新高考數(shù)學(xué)真題源復(fù)習(xí)講義之專題03 頻率分布直方圖（原卷版）

專題3頻率分布直方圖例1．要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取100人進(jìn)行跳高測試，根據(jù)測試成績制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績在[120，140）之間的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，應(yīng)從[120，130）間抽取人數(shù)為b，則（）A．a(chǎn)＝0.2，b＝2 B．a(chǎn)＝0.025，b＝3 C．a(chǎn)＝0.3，b＝4 D．a(chǎn)＝0.030，b＝3例2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）110，120）頻數(shù)1420361812估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）A．100 B．98.8 C．96.6 D．94.4例3．“新冠肺炎”席卷全球，我國醫(yī)務(wù)工作者為了打好這次疫情阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮優(yōu)勢，很快抑制了病毒，據(jù)統(tǒng)計(jì)老年患者治愈率為71%，中年患者治愈率為85%，青年患者治愈率為91%．如果某醫(yī)院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，則估計(jì)該醫(yī)院的平均治愈率是（）A．86% B．83% C．90% D．84%例4．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均數(shù)與方差分別是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)與方差分別是b和a，則a﹣b＝（）A．1 B．2 C．3 D．4例5．下面定義一個同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的標(biāo)志為：“連續(xù)5次考試成績均不低于120分”．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)連續(xù)5次數(shù)學(xué)考試成績的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲同學(xué)：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為120；②乙同學(xué)：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為127；③丙同學(xué)：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為135，總體均值為128，總體方差為19.8．則可以判定數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀同學(xué)為（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙例6．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x=3，方差s2＝1，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xnA．6，6 B．9，2 C．9，6 D．9，4例7．隨著城鎮(zhèn)化的不斷發(fā)展，老舊小區(qū)的改造及管理已經(jīng)引起了某市政府的高度重視，為了了解本市甲，乙兩個物業(yè)公司管理的小區(qū)住戶對其服務(wù)的滿意程度，現(xiàn)從他們所服務(wù)的小區(qū)中隨機(jī)選擇了40個住戶，根據(jù)住戶對其服務(wù)的滿意度評分，得到A區(qū)住戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B區(qū)住戶滿意度評分的頻率分布表．B區(qū)住戶滿意度評分的頻率分布表滿意度評分分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)4610128（Ⅰ）在圖2中作出B區(qū)住戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過頻率分布直方圖計(jì)算兩區(qū)住戶滿意度評分的平均值及分散程度（其中分散程度不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)住戶滿意度評分，將住戶和滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分，評定為不滿意；滿意度評分在70分到89分之間，評定為滿意；滿意度評分不低于90分，評定為非常滿意．試估計(jì)哪個地區(qū)住戶的滿意度等級為不滿意的概率大？若是要選擇一個物業(yè)公司來管理老舊小區(qū)的物業(yè)，從滿意度角度考慮，應(yīng)該選擇哪一個物業(yè)公司？說明理由．例8．某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績，被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率．例9．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x，用水量不超過x的部分按平價收費(fèi)，超出x的部分按議價收費(fèi)．下面是居民月均用水量的抽樣頻率分布直方圖．①求直方圖中a的值；②試估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)、平均數(shù)；③設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；④如果希望85%的居民月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x，那么標(biāo)準(zhǔn)x定為多少比較合理？例10．如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)知識競賽成績的基葉圖（圖中僅列出[50，60），[90，100）的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖．（1）求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的x，y；（2）估計(jì)學(xué)生競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）．例11．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個高中男學(xué)生中抽取了1000個樣本，得到如下數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計(jì)體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個數(shù)及部分?jǐn)?shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并利用頻率分布直方圖估計(jì)身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計(jì)算身高（取值為區(qū)間中點(diǎn)）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計(jì)算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．例12．市政府為了節(jié)約用水，調(diào)查了100位居民某年的月均用水量（單位：t），頻數(shù)分布如下：分組[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）[3.5，4）[4，4.5]頻數(shù)4815222514642（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整（不必說明理由）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)由該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．例13．某地區(qū)100居民的人均用水量（單位：t）的分組的頻數(shù)如下：[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（坐標(biāo)軸單位自定）（3）當(dāng)?shù)卣朴喠巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣忉屨f，85%以上的居民不超出這個標(biāo)準(zhǔn)，這個解釋對嗎？為什么？例14．某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫出如下頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）估計(jì)這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（Ⅱ）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．例15．為應(yīng)對新冠疫情，重慶市于2020年1月24日啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng)機(jī)制，要求市民少出門，少聚集，于是快遞業(yè)務(wù)得到迅猛發(fā)展．為滿足廣大市民的日常生活所需，某快遞公司以優(yōu)厚的條件招聘派送員，現(xiàn)給出了兩種日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪150元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵10元．（Ⅰ）請分別求出這兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員10天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)與天數(shù)滿足以下表格：日均派送單數(shù)5054565860頻數(shù)（天）23221回答下列問題：①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出這10天中甲、乙兩種方案的日薪X的平均數(shù)及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，若你去應(yīng)聘派送員，選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：172＝289，372＝1369）例16．2019年起，全國地級及以上城市全面啟動生活垃圾分類工作，垃圾分類投放逐步成為居民的新時尚．為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分別估計(jì)廚余垃圾和有害垃圾投放正確的概率；（2）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c，d的方差s2最大時，寫出a，b，c，d的值（結(jié)論不要求證明），并求此時s2的值．例17．某市教育局為了解全市高中學(xué)生在素質(zhì)教育過程中的幸福指數(shù)變化情況，對8名學(xué)生在高一，高二不同學(xué)習(xí)階段的幸福指數(shù)進(jìn)行了一次跟蹤調(diào)研．結(jié)果如表：學(xué)生編號12345678高一階段幸福指數(shù)9593969497989695學(xué)生編號12345678高二階段幸福指數(shù)9497959695949396（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)情況，分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的平均值及方差；（2）請根據(jù)上述結(jié)果，就平均值和方差的角度分析，說明在高一，高二不同階段的學(xué)生幸福指數(shù)狀況，并發(fā)表自己觀點(diǎn)．例18．2020年1月，教育部《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》印發(fā)，自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”）．強(qiáng)基計(jì)劃聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會科學(xué)領(lǐng)域，選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．新材料