西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù)第5章相似矩陣

課程名稱:線性代數(shù)章節(jié)名稱:相似矩陣SimilarMatrix相似矩陣逆陣問題的引入：

假設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?，人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問十年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？相似矩陣逆陣解：令人口變量

其中為市區(qū)人口所占比例，為郊區(qū)人口所占比例，k表示年份的次序。在k0的初始狀態(tài)為：一年以后，市區(qū)人口為相似矩陣逆陣郊區(qū)人口為用矩陣乘法可寫成：從初始時(shí)間到k年，A不變，因此問題：如何用簡便的方法求方陣A

的高次冪？相似矩陣一、基本概念

設(shè)有階方陣，如果存在可逆陣，使得，則稱是的相似矩陣，或說與相似。運(yùn)算稱為對進(jìn)行相似變換，稱為把變成的相似變換矩陣。相似矩陣定理：

若階方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同。相似矩陣二、性質(zhì)若階方陣與對角陣推論：則是的個(gè)特征值。相似，相似矩陣二、性質(zhì)思考：與特征向量之間的關(guān)系？

若是矩陣A對應(yīng)于特征值的特征向量，則就是其相似矩陣對應(yīng)的特征向量。結(jié)論：APPB1-=相似矩陣若階方陣與相似，則推論：二、性質(zhì)例1

已知方陣相似矩陣若A和B相似，求出和。解：由于A和B相似，，所以它的特征值2和-1。由特征值的兩個(gè)性質(zhì)：相似矩陣三、相似矩陣的意義設(shè)線性變換為，取線性空間的一組基則基的像可用這組基線性表示為稱為像在基下的坐標(biāo)相似矩陣稱為線性變換在基

下的矩陣三、相似矩陣的意義所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣，而兩個(gè)基之間的過渡矩陣就是相似變換矩陣P.四、相似矩陣的應(yīng)用-方陣的對角化問題1：方陣對角化的條件相似矩陣

階方陣與對角陣相似的充分必要條件是：定理：有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。相似矩陣?yán)?

判斷矩陣是否能對角化，若能，寫出其對應(yīng)的相似對角陣。四、相似矩陣的應(yīng)用-方陣的對角化問題2：方陣（可）對角化的方法（1）求特征值和特征向量相似矩陣四、相似矩陣的應(yīng)用-方陣的對角化（2）判斷是否有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。若有，則將特征向量按列拼接成相似變換矩陣問題2:方陣（可）對角化的方法注意：推論:如果n階方陣的n個(gè)特征值互不相等，則與對角陣相似。相似矩陣四、相似矩陣的應(yīng)用-方陣的對角化（1）拼接矩陣不同時(shí)，形成的對角陣也有所不同（2）相似變換矩陣不唯一相似矩陣?yán)?

判斷矩陣

解：（1）求A的特征值和特征向量

所以A的全部特征值為：判斷Ａ是否能對角化。相似矩陣對于特征值，解齊次線性方程組得它的一個(gè)解為，所以是對應(yīng)于特征值兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。相似矩陣對于特征值，解齊次線性方程組得它的一個(gè)解為，所以是對應(yīng)于特的特征向量。征值相似矩陣令矩陣（2）由于線性無關(guān)，可將其按列拼成矩陣?yán)?

判斷矩陣解：（1）求A的特征值和特征向量

所以A的全部特征值為：是否能對角化。相似矩陣對于特征值，解齊次線性方程組：得它的一個(gè)解為，所以特征值的全部特征向量。相似矩陣是對應(yīng)于對于特征值，解齊次線性方程組得它的一個(gè)解為，所以特征值的全部特征向量。(2)由于找不到3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故Ａ不能對角化相似矩陣是對應(yīng)于五、矩陣對角化的MATLAB求法相似矩陣

[p,lamda]=eig(A)

輸出變元中的lamda是特征值，p是特征向量。（1）求特征值和特征向量（2）利用判斷p的列向量是否線性無關(guān)。若線性無關(guān)，則p就是所求相似變換矩陣。五、相似矩陣的MATLAB求法相似矩陣?yán)?解：［p,lamda]=eig([324;202;423])五、相似矩陣的MATLAB求法相似矩陣?yán)?解：［p,lamda]=eig([-110;-430;102])六、人口遷徙問題的求解及結(jié)果分析相似矩陣

A[0.94,0.02;0.06,0.98]

x0[0.3;0.7],x1A*x0,

x10A^10*x0,x30A^30*x0,

x50A^50*x0相似矩陣鍵入[p,lamda]=eig(A)，得到

六、人口遷徙問題的求解及結(jié)果分析相似矩陣六、人口遷徙問題的求解及結(jié)果分析逆陣小結(jié)(1)相似矩陣的概念(3)相似矩陣的意義(4)矩陣對角化的條件相似矩陣(2)相似矩陣的性質(zhì)(5)矩陣對角化的方法逆陣相似矩陣練習(xí)設(shè)有矩陣(1)

問矩陣A

是否可對角化,若能,試求可逆矩陣P和對角矩陣

,使P-1AP=.

(2)

使P-1AP=

成立的

P,

是否唯一，舉例說明.（1）矩陣A

的特征多項(xiàng)式為

解當(dāng)時(shí),解方程組即所以A

的三個(gè)特征值分別為:解之得基礎(chǔ)解系為所以是對應(yīng)于的特征向量.當(dāng)時(shí),解方程組即解之得基礎(chǔ)解系為所以是對應(yīng)于的特征向量.當(dāng)時(shí),解方程組即所以是對應(yīng)于的特征向量.解之得基礎(chǔ)解系為因?yàn)榫€性無關(guān)即三階矩陣A

有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以令則矩陣A可對角化.此時(shí)且有P-1AP=.

（2）使P-1AP=成立的P,

不唯一.如若取則此時(shí)亦有P-1AP=.

練習(xí)設(shè)問x

為何值時(shí)，矩陣A

能對角化？解得對應(yīng)單根1=-1，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有一個(gè)，是對應(yīng)重根2=3=1，有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，的解，亦即系數(shù)矩陣A–E的秩R(A–E)=1.由初等行變換得x=-1時(shí)，R(A–E)=1，矩陣A

能對角化.故矩陣A

可對角化的充要條件即方程(A–E)x=0有2個(gè)線性無關(guān)逆陣歡迎各位專家評委批評指正謝謝大家而有的就不能找到n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量.上一節(jié)我們討論了矩陣能對角化的充要條件:n

階方陣A

能對角化的充要條件是A有n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量.通過前面的學(xué)習(xí)我們知道,有的n

階方陣能找到n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量,一、問題的提出第四節(jié)對稱矩陣的相似矩陣

定理5

對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).礎(chǔ)解系,所以對應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.顯然,當(dāng)特征值

為實(shí)數(shù)時(shí),齊次線性方程組(A

-

E)x=0是實(shí)系數(shù)方程組,由|A-

E|=0知必有實(shí)的基二、特征值與特征向量的性質(zhì)p1,p2

正交.定理6

設(shè)1,2

是對稱矩陣A

的兩個(gè)特征值,p1,p2

是對應(yīng)的特征向量,若12,則由已知有

1p1=Ap1,2p2=Ap2,

12.因A

對稱,故

1p1T=(1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,于是

1

p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2,即(1

-

2)p1Tp2=0.但12,故p1Tp2=0,即p1

與p2

正交.

證畢

證明

從而對應(yīng)的特征值

恰有r

個(gè)線性無關(guān)的特征向推論

設(shè)A

為

n

階對稱矩陣,

是A

的特征方程的

r

重根,則矩陣A

-

E

的秩R(A

-

E)=n

-

r,量.定理7

設(shè)A

為n

階對稱矩陣,則必有正交矩陣P,使P-1AP=,其中

是以A

的n

個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣.n1+n2+···+

ns=

n.三、對稱矩陣對角化的步驟Step1

：求出矩陣A

的所有特征值，設(shè)A有s

個(gè)不同的特征值1,2,···,s

，它們的重?cái)?shù)分別為n1,n2,···,ns

,

Step2:

對A

的每個(gè)特征值i,求(A

-

iE)x=0的基礎(chǔ)解系,設(shè)為(

i=1,2,···,s).，以這些向量為列構(gòu)并把它們正交化、單位化，仍記為造矩陣上的元素(A

的特征值)之間的對應(yīng)關(guān)系.則P為正交矩陣，且P-1AP=.要注意矩陣P

的列與對角矩陣

主對角線

例1

設(shè)求正交矩陣

P,使P-1AP

為對角矩陣.A

的特征多項(xiàng)式為解四、舉例所以A的三個(gè)特征值為:當(dāng)時(shí),解方程組即得當(dāng)時(shí),解方程組即得當(dāng)時(shí),解方程組即得

顯然,p1,p2,p3

兩兩正交,現(xiàn)把它們單位化.令再令則P

為正交矩陣,且有

例2

設(shè)求正交矩陣

P,使P-1AP

為對角矩陣.A

的特征多項(xiàng)式為解所以A的三個(gè)特征值為:當(dāng)時(shí),解方程組即得當(dāng)時(shí),解方程組即得

顯然,p1,p2,p3

兩兩正交,現(xiàn)把它們單位化.令再令則P

為正交矩陣,且有方法評注在求正交矩陣P

把對稱矩陣A

對角化時(shí)，若A

有重特征值，在求該重特征值對應(yīng)的特征向量時(shí)，可直接求出正交的特征向量，這樣可避免正交化過程，從而簡化計(jì)算.設(shè)特征值3對應(yīng)的特征向量為值所對應(yīng)的特征向量正交,故即x

的各分量是上面的齊次線性方程組的非零解.求得這個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系為x=(x1,x2,x3)T,由于實(shí)對稱矩陣的不同的特征

解

例3

求一個(gè)三階實(shí)對稱矩陣A,它的特征且特征值6對應(yīng)的一個(gè)特征向量為值為6,3,3,取p2,p3

為特征值3對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,并令則因而

例4

設(shè)A

為n

階對稱的正交矩陣,且1為A

的

r

重特征值.(1)

求A

的相似對角矩陣;

(2)

求|A

-3E|.

(1)

由于A

為

n

階對稱的正交矩陣,故重特征值,因而A

的相似對角矩陣為

由于1為A

的r

重特征值,故-1為A的n

-

r

A必能相似于對角矩陣,