路線最短問題

路線最短問題兩點之間線段最短、垂線段最短考查知識點----“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。原型----“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路----找點關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。

我想試試

羅賽蒂那個說“我想試試”的小孩他將登上山巔，那個說“我不成”的小孩，在山下停步不前。“我想試試”每天辦成很多事，“我不成”就真一事無成。因此你務(wù)必說“我想試試”，將“我不成”棄于埃塵。不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總化歸到“兩點之間線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對稱點”?；虬丫€段之和化歸到“垂線段最短”。路線最短問題兩點之間線段最短垂線段最短利用費馬點求最短利用對稱性作垂線段折變直定義最短路線問題

考查知識點----“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。原型----“飲馬問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路----找點關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。類型一：飲馬問題原型兩點之間線段最短利用對稱“折”變“直”A·B·A'·類型一：動點在一條直線上1、（2009年達州）在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.ABCDQ·P·2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（）A、

B、

C、

D、3（動點，作A關(guān)于BC的對稱點A‘，連A’D交BC于P，涉及勾股定理及相似）例3：已知：拋物線的對稱軸為x=-1,與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點其中

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式．

（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小．請求出點P的坐標(biāo)．

（3）若點D是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．

求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試

說明S是否存在最大值，若存在，

請求出最大值；若不存在，請說

明理由．·P學(xué)得怎樣？演練一下：一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo)．再試試144頁：第4題（面對面）C'類型二：動點在兩條直線上P是銳角AOB內(nèi)部任意一點，在∠AOB的兩邊OA，OB上各取一點Q，R，組成三角形，使三角形PQR周長最小。(如圖所示)D·P·ABC·QRO直接利用兩點之間線段最短求最短路線1、如圖C為線段BD上一動點分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD連接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD為x，（1）試用x的代數(shù)式表示AC+CE的長（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE值最小？（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式ABCDE造橋選址問題：A、B兩點位于一條河的兩岸，假定河的兩岸筆直且平行如圖，先要在河上垂直于河岸修建一座橋，問橋建在何處，才能使由A點經(jīng)過這座橋到B點的路程最短？A··B·B飲馬問題2：如圖，某人從A地到河邊L飲馬，然后沿著筆直的河邊走固定的距離a，最后回到營地B，此人怎樣選擇飲馬地點，才能使所走的路程最短？B·aA·A·A·P類型二：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6 若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是（）垂線段最短“折線段”變“垂線段”ABCP∟P從直線外一點向這條直線所引的所有線段中，垂線段最短11、(09陜西)如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____（2）幾何拓展：如圖2,△ABC中，AB=2，∠BAC=30,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，這個最小值為；解：作點B關(guān)于AC的對稱點B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時BM+MN的值最?。瓸M+MN=B′N．立體圖形上最短路線問題方法：曲面變平面。11．如圖3,長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是:

B.25

C.10

D.35

A.方法：曲面變平面。

練習(xí)：如圖，已知：圓錐的底面半徑為

，母線SA長為2，M為SA的中點，有一根繩子從A點出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面繞一周到達M點，問繩子最短是多少？在△ABC內(nèi)求一點P，使PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點為“費馬點”．1．當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°的時候，則費馬點就是這個內(nèi)角的頂點．

2．如果三個內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么，費馬點就是三角形內(nèi)與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120°的點．正三角形的費馬點剛好是正三角形的中心

費馬點的問題例2(2009北京)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個點的坐標(biāo)分別為A(-6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長AC到點D，使CD=AC，過點D作DE∥AB，交BC的延長線于點E．(1)求D點的坐標(biāo)；

（2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F，分別連結(jié)DF，EF，若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等