ARMA譜估計(jì)與系統(tǒng)辨識(shí) 清華大學(xué)《現(xiàn)代信號(hào)處理》講義張賢達(dá)

第三章現(xiàn)代譜估計(jì)清華大學(xué)自動(dòng)化系張賢達(dá)電話：62794875經(jīng)典譜估計(jì)樣本直接法間接法假設(shè)已零均值化，周期函數(shù)

周期圖法有偏估計(jì),平滑性差加窗函數(shù)功率譜曲線平滑,但分辨率下降數(shù)據(jù)窗譜窗要提高分辨率，使用參數(shù)化的譜估計(jì)！經(jīng)典譜估計(jì)：使用FFT的譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)：參數(shù)化譜估計(jì)3.1ARMA譜估計(jì)與系統(tǒng)辨識(shí)平穩(wěn)ARMA過(guò)程

離散隨機(jī)過(guò)程服從線性差分方程：

為離散白噪聲，則稱為ARMA過(guò)程。 自回歸(autoregressive)—滑動(dòng)平均(movingaverage)過(guò)程AR階數(shù)AR參數(shù)MA階數(shù)MA參數(shù)ARMA模型描述的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)傳遞函數(shù)：滿足ARMA模型的條件：(1)沖激響應(yīng)系數(shù)必須絕對(duì)可求和：(系統(tǒng)穩(wěn)定)(2)A(z)和B(z)無(wú)公共因子(p,q唯一)(3)系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的(因果系統(tǒng))極點(diǎn)的作用：決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性即極點(diǎn)不在單位圓上因果性：稱x(n)是e(n)的因果函數(shù)，若即因果系統(tǒng)要求極點(diǎn)在單位圓以內(nèi)，A(z)的根|z|<1零點(diǎn)部分極點(diǎn)部分零點(diǎn)的作用：決定系統(tǒng)的可逆性，即

是否存在?？赡嫘裕悍Qe(n)是x(n)的可逆函數(shù)，若(1)存在序列，并滿足 ——可逆系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)——可逆性條件ARMA過(guò)程的功率譜密度

則功率譜其中ARMA功率譜估計(jì)的兩種線性方法Cadzow譜估計(jì)子

又其中則兩邊同乘，，比比較系數(shù)得得所以，Cadzow譜估計(jì)子的的關(guān)鍵：估估計(jì)AR階數(shù)p和AR參數(shù)Kaveh譜估計(jì)子非線性方程程，MA參數(shù)辨識(shí)（Newton－Raphson迭代）協(xié)方差函數(shù)數(shù)的Fourier變換Kaveh譜估計(jì)子：：ARMA功率譜密度度的特例特例一：MA過(guò)程有限沖激響響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)特例二：AR過(guò)程中含有的無(wú)數(shù)多項(xiàng)無(wú)限沖激響響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)白噪聲中的的AR過(guò)程：ARMA(p,p)過(guò)程特例三：完完全可預(yù)測(cè)測(cè)過(guò)程加性白噪聲聲中的可預(yù)預(yù)測(cè)過(guò)程：：線譜特殊的ARMA所以：白噪聲中的的AR過(guò)程=ARMA過(guò)程白噪聲中的的可預(yù)測(cè)過(guò)過(guò)程=特特殊的ARMA過(guò)程等價(jià)高斯白噪修正Yule-Walker方程BBR公式：修正Yule-Walker方程(MYW方程)定理(AR參數(shù)的可辨辨識(shí)性)：：若A(z)和B(z)無(wú)可對(duì)消公公共因子，，且，，則AR參數(shù)可由p個(gè)修正Yule-Walker方程唯一確確定或辨識(shí)識(shí)。若構(gòu)造：使得，，則AR階數(shù)確定的的奇異值分分解方法奇異值分解解(SVD)：：酉矩陣：主奇異值：：p個(gè)大的奇異異值（p個(gè)信號(hào)分量量的能量））次奇異值：：其它小奇奇異值（擾擾動(dòng)或誤差差的能量））準(zhǔn)則一：歸歸一化比值值信號(hào)與噪聲聲的分離：：若閾值=0.995，v(k)>閾值的最小小整數(shù)k定為矩陣A的“有效秩秩”。準(zhǔn)則二：使使用歸一化化奇異值<某個(gè)很小的的閾值(0.05)的最小整整數(shù)k定為有效秩秩。最終預(yù)報(bào)誤誤差方法(FPE,FinitePredictionError)：FPE準(zhǔn)則選擇使使FPE(p,q)最小，作為為AR模型的階數(shù)數(shù)。AIC(Akaike’sInformationCriterion)“信息量準(zhǔn)準(zhǔn)則”遵循循“吝嗇原原則”AR階數(shù)確定的的信息量準(zhǔn)準(zhǔn)則法若，，則擴(kuò)展階MYW方程選AR參數(shù)估計(jì)的的總體最小小二乘法總體最小二二乘TLS:TotalLeastSquares擾動(dòng)矩陣思想：尋求一個(gè)解解z，使得定義代價(jià)函函數(shù)方法2：只包含p個(gè)參數(shù)（主主要因素））：用秩為p的矩陣對(duì)B的最佳逼近近令，，則構(gòu)造代價(jià)函函數(shù)由于存在誤誤差A(yù)R定階與AR參數(shù)估計(jì)的的SVD-TLS算法：步驟1：構(gòu)構(gòu)造擴(kuò)展階階相關(guān)函數(shù)數(shù)，，求求SVD，存儲(chǔ)和和步驟2：確確