解線性方程組

關(guān)于解線性方程組第一頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片一、數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí)1、線性方程組記為Ax=b其中A=(aij)m×nx=

(x1,…,xn)’,b=

(b1,…,bm)’第二頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片若秩(A)

秩(A,b)，則無(wú)解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無(wú)窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個(gè)特解之和。對(duì)于線性方程組Ax=b：Ax=0稱為齊次的線性方程組第三頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片高斯消元法對(duì)于線性方程組Ax=b

（A|b）行變換（U|v）其中U是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣(1)階梯形矩陣(2)每行首個(gè)非零元素為1,并且該1所在列其它元素都為0第四頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片2、逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:A0求逆矩陣方法：A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣

（AE）行變換（EA-1）第五頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片3、特征值與特征向量對(duì)于方陣A，若存在數(shù)和非零向量x使Ax=x，則稱為A的一個(gè)特征值，x為A的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。特征值計(jì)算歸結(jié)為:特征多項(xiàng)式|A-E|=0的求根。對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是齊次線性方程組(A-E)x=0的所有非零解第六頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片二、使用MATLAB

det方陣的行列式diag

對(duì)角陣inv

方陣的逆cond

方陣的條件數(shù)trace

方陣的跡orth

正交規(guī)范化rank矩陣的秩null

求基礎(chǔ)解系rref

矩陣的行最簡(jiǎn)形eig

特征值與特征向量jordan

約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解norm矩陣或向量范數(shù)第七頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片1、特殊矩陣生成zeros(m,n)

生成m行n列的零矩陣;ones(m,n)生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n)生成n階單位矩陣;當(dāng)A是矩陣,diag(A)返回A的對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;當(dāng)X是向量,diag(X)返回由X的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；第八頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片rand(m,n)

生成m行n列[0,1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣；linspace(x1,x2,n)生成x1與x2間的n維等距行向量,即將[x1,x2]n-1等分。2、行列式和逆矩陣det(A)返回方陣A的行列式;inv(A)返回A的逆矩陣。第九頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片3、矩陣除法左除法A\B求解矩陣方程AX=B右除法B/A求解矩陣方程XA=B(1)當(dāng)A為方陣，A\B與inv(A)*B基本一致：

(2)當(dāng)A不是方陣，除法將自動(dòng)檢測(cè)。若方程組無(wú)解,除法給出最小二乘意義上的近似解，即使向量AX－B的長(zhǎng)度達(dá)到最??；若方程組有無(wú)窮多解，除法將給出一個(gè)具有最多零元素的特解；若為唯一解，除法將給出解。第十頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片4、特征值和特征向量D=eig(A)返回方陣A的特征值構(gòu)成的列向量；[V,D]=eig(A)返回方陣A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣D和每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量按列構(gòu)成的矩陣V。其中每個(gè)特征向量都是模等于1的向量，并且屬于同一特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量已正交化。第十一頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片例1解下列方程組?A=[12;3-2];?B=[1;4];x=A\B求得唯一解?A=[121;3-21];?B=[1;4];x=A\B求得一特解第十二頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片?A=[12;3-2;1-1];?B=[1;4;2];x=A\B

求得一最小二乘近似解?A=[12;-2-4];?B=[1;-2];x=A\B

不能直接求解?A=[12;-2-4;00];?B=[1;-2;0];x=A\B仍可求一近似特解增加方程0x+0y=0第十三頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片例2線性方程組的通解解在無(wú)窮多解情況下可用三種方法求通解，●用rref化為行最簡(jiǎn)形以后求解；●用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系；●用符號(hào)工具箱中的solve求解。第十四頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];r=[rank(a),rank([a,b])];x0=a\b,xx=null(a);%x0為一特解,xx為對(duì)應(yīng)齊次組的基礎(chǔ)解系運(yùn)行后得:r=(2,2)說(shuō)明系數(shù)矩陣秩和增廣矩陣秩相等,自由未知量為4-2=2個(gè)0010x0=-0.70710-0.70710-0.00000.7071-0.00000.7071xx=方法一:方程組的解=特解+對(duì)應(yīng)齊次組的通解其中c1和c2為任意實(shí)數(shù)結(jié)果為:第十五頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片t=1-1000001-1100000a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];r=[rank(a),rank([a,b])];t=rref([a,b]);%此時(shí)得出一個(gè)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣解法二:運(yùn)行后得:從而知原方程組等價(jià)于第十六頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片結(jié)果為:其中c1和c2為任意實(shí)數(shù)第十七頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片例3判定下列線性方程組是否有解?若有解,求出其解第十八頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片a=[2-23;-11-2;1-11];b=[5;3;4];r1=rank(a);r2=rank([a,b])r1≠r2無(wú)解唯一解(2)a=[2-23;-11-2;2-31];

b=[5;3;0];r1=rank(a);r2=rank([a,b])

r1=r2=3x=a\b或x=inv(a)*b第十九頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片(3)a=[2-23;-11-2;1-11];b=[5;3;8];r1=rank(a);r2=rank([a,b])r1=r2=2<3x0=a\b

x=null(a1)%運(yùn)行后得基礎(chǔ)解x=(0.7071,0.7071,0)’無(wú)窮解a1=[2-23;-11-2;1-11;000];b1=[5;3;8;0];x1=a1\b1;%經(jīng)運(yùn)行后可得出一個(gè)特解x1=(0,-19,-11)’結(jié)果為:其中c為任意實(shí)數(shù)第二十頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片三、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出分析

設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)，xi為部門(mén)i的總產(chǎn)出，cij為部門(mén)j單位產(chǎn)品對(duì)部門(mén)i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門(mén)i的需求，fj為部門(mén)j新創(chuàng)造的價(jià)值。那么各經(jīng)濟(jì)部門(mén)總產(chǎn)出應(yīng)滿足下列關(guān)系式：消耗平衡方程組j=1,2,…,n第二十一頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’則X=CX+D令A(yù)=E－C，E為單位矩陣，則AX=DC稱為直接消耗矩陣，A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。分配平衡方程組i=1,2,…,n第二十二頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片Y=[1,1,…,1]BY表示各部門(mén)的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價(jià)值向量F=X–Y'B=CB表示各部門(mén)間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。第二十三頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片四、實(shí)驗(yàn)例題

例4某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開(kāi)采一元錢(qián)的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi);

生產(chǎn)一元錢(qián)的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi);

創(chuàng)收一元錢(qián)的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求。第二十四頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問(wèn)題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問(wèn)三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?第二十五頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片直接消耗矩陣C=外界需求向量D=產(chǎn)出向量X=則原方程為(E-C)X=D投入產(chǎn)出矩陣為B=C*diag(X)總投入向量Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價(jià)值向量F=X-Y’第二十六頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片Matlab程序:C=[00.650.55;0.250.050.1;0.250.050];D=[50000;25000;0];A=eye(3)-C;X=A\D;%總產(chǎn)出矩陣向量B=C*diag(X);%投入產(chǎn)出矩陣Y=ones(1,3)*B;%總投入向量F=X-Y’

%新創(chuàng)造價(jià)值向量第二十七頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片

消耗部門(mén)外界需求煤礦電廠鐵路生產(chǎn)部門(mén)煤礦0365061558250000電廠255222808283325000鐵路25522280800新創(chuàng)造的價(jià)值51044140419915總產(chǎn)出1020885616328330投入產(chǎn)出分析表第二十八頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片例4（隱性病遺傳）染色體遺傳中，后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么就有三種基因型，上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕?。第二十九?yè)，共38頁(yè)幻燈片設(shè)金魚(yú)某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚(yú)，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚(yú)，10%的隱性患者，無(wú)顯性患者。考慮下列兩種配種方案對(duì)后代該遺傳病基因型分布的影響方案一：同類基因結(jié)合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚(yú)結(jié)合繁殖第三十頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片解設(shè)初始分布X(1)=(0.90.10)’,第n代分布為X(n)=A=B=則

X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)

分別是兩種情況下第n代的基因型分布AAAaaa第三十一頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片Matlab程序:方案一:A=[11/40;01/20;01/41];x=[0.90.10]’;fori=2:20x=A*x;endx20=x方案二:clear;B=[11/20;01/20;000];y=[0.90.10]’;fori=2:20y=B*y;endy20=y第三十二頁(yè)，共38頁(yè)幻燈片運(yùn)行程序后得結(jié)果x20=(0.9500,0.0000,0.0500)’y20=(1.0000,0.0000,0.0000)’可見(jiàn)按方案１：很多代以后將出現(xiàn)5%的穩(wěn)定顯性患者按方案２：很多