復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章

復(fù)變函數(shù)與積分變換主講教師：雷春林

電話:642122郵箱：leichunlin0113@126.com1.期末總評成績?yōu)榘俜种?。總評成績?nèi)绾斡嬎?.平時成績占50％，根據(jù)作業(yè)、課堂出勤等情況由任課老師給分。3.期末考試成績占50％。期末考試試卷由本課程組老師共同批改。

作業(yè)：每周交一次，每個班每次按1-10,11-20,21-40號輪流交。學(xué)習(xí)委員收齊并按學(xué)號排序,

每周二課前交給我。不收遲交的作業(yè)，每人準備兩個薄一點的作業(yè)本。作業(yè)的要求背景復(fù)數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀奠定的。A.L.Cauchy

（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算三、小結(jié)與思考7一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:對虛數(shù)單位的規(guī)定:8虛數(shù)單位的特性:……92.復(fù)數(shù):10例1解令11

兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說,復(fù)數(shù)不能比較大小.12二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:133.共軛復(fù)數(shù):

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例2解4.兩復(fù)數(shù)的商:155.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.16例3解17例4解18例5證19三、小結(jié)與思考

本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運算.重點掌握復(fù)數(shù)的運算,它是本節(jié)課的重點.第二節(jié)復(fù)數(shù)的三角表示一、復(fù)數(shù)的模與輻角二、乘積與商三、復(fù)數(shù)的乘方與開方21一、復(fù)數(shù)的模與輻角1.復(fù)平面的定義222.復(fù)數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立233.復(fù)數(shù)的輻角說明輻角不確定.24輻角主值的定義:25利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式4.復(fù)數(shù)的三角表示26例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式:解故三角表示式為27故三角表示式為28二、乘積與商定理一

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.證由此可將結(jié)論推廣到n

個復(fù)數(shù)相乘的情況。29兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為[證畢]30定理二

兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證按照商的定義,31例1解32三、冪與根1.n次冪:33棣莫佛公式棣莫佛介紹2.棣莫佛公式例2推導(dǎo)過程如下:根據(jù)棣莫佛公式,35當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時,這些根又重復(fù)出現(xiàn).36從幾何上看,37例3解38例4解即39第三節(jié)平面點集的一般概念一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考42一、區(qū)域的概念1.鄰域:2.去心鄰域:433.內(nèi)點:4.開集:

如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末G稱為開集.445.區(qū)域:

如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(1)D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個點集,如果在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點和不屬于D的點,則稱點P為D的邊界點.D的所有邊界點組成D的邊界.46說明(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.(2)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域47以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域:48(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.49二、單連通域與多連通域1.連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:502.光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.513.簡單曲線:

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).52換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):

任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.內(nèi)部外部邊界53課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉544.單連通域與多連通域的定義:

復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域55三、典型例題例1

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域(如圖).56是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.57表示到1,–1的距離之和為定值4的點的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.第四節(jié)無窮大與復(fù)球面一、無窮遠點二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考一、無窮遠點及其鄰域60二、復(fù)球面1.南極、北極的定義61球面上的點,除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng),記作∞.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大∞的幾何表示.球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.2.復(fù)球面的定義623.擴充復(fù)平面的定義包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)∞來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴充復(fù)平面的無窮遠點明顯地表示出來.6364三、小結(jié)與思考學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法.并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴充復(fù)平面.注意：為了用球面上的點來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠點．無窮遠點與無窮大這個復(fù)數(shù)相對應(yīng),所謂無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實數(shù)中的無窮大或正、負無窮大混為一談．第五節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義二、復(fù)變函數(shù)的極限三、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)與思考66一、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:672.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:684.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:例如,例70二、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:xOz0dzOuAef(z)722.極限計算的定理定理一證根據(jù)極限的定義(1)必要性.73(2)充分性.74[證畢]說明75定理二與實變函數(shù)的極限運算法則類似.76例1證:77根據(jù)定理一可知,78例2證根據(jù)定理一可知,79三、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:80定理三例如,81定理四82例3證例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz84四、小結(jié)與思考

通過本課的學(xué)習(xí),熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運算法則與性質(zhì).

注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同,但在實質(zhì)上有很大的差異,它較之后者的要求苛刻得多.85思考題86思考題答案沒有關(guān)系.極限值都是相同