哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系

哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系第三章幾何向量幾何向量幾何向量的線性運(yùn)算數(shù)量積、向量積、混合積空間中的平面與直線AB有向線段向量的長(zhǎng)度(模)—(幾何)向量ABaa特例:單位向量,零向量0自由向量—與起點(diǎn)無(wú)關(guān)兩向量共面共線a∥b相等負(fù)向量溫度、密度、時(shí)間—只有大小稱為數(shù)量(純量、標(biāo)量)力、(加)速度、電場(chǎng)強(qiáng)度—有大小、方向稱為向量(矢量)3.1幾何向量及其線性運(yùn)算|AB||a||a|a=b-a線性運(yùn)算加法:a+b平行四邊形法則:ab2.三角形法則:ab首尾相連,a起點(diǎn)指向b終點(diǎn)3.性質(zhì):a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=aa+(-a)=0數(shù)乘:ak|a||k|模方向a同(k>0)a同-(k<0)

任意(k=0)差向量:a-bb起點(diǎn)置一處,b終點(diǎn)指向a終點(diǎn)a性質(zhì):1a=a,(-1)a=-ak(a+b)=ka+kbk(la)=(kl)a(k+l)a=ka+la=a

+(-

b)ka∥a結(jié)論:(1)

a≠0a|a|=a0(2)

a、b共線存在不全為0的數(shù)k、l,使ka+lb=0(3)

a、b、C共面存在不全為0的數(shù)k、l、m,使ka+lb+mc=0例:平行四邊形ABCD(如圖),試用a、b表示,,和MAMBMCMDabMABCD3.2數(shù)量積、向量積、混合積3.2.1向量在軸上的投影3.2.2幾何向量的數(shù)量積3.2.3幾何向量的向量積3.2.4幾何向量的混合積3.2.5幾何向量的坐標(biāo)

3.2.6幾何向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.2.1向量在軸上的投影(1)向量的夾角<a，b>ab≤(2)點(diǎn)A在u軸上投影AuA’(3)向量在u軸上投影ABB’BPrjuAB投影軸（u1）（u2）u2-u1=(4)公式：PrjuAB=||cos〈，〉A(chǔ)BuABPrju(a+b)=

Prju

a+Prjubu’B’'uA’B’（u1）（u2）ABCC’（u3）ab3.2.2幾何向量的數(shù)量積sFw=|F||s|cos〈F，s〉=F·s（1)定義：a·b=|a||b|cos〈a，b〉=|a|Prjab=|b|Prjba數(shù)量積、點(diǎn)積、內(nèi)積（a，b）、標(biāo)積（2)性質(zhì)：a·b=b·aa·a≥0且a·a=0(a+b)·c=a·c+b·c(ka)·b=k(a·b)a=0無(wú)消去律a·b=a·cb=cabc（3)幾何應(yīng)用：（i)求模長(zhǎng)：（ii)求夾角：（iii)求投影：（iV)（4)例：設(shè)（a+3b）⊥（7a-5b），且（a-4b）⊥（7a-2b），求〈a，b〉|a|=√a·a|a·b||a||b|<a，b>=arccosPrjb

a=|a·b||b|a⊥ba·b=0練：設(shè)，,是單位向量,且滿足計(jì)算·+·+·ababcacbaccb++=03.2.3幾何向量的向量積MAFOrP例:力F關(guān)于定點(diǎn)O的力矩是矢量M大小:|M|=|F|P=|F||r|sin<r，F(xiàn)>方向:依r，F(xiàn)，M順序構(gòu)成右手系a，b，c構(gòu)成“右手系”:把a(bǔ)，b，c三個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，將右手的四指(不含拇指)由a轉(zhuǎn)到b，(轉(zhuǎn)過(guò)的角度<a，b>小于)，則伸開的拇指的指向c的方向大小:向量積、矢量積、叉積、外積(iii)(a+b)×c=a×c+b×c(ii)(ka)×b=k(a×b)=a×(kb)無(wú)消去律a×b=a×cb=c（1)定義:a×b方向:|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉a×b⊥a，a×b⊥b，依a，b，a×b順序構(gòu)成右手系（2)性質(zhì)：(i)a×b=-b×a(無(wú)交換律)a×(b+c)=a×b+a×cabc

aba×b(坐標(biāo)法證)(返)（3)幾何應(yīng)用：（i)求平行四邊形的面積：（ii)求夾角：（iii)求平行四邊形的高：（iV)a∥b|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉abhh=|b|sin〈a，b〉=|a×b||a||a×b||a||b|sin<a，b>=a×b=0練：設(shè)a,b

是兩個(gè)向量,k,l是兩個(gè)數(shù),試證a×b與ka+lb

垂直例：試證(a-b)×(a+b)=2(a×b)3.2.4幾何向量的混合積（1)定義[abc]=a×b·c（2)性質(zhì)

輪換性：[abc]=[bca]=[cab]×與·互換性：a×b·c=a·b×c互換兩向量,差一符號(hào)：[abc]=-[bac]=-[cba]=-[acb]（3)幾何應(yīng)用（i)

以a，b，c為棱的平行六面體體積:a×babcV=|[abc]|(返)=|a×b||c|cos<a×b,c>（ii)a，b，c

共面[abc]=a×b·c

=0a×b⊥c存在不全為0的數(shù)k、l、m使ka+lb+mc=0(4)例:已知a×b·c=2，求：[(a+b)×(b+c)]·(c+a)4空間四點(diǎn)

Mi

(xi

,yi

,zi

)(i=1,2,3,4)

共面

向量M1M2,M1M3,M1M4共面(M1M2,M1M3,M1M4)

=0x2–x1y2–y1z2–z1

x3–x1y3–y1z3–z1

x4–x1y4–y1z4–z1

=0x1

y1

z1

1

x2y2

z21x3y3z3

1x4

y4

z41=0平面三點(diǎn)

Mi

(xi

,yi)(i=1,2,3)

共線

向量M1M2,M1M3共線x1

y11

x2y21x3y31=0x2–x1x3–x1y2–y1y3–y1=空間直角坐標(biāo)系yxozIIIIIIIVVVIVIIVIII1.坐標(biāo)系的構(gòu)造O;Ox,Oy,Oz;xOy,yOz,zOx;I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII返2.點(diǎn)M的坐標(biāo)OxyzMxyzM(x，y，z)各卦限點(diǎn)坐標(biāo)符號(hào)特點(diǎn)？各坐標(biāo)面的點(diǎn)呢？各坐標(biāo)軸的點(diǎn)呢？原點(diǎn)呢？（1）坐標(biāo)平移公式O’x’y’z’(a，b，c)(x’，y’，z’)x’=x-ay’=y-bz’=z-c（2）兩點(diǎn)間距離公式|OM|=√x2+y2+z2若M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)則|M1M2|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2卦限M(x，y，z),返3.向量的坐標(biāo)（1）基本單位向量jk單位:ii·=jj·=kk·=1ijk×=兩兩垂直:ij·=jk·=ki·=0且右手系:ij×=kiki×=jkij×=-ijk×=-jki×=-（2）向量的坐標(biāo)OMxyza=PrjX

+Prjy

+Prjzijkaaa

或記作:{ax，ay，az}a=ax

+ay+az

ijk若則稱(ax，ay，az)為的坐標(biāo)aOM=x+y+zijka=由知aax=PrjXaay=Prjyaaz=PrjzzOxyM1aM2若M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)M1M2OM2OM1=-=(x2–x1)

+

(y2–y1)

+

(z2–z1)

ijk=(x2

+y2

+z2)

ijk–(x1

+y1+z1)ijk終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)練習(xí)：已知M1(2,-2,1),M2(-3,2,-1)，求向量M1M2的坐標(biāo)若M

(x,y,z),則OM=(x,y,z)即:M1M2=(x2–x1,y2–y1,z2–z1)3.向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式=(ax,ay,

az)a=ax+ay+az

ijk=(bx,by,bz)b=bx+by+bz

ijk=(cx,cy,

cz)c=cx+cy+cz

ijk記則:=(ax±bx,ay±by,

az

±bz)a±

b(1)=(kax,kay,

kaz)=axbx+ayby+azbzab·(3)(4)a=b×az

axbzbxayazbybzax

aybxby，，jkiax

ay

azbx

by

bz=ax

ay

azbx

by

bzcxcy

cz(5)abc[]=證性質(zhì)性質(zhì)a(2)k返(6)模(7)方向余弦a||=√aa·(8)=a2x+a2y+a2z√cos

a2x+a2y+a2z√ax=cos

a2x+a2y+a2z√ay=cos

a2x+a2y+a2z√az=cos2+cos2+cos2=1ba∥axbxaybyazbz==ba⊥ax

bx+ayby+azbz=0a0=(cos,cos,cos)距離方向角i=<,>aj=<,>ak=<,>aaa||=鏈bac、、共面ax

ay

azbx

by

bzcxcy

cz=0a練:已知=(1,-2,3),=(2,1,0),=(6,-2,6).(2)求·,·,<,>ababcacbacca(1)+是否與平行?abcbabc(3)求×,[](4)設(shè)x=3+4-,y=2+

求<x,y>cb練1:已知A(1,0,-1),B(1,-2,0),C(1,1,1)(1)求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形面積.(2)求以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四面體體積.（1）3;（2）（1）平行；arccos（3）（-3，6，5），0;（2）0，28，（4）0i練2:已知=,=-2,=2-2+求一單位向量,使⊥,且,,共面jbkciajkddcabd±（，，）kikij++或

i練3:已知=+,=+,jbkcajcab向量,,的長(zhǎng)度相等,兩兩夾角也相等,求.分析（1）待定系數(shù)法（2）bac|（×）×|bac（×）×d=±分析兩兩內(nèi)積相等設(shè)=(x，y，z)c則x+y=1y+z=1x2+y2+z2=13.3空間中的平面與直線圖形的方程--圖形上任一點(diǎn)M(x,y,z)滿足此方程;滿足此方程的點(diǎn)M(x,y,z)

一定在圖形上.3.3.1空間中平面的方程垂直于平面的非0向量n平面的法向量—1.平面位置的確定:一點(diǎn)、法向量；三點(diǎn)；一點(diǎn)一外直線；兩直線(2)三點(diǎn)式方程已知Mi(xi,yi,zi)∈

,i=1，2，3,則

M(x,y,z)∈M1MM1M2M1M3，，共面x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=02.方程:(1)點(diǎn)法式方程M0(x0,y0,z0)∈

,(A,B,C),

nM(x,y,z)∈A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0M0Mn⊥M0nM(4)一般式方程Ax+By+Cz+D=0（A，B，C至少一個(gè)不為0）（待定系數(shù)法）

A，B，C，D的意義：（系數(shù)與圖形的關(guān)系）D=0--平面過(guò)原點(diǎn)A=0--（∥x軸）⊥x軸nA=D=0--A=B=0--過(guò)x軸∥z軸n（∥xoy面）A=B=D=0--

是xoy面(3)截矩式方程已知在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為p，q，r，則M(x,y,z)∈xpyqzr++=1（作圖）例：求過(guò)x軸，且過(guò)點(diǎn)M（4，-3，-1）的平面方程（1）待定系數(shù)法By+Cz=0(2)三點(diǎn)式(3)點(diǎn)法式y(tǒng)-3z=0ba練：已知平面過(guò)點(diǎn)M0（2，1，0），且平行于向量=（1，0，1），=（0，1，0），求平面方程x-z-2=03.3.2空間中直線的方程平行于直線L的非0向量s直線L的方向向量—1.直線位置的確定:一點(diǎn)、方向向量；兩點(diǎn)；兩相交平面2.方程:(1)標(biāo)準(zhǔn)式(點(diǎn)向式)方程已知M0(x0,y0,z0)∈L

,(m,n,p),則

sM(x,y,z)∈LM0Ms∥x-x0my-y0nz-z0p==(2)參數(shù)式方程M(x,y,z)∈Lt∈Tx=x0+mty=y0+ntz=z0+pt(3)兩點(diǎn)式方程已知Mi(xi,yi,zi)∈L

,i=1，2,則

M(x,y,z)∈Lx-x1x2-x1y-y1y2-y1z-z1z2-z1==(4)一般式方程（交面式）已知A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0交于一直線L,則L:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0例：求過(guò)點(diǎn)M0（2，1，3），且與直線L:垂直相交的直線L’方程.x+13y-12z-1==（1）兩點(diǎn)式(3)點(diǎn)向式(4)交面式--求出L與L’的交點(diǎn)M1←參數(shù)式（2）兩點(diǎn)式--求出過(guò)M0

垂直于L的平面與L的交點(diǎn)M1M0M2s’ss=（×）×L’--L與L’交的面n1M0M2s--=×--過(guò)M0

垂直于L的平面x-22y-1-1z-34==或(x+1)-2(y-1)+z=03(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0練:設(shè)直線L的一般方程為x-2y+4z-7=03x+5y-2z+1=0試求L的參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)方程.解=(-16,14,11)sn1n2×=jki1

-2

43

5

-2=在L上任取一點(diǎn)M0(,0,)57117L的標(biāo)準(zhǔn)方程為:57117x-

-16y-014z-

11==L的參數(shù)方程為:=tt∈Tx=–16t57117y=0+14tz=

+11t(添參)(消參)(拆等號(hào))3.3.3距離點(diǎn)-點(diǎn);點(diǎn)-線;點(diǎn)-面;線-線;線-面;面-面.點(diǎn)-點(diǎn):|M1M2|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2點(diǎn)-線:LM0M1sdd=|×|||sM1M0s點(diǎn)-面:練:求點(diǎn)(1,0,2)到直線x-22y-1-1z-34==的距離.M0M1dnd=|·|||nM1M0n練:求點(diǎn)(1,-1,2)到平面2x+3y-z-5=0的距離.|Ax0+By0+Cz0+D||√A2+B2+C2

|=線-線(異面直線):x-x1m1y-y1n1z-z1p1==L1x-x2m2y-y2n2z-z2p2==L2M2s2M1s1L2dL1s1s2×d=|Prj

s1×s2

|M1M2練:求兩異面直線之間的距離.x1y2z3==L1x-2yz-3==L23.3.4位置關(guān)系線-線;線-面;面-面.1.平面與平面Aix+Biy+Ciz+Di=0ii=1,2平行A1A2B1B2C1C2D1D2==≠A1A2B1B2C1C2D1D2===A1A2+

B1B2+

C1C2=0重合垂直兩平面的夾角--=<,>n1n20≤

≤2|A1A2+

B1B2+

C1C2|√A12+B12+C12

√A22+B22+C22

=COSn2n12.直線與直線平行m1m2n1n2p1p2==m1m2+

n1n2+

p1p2=0重合垂直兩直線的夾角--=<,>s1s20≤

≤2|m1m2+

n1n2+

p1p2|√m12+n12+p12

√m22+n22+p22

=COSi=1,2x-ximiy-yiniz-zipi==Lim1m2n1n2p1p2==且M1在L2上練:已知L2x=2tL1z=4ty=-3+3tx-11y+21z-22==問(wèn):L1與L2是否共面,是否相交,若相交,求其交點(diǎn).解L1與L2共面M1M2s1s2[