線性代數課件：001-第一章-矩陣-(1-1-1-2)

引言線性代數的起源：1.一個簡單的“雞兔同籠”問題線性代數有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有8個頭；從下面數有26只腳。求籠中各有幾只雞和兔？算術方法：每一個動物砍掉兩條腿，一共去砍16條腿；還剩下10條腿，雞沒有腿了，每只兔還剩2條腿；所以兔有5只，雞有3只。這類簡單問題靠我們的心算就可以解決，再復雜些，單我們的心力是不行了。所以要建立新的數學工具，延長我們的智力。線性代數方法：用字母代替未知數，建立代數關系式設雞有只，兔有只，則有等式：采用消元法：設雞有只，兔有只，則有等式：采用消元法：雞沒有了腿，兔有兩條腿所以得同解方程組線性代數方法：用字母代替未知數和已知數，建立一般代數關系式最一般的線性方程組：高斯消元法：線性程組做三種變換，新老方程組是有相同的解。為使新方程組簡單，高斯的思想是：消去方程組中的未知數，使方程組成為階梯形的較為簡單的同解方程組。由于線性方程組的全部信息都在以下的矩形數據塊中，所以，線性代數的研究對象為矩形數據塊---矩陣。1.1矩陣的定義1.2矩陣的運算1.3逆矩陣1.5矩陣的初等變換1.6初等矩陣1.4分塊矩陣第一章矩陣1.問題的提出2.矩陣的定義3.特殊矩陣1.問題的提出線性方程組：決定線性方程組的是三個數據塊：系數數據塊未知數據塊數據塊第一章矩陣§1矩陣的定義

2.矩陣的定義1.元素是來自實數域的矩陣，稱為實矩陣；2.元素是來自復數域的矩陣，稱為復矩陣；3.元素是{0,1}的矩陣，稱為布爾矩陣。第一章矩陣§1矩陣的定義

矩陣的記號：（1）任意矩陣用大寫字母表示，如：（2）顯示階數的矩陣表示，如：（3）顯示元素的矩陣表示，如：第一章矩陣§1矩陣的定義

注意：不同階數的零矩陣是不相等的，因此零矩陣不只一個。例如3.特殊矩陣（1）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，階零矩陣記作或。第一章矩陣§1矩陣的定義

注意：3.特殊矩陣（2）行矩陣、列矩陣。只有一行的矩陣稱為行矩陣，或行向量。只有一列的矩陣稱為列矩陣，或列向量。只有一行、一列的矩陣就是一個數，省去括號。第一章矩陣§1矩陣的定義

例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,通常寫為一個數4.3.特殊矩陣（3）行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣也可記作上三角矩陣第一章矩陣§1矩陣的定義

下三角矩陣：例：對角矩陣：形如的方陣,不全為0記作數量矩陣：單位矩陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1第一章矩陣1.矩陣的相等2.矩陣的線性運算3.矩陣的乘法運算4.矩陣的轉置運算5.矩陣的共軛運算6.矩陣的多項式1.1矩陣的定義

1.2矩陣的運算1.3逆矩陣1.5矩陣的初等變換1.6初等矩陣1.4分塊矩陣兩個矩陣的相等：矩陣同階：1.矩陣的相等第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣的對應元素相等：例2設解矩陣之間的加法運算2.矩陣的線性運算（簡捷表示）（詳細表示）第一章矩陣§2矩陣的運算

說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣加法的運算規(guī)律第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣與數的乘法運算第一章矩陣§2矩陣的運算

數乘矩陣的運算規(guī)律矩陣之間相加與矩陣與數相乘，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.（設為矩陣，為數）第一章矩陣§2矩陣的運算

行矩陣與列矩陣的乘積：3.矩陣的乘法運算線性方程有了矩陣形式：第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣與列矩陣的乘積：線性方程組有了矩陣形式：第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣與矩陣的乘積：有了矩陣方程：第一章矩陣§2矩陣的運算

矩陣與矩陣的乘積定義：第一章矩陣§2矩陣的運算

例１設例2故解矩陣乘法的運算規(guī)律：（其中為數）;若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且第一章矩陣§2矩陣的運算

注1只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘。例如不能相乘注2矩陣不滿足交換律，即：例設則但也有例外，比如設則有1.ＡＢ＝０推不出A=0或B=0。2.AB=AC,推不出B=C。注3

矩陣不滿足消去律，即：例1：例2：例3：第一章矩陣§2矩陣的運算

例3

計算下列乘積：解解=(）或表示的是一個方程組：4.矩陣的轉置運算定義

把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例轉置矩陣的運算性質例5已知解法1解法2對稱矩陣、反對稱矩陣定義設為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等。說明例6設列矩陣滿足

證明例7

證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.5.方陣的多項式方陣的多項式因式分解：分解成加余項例1矩陣的因式分解先寫出其特征方程，將其因式分解：再將r換回成矩陣：例2方陣分解成因式加余式其中，余式的低于因式。對角陣的多項式計算：則例：則練習一1.設C=AB，問矩陣A，B，C的行數、列數之間關系。2.設A為反對稱矩陣，問是怎樣的矩陣。3.求所有與