答，每種方法4分）（3）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值．【解答】解：（1）橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)到直線的距離為3，，解得，，橢圓的方程為：．（2）方法一（點(diǎn)差法），設(shè)，，，，，，為的中點(diǎn)，，兩式相減可得，即，，，直線方程為，即；方法二：易知直線的斜率存在，不妨設(shè)為，則直線的方程為，即，由，消可得，，設(shè)，，，，，，為的中點(diǎn)，，，解得，即直線為，即；（3）證明：易知直線斜率恒小于0，設(shè)直線的方程為，且，設(shè)，，，．由得，，，由（1）得，，，，，（定值）．5．已知橢圓，的離心率等于，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是否存在定直線，使得與的交點(diǎn)總在直線上？若存在，求出一個(gè)滿足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）橢圓，的離心率等于，點(diǎn)在橢圓上．，解得，，．橢圓的方程為．（2）當(dāng)軸時(shí)，，，直線、的方程分別為，．分別化為：，．聯(lián)立解得．猜測(cè)常數(shù)．即存在定直線，使得與的交點(diǎn)總在直線上．證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，，，，，．聯(lián)立，化為．，．，，，三點(diǎn)，，共線．，由于，，，要證明三點(diǎn)，，共線．即證明．即證明，而，成立．存在定直線，使得與的交點(diǎn)總在直線上．綜上可知：存在定直線，使得與的交點(diǎn)總在直線上．6．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)在直線上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，不是橢圓的頂點(diǎn)）．點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；求面積的最大值．【解答】解：上頂點(diǎn)在直線上，，由得，即，橢圓的方程為；存在實(shí)數(shù)，使得．設(shè)，，，，則，直線的斜率，，直線的斜率，設(shè)直線的方程為，由題意知，，由得，，由題意知，，直線的方程為，令，得，即，，即，存在常數(shù)使得結(jié)論成立．直線的方程，令，得，即，由知，，的面積為由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，面積的最大值為．7．已知橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，是右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓上頂點(diǎn)的直線交橢圓另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可知，，由，解得，，所以，所以橢圓的方程：；（2）由（1）知，設(shè)，，由，，，得，所以，代入橢圓方程得，解得．所以，，因此的方程為：；（3）設(shè)直線的方程，，，，，聯(lián)立方程組，消去，整理得：，則，，，所以，直線的方程為，又，令，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，所以．因此為定值，定值為0．8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于點(diǎn)．（1）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）問(wèn)：是否為定值．【解答】解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，，設(shè)，由橢圓的第二定義得：，解得，，在橢圓上，，解得，，或，．（2）設(shè)直線的方程為，不妨取，，把，代入直線，得，直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，，，，，的中點(diǎn)，，直線的方程為，令，得，，，，故為定值．9．已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，第一象限點(diǎn)在橢圓上且滿足軸，連接，，記直線，，的斜率分別為，，，探索是否為定值，若是求出；若不是說(shuō)明理由．【解答】解：（1）橢圓的離心率為，△面積的最大值為，，解得，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，軸，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，，故為定值，定值為．10．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且橢圓截直線所得弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）試問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意橢圓過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為，則滿足方程組，解得，，所以橢圓方程為，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理得，△，設(shè)點(diǎn)，，，，，，的中點(diǎn)，，則，所以，的垂直平分線的方程為，令得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．（3）假設(shè)存在，設(shè)，．結(jié)合第（2）問(wèn)知：，所以所以設(shè)則對(duì)任意恒成立，所以，解得，，所以存在點(diǎn)，使得為定值．11．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓．（1）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，①是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：是定值，并求出這個(gè)定值．【解答】解：（1）由題意得，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）因?yàn)椋詸E圓的方程為，①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為；②由，，得，即，從而橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右準(zhǔn)線方程為，離心率，設(shè)，，，，的中點(diǎn)，，則，，兩式相減得，，即，令，則線段的垂直平分線的方程為，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即為定值?2．已知左焦點(diǎn)為的橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)分別作斜率為，的橢圓的動(dòng)弦，．設(shè)點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求三角形面積的最大值；（3）若，①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．②求證：點(diǎn)到直線，的距離的平方和為定值．【解答】（1）解：由題意，且右焦點(diǎn)，，．所求橢圓方程為：；（2）解：設(shè)，，，，設(shè)方程為．由，得．，．三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；（3）①證明：由題意，，令直線的斜率為，則的斜率為，設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得．，．；同理可得，．直線的斜率，直線的方程為，即，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)；②證明：直線的方程為，即，直線的方程為，即．則點(diǎn)到距離的平方，到距離的平方．點(diǎn)到直線，的距離的平方和為，為定值．13．已知橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：為定值．【解答】解：（1）設(shè)，，，，則，兩式相減得，，所以，即．又所在直線的方程是，所以，，，所以，．故橢圓的方程是．（2）設(shè)直線交橢圓于，，，，由，消去得，．因此，．于是．故為定值，且為15．14．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為．是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)弦，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若動(dòng)弦不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，．問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得在弦運(yùn)動(dòng)時(shí)恒成立？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）證明：，由到直線的距離為，即，故拋物線方程為，，依題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得：，設(shè)，，，，，，，，；（2）將代入得，，，，，若有成立，則有解得，故存在，使成立．15．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為2，過(guò)作斜率存在且不為零的直線交于，兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2）已知弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求證：為定值．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，解得，由橢圓的定義可得△的周長(zhǎng)為，又因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為8，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，，所以，，設(shè)的中點(diǎn)為，，所以，，當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為，令，得，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以，綜上，．16．已知圓的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)也在圓上，且弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）直線交圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為2，求證：直線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．（4）直線交圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為0，求證：直線的斜率是定值，并求出該定值．【解答】解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，把代入得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①不存在時(shí)，根據(jù)題意，直線的方程為：；②存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，則，所以，根據(jù)弦長(zhǎng)為8，可得，所以，所以直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或；（3）當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)，，直線，的斜率之積為2，，，即，點(diǎn)在圓上，，聯(lián)立，無(wú)解，舍去，當(dāng)直線存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，①聯(lián)立方程，所以，代入①得，化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為：，所以過(guò)定點(diǎn)．（4）設(shè)直線，聯(lián)立方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以，故直線的斜率是定值，且為．17．已知圓的方程為，直線，設(shè)點(diǎn)，．（1）若點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）若點(diǎn)在圓上，且，，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交圓于，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①若直線過(guò)點(diǎn)，求直線的斜率；②試問(wèn)：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，直線與圓相交．（5分）（2）①由點(diǎn)在圓上，且，，得，即．由題意，是圓的直徑，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，且．又直線和的斜率互為相反數(shù)，所以（7分）直線的方程為，由得：，解得：或，所以直線的斜率為．（10分）②記直線的斜率為，則直線的方程為：．將代入圓的方程得：，化簡(jiǎn)得：，是方程的一個(gè)根，，，由題意知：，同理可得，，（13分），，不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值．（16分）18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，當(dāng)，是橢圓的頂點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為6．（1）求橢圓的方程；（2）若，，在直線上的射影分別為，，，連接，當(dāng)變化時(shí)，證明直線與相交于一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線，與直線分別相交于點(diǎn)，，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，由題意得，解得，，，橢圓的方程為；（2）由（1）知，，直線的方程為，設(shè)，，，，由，可得．．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，下面證明過(guò)定點(diǎn)，由題意可知，，，．，即過(guò)定點(diǎn)，同理可證也過(guò)定點(diǎn)，直線與相交于一定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）由題意可得直線的方程為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得，設(shè)為以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，以為直徑的圓的方程為．令，則．即，即，即