二階與三階行列式線性代數(shù)

二階與三階行列式線性代數(shù)第一頁，共48頁。數(shù)學(xué)好玩.—陳省身但得此中味,勿為醒者傳.—李白武林高手的最高境界:無招.第二頁，共48頁。數(shù)學(xué)的好玩之處,主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實用意義的內(nèi)容,包含了深刻的奧妙,發(fā)人深思,使人驚訝.比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個公式:其中i是虛數(shù)單位,π是圓周率,e是一個無理數(shù),第三頁，共48頁。主要內(nèi)容第一章行列式第二章矩陣第三章向量組的線性相關(guān)性第四章線性方程組第五章矩陣對角化第六章二次型第四頁，共48頁。參考書目同濟大學(xué)線性代數(shù)高等教育出版社湘潭大學(xué)線性代數(shù)

科學(xué)出版社北京大學(xué)高等代數(shù)高等教育出版社（第三版）第五頁，共48頁。線性代數(shù)簡史線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意,而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。向量的概念,從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合,然而它以力或速度作為直接的物理意義,并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。第六頁，共48頁。線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz,1693年）。第七頁，共48頁。1750年克萊姆（

Cramer）發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的

克萊姆法則）。1764年

,貝佐特

(Bezout)把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含

n

個未知量的

n個齊次線性方程

,Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。第八頁，共48頁。范德蒙(

Vandermonde)

是第一個對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述(即把行列式理論與線性方程組求解相分離)的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。第九頁，共48頁。拉普拉斯

(Laplace)在

1772年的論文《對積分和世界體系的探討》中

,證明了

Vandermonde

的一些規(guī)則

,并推廣了他的展開行列式的方法

,用

r行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。德國數(shù)學(xué)家雅可比（

Jacobi）也于

1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。第十頁，共48頁。另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家

柯西

(Cauchy),他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進并證明了

Laplace

的展開定理。第十一頁，共48頁。

高斯（Gauss）大約在1800年提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué)。）

雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。第十二頁，共48頁。矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時間和同一地點相遇。1848年英格蘭的西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先提出了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。第十三頁，共48頁。1855年矩陣代數(shù)得到了凱萊(ArthurCayley)的工作培育。Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。第十四頁，共48頁。數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉及一個不可交換向量積（即

v×w

不等于

w×v

）的向量代數(shù)是由格拉斯曼(HermannGrassmann)在1844年他的《線性擴張論》一

書中提出的。

他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為

1的矩陣，或簡單矩陣。19世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯(

WillardGibbs)發(fā)表了關(guān)于《向量分析基礎(chǔ)》

的著名論述。第十五頁，共48頁。其后英國物理學(xué)家狄拉克

(

P.A.M.Dirac1902-1984)提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾(Peano)于

1888年提出的。到

19世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在

20世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。第十六頁，共48頁。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。

由于計算機的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第十七頁，共48頁。阿貝爾(Abel)與伽羅瓦(Galois)挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802.8.5—1829.4.6)，以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名。法國數(shù)學(xué)家厄米特（Hermite

1822—1901）在談到阿貝爾的貢獻時曾說過：“阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150年！”在和阿貝爾同時期的一個法國少年讀到了他的著作，于是在不到20歲的時候在代數(shù)方程論推陳出新創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)理論——伽羅瓦理論，這個發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論。第十八頁，共48頁。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦(1811.10.25-1832.5.31)，與阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人。伽羅瓦理論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直接推論的結(jié)果十分豐富：3.他解決了古代三大作圖問題中的兩個：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。

2.它漂亮地證明高斯的論斷：若尺規(guī)作圖能作出正p邊形，p為質(zhì)數(shù)且此同時。1.它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。第十九頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強20第一章行列式第一節(jié)二階與三階行列式第二十頁，共48頁。用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入其中是未知量，其它字母是已知量。第二十一頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強22方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.第二十二頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強23

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即第二十三頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強24主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算其中元素aij

的第一個下標(biāo)i

為行指標(biāo)，第二個下標(biāo)

j

為列指標(biāo)。即

aij

位于行列式的第i行第j列。第二十四頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強25若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式第二十五頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強26第二十六頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強27第二十七頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強28則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.第二十八頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強29例1解第二十九頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強30二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.第三十頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強31(1)沙路法三階行列式的計算.列標(biāo)行標(biāo)第三十一頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強32(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．第三十二頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強33

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).第三十三頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強34若記或第三十四頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強35記即第三十五頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強36第三十六頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強37得第三十七頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強38得第三十八頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強39則三元線性方程組的解為:是將D的第i列換成右端項得到。第三十九頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強40例２

解按對角線法則，有第四十頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強41例3解方程左端第四十一頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強42例4.利用對角線法則計算下列三階行列式：

第四十二頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強43（1）（2）第四十三頁，共48頁。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強44第四十四頁，共48頁。