橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

?橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程?教案西吉中學(xué)王學(xué)玲一、教學(xué)目標(biāo)1．理解并掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用．2．通過數(shù)形結(jié)合，教學(xué)生猜測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力．3．幫助學(xué)生樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和進(jìn)取精神．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)橢圓的定義的理解及其標(biāo)準(zhǔn)方程記憶是本節(jié)重點(diǎn)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是難點(diǎn)．三、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)、引入問1：求曲線方程的步驟是什么？問2：我們剛剛觀察到的那幾個(gè)星球的運(yùn)行軌跡是什么？2、新授問：滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓？圓是在平面上，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，那么，在平面上,到兩定點(diǎn)的距離和等于定長的點(diǎn)的軌跡是什么？問：是否到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓呢？說明：觀察計(jì)算機(jī)演示“通過兩焦點(diǎn)位置的改變而引起橢圓形狀變化的課件〞，首先從一個(gè)點(diǎn)分裂為兩個(gè)點(diǎn)，曲線從圓變成橢圓；隨著兩點(diǎn)間距離的增大，橢圓越來越扁，直到動(dòng)點(diǎn)到此兩點(diǎn)距離之和恰好等于兩點(diǎn)間距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線變成了線段，然后隨著兩點(diǎn)間距離的縮小，曲線再變成橢圓；當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，曲線又變成了圓，如此反復(fù)……從而啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓定義中的條件，然后師生共同小結(jié)?！?〕橢圓：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，其中2a＞|F1F2|．兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距，用2c(c＞0)表示．注：橢圓2a＞|F1F2|線段2a=|F1F2|無軌跡2a<|F1F2|〔2〕橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．問：此題應(yīng)如何建立坐標(biāo)系？建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)符合簡單和諧化的原那么，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線的斜率等)的表達(dá)式簡單化，注意要充分利用圖形的特殊性．大體上有如下三個(gè)方案：①取一個(gè)定點(diǎn)為原點(diǎn)，以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系；②以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；③以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。解

1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，y)，設(shè)兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)那么M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，4)化簡．a(chǎn)4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．點(diǎn)撥：到此我們已經(jīng)推導(dǎo)出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡潔，且x，y的系數(shù)形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應(yīng)該如何將方程進(jìn)行變形呢？(這里，數(shù)學(xué)審美成為研究發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力．)那我們不妨令b2=a2-c2，那么方程就變形為b2x2+a2y2=a2b2，如果再化簡，你會(huì)得到什么形式的方程呢？說明：1)方程中條件a＞b＞0不可缺少(結(jié)合圖形)，當(dāng)a=b＞0時(shí)，就化成圓心在原點(diǎn)的圓的方程，從而進(jìn)一步說明圓是橢圓的特例；(這實(shí)際上是一種極限情況．)2)b的選取雖然是為了方程形式簡潔與和諧，但也有實(shí)際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請(qǐng)學(xué)生猜測(cè)：假設(shè)用方案③(即焦點(diǎn)在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學(xué)生根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行猜測(cè))3、穩(wěn)固與練習(xí)練習(xí)：寫出適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4，b-1，焦點(diǎn)在x軸上；(2)兩焦點(diǎn)分別是〔0,-2〕、〔0,2〕，且經(jīng)過點(diǎn)P(3)平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)間的距離為8，寫出到這兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為10的點(diǎn)的軌跡方程例題:：△ABC的一邊長BC=6，周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．4、小結(jié)(由師生共同完成)〔1〕．知識(shí)方面：橢圓的定義(要注意定義中的條件)以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的位置與方程形式的關(guān)系；〔2〕能力方面：穩(wěn)固了求曲線方程的步驟與方法，要學(xué)會(huì)