2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 1.3 交集、并集 學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集和交集.2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.3.掌握區(qū)間的表示方法．導(dǎo)語通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道集合A在集合S的補(bǔ)集?SA是由給定的兩個集合A，S得到的一個新集合．這種用兩個給定集合按照某種規(guī)則得到一個新集合的過程，稱為集合的運(yùn)算．本節(jié)課我們學(xué)習(xí)集合的另兩種運(yùn)算：集合的交集、補(bǔ)集．一、交集問題1某超市進(jìn)了兩次貨，第一次進(jìn)的貨是圓珠筆、鋼筆、橡皮、筆記本、方便面、汽水共6種，第二次進(jìn)的貨是圓珠筆、鉛筆、火腿腸、方便面共4種，我們用集合A表示第一次進(jìn)貨的品種，用集合B表示第二次進(jìn)貨的品種，通過觀察，你能用集合C表示兩次進(jìn)貨一樣的品種嗎？并討論集合A，B與集合C的關(guān)系．提示A＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B＝{圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}，則C＝{圓珠筆，方便面}，容易發(fā)現(xiàn)集合C是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的．知識梳理1．交集的概念自然語言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言2.交集的性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A.(2)A∩B?A，A∩B?B.注意點(diǎn)：(1)A∩B仍是一個集合．(2)文字語言中“所有”的含義：A∩B中任一元素都是A與B的公共元素，A與B的公共元素都屬于A∩B.(3)如果兩個集合沒有公共元素，不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?.例1(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B等于()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案D解析因?yàn)榧螧中，x∈A，所以當(dāng)x＝1時，y＝3－2＝1；當(dāng)x＝2時，y＝3×2－2＝4；當(dāng)x＝3時，y＝3×3－2＝7；當(dāng)x＝4時，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因?yàn)锳＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．(2)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案A解析在數(shù)軸上表示出集合A與B，如圖所示．則由交集的定義，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．反思感悟交集運(yùn)算的注意點(diǎn)若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．跟蹤訓(xùn)練1(1)若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}答案A解析易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{2}．(2)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1，或x>3}，則A∩B等于()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}答案A解析因?yàn)锳＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1，或x>3}，所以A∩B＝{x|－2<x<－1}．二、并集問題2對于問題1中的集合A與集合B，你能用集合D表示兩次一共進(jìn)貨的品種嗎？并討論集合A，B與集合D的關(guān)系．提示由A＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B＝{圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}知，集合D＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水，鉛筆，火腿腸}，可見，集合D是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的．知識梳理1．并集的概念自然語言一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言2.并集的性質(zhì)(1)A∪B＝B∪A.(2)A?A∪B，B?A∪B.注意點(diǎn)：(1)A∪B仍是一個集合．(2)并集符號語言中的“或”包含三種情況：①x∈A且x?B；②x∈A且x∈B；③x?A且x∈B.(3)對概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互異性．例2(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}答案A解析在數(shù)軸上表示出集合A與B，如圖所示，故A∪B＝{x|x>－2}．(2)已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．解∵A∪B＝A，∴B?A，∴分B＝?和B≠?兩種情況討論．①當(dāng)B＝?時，k＋1>2k－1，∴k<2.②當(dāng)B≠?時，則根據(jù)題意畫數(shù)軸如圖所示，根據(jù)數(shù)軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1≤2k－1，,－3<k＋1，,2k－1≤4，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合①②可得k的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(5,2))))).反思感悟(1)并集的運(yùn)算技巧①若集合中元素個數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性．②若集合中元素個數(shù)無限，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意是否去掉端點(diǎn)值．(2)利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的技巧①在進(jìn)行集合運(yùn)算時，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問題，并注意A＝?的情況．②集合運(yùn)算常用的性質(zhì)：A∪B＝B?A?B；A∩B＝A?A?B；A∩B＝A∪B?A＝B.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，則A∪B等于()A．{x|－2<x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|1<x≤3} D．{x|－2<x≤3}答案D解析因?yàn)榧螦＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，所以A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)設(shè)集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}．若M∩N＝M∪N，則實(shí)數(shù)t的值為________．答案2解析由M∩N＝M∪N，得N＝M.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－t＝0，,2t＋1＝5，))解得t＝2.三、區(qū)間及其表示知識梳理1．區(qū)間概念(a，b為實(shí)數(shù)，且a<b)定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}左閉右開區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}左開右閉區(qū)間(a，b]2.其他區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}區(qū)間(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)注意點(diǎn)：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開閉不能混淆．(2)區(qū)間是實(shí)數(shù)集的一種表示形式，集合的運(yùn)算仍然成立．(3)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別．(4)∞是一個符號，而不是一個數(shù)．例3把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}．解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．反思感悟用區(qū)間表示數(shù)集的方法(1)區(qū)間左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值．(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開．(3)含端點(diǎn)值的一端用中括號，不含端點(diǎn)值的一端用小括號．(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號．跟蹤訓(xùn)練3(1)集合{x|－2<x≤2，且x≠0}用區(qū)間表示為________．答案(－2,0)∪(0,2]解析{x|－2<x≤2，且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2]．(2)已知區(qū)間(a2＋a＋1,7]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－3,2)解析由題意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3<a<2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3,2)．1．知識清單：(1)交集、并集的概念及運(yùn)算．(2)交集、并集運(yùn)算的性質(zhì)．(3)求參數(shù)值或范圍．(4)區(qū)間及其表示．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論．3．常見誤區(qū)：由交集、并集的關(guān)系求解參數(shù)時漏掉對集合為空集的討論．1．將集合A＝{x|1<x≤3}用區(qū)間表示正確的是()A．(1,3) B．(1,3]C．[1,3) D．[1,3]答案B解析集合A為左開右閉區(qū)間，可表示為(1,3]．2．(多選)滿足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于()A．{2} B．{1}C．{1,2} D．{1,2,3}答案AC解析∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能為{2}或{1,2}．3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝________.答案{－1,0,1,2}解析M∪N表示所有屬于M或?qū)儆贜的元素構(gòu)成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．4．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，則A∪B＝________，A∩B＝________.答案R{x|4≤x<5}解析借助數(shù)軸可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．1.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案D解析由Venn圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P.因?yàn)镸＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．2．已知集合A＝{x|x≤5，x∈R}，B＝{x|x>1，x∈R}，那么A∩B等于()A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{x|1<x≤5，x∈R}答案D解析∵A＝{x|x≤5，x∈R}，B＝{x|x>1，x∈R}，∴A∩B＝{x|1<x≤5，x∈R}．3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，則A∩?UB等于()A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}答案B解析由題意知，?UB＝{2,5}，則A∩(?UB)＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．4．(多選)若集合M?N，則下列結(jié)論正確的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．M?M∩N D．(?NM)∩N＝M答案ABC解析因?yàn)镸?N，所以M∩N＝M，M∪N＝N，M?M∩N，(?NM)∩N＝?NM，故選ABC.5．已知集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{y|y≤m}，且A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足()A．m<1B．m≤1C．m≥3D．m>3答案A解析∵集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{y|y≤m}，A∩B＝?，∴m<1.6．(多選)若集合A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，則()A．A∩B＝{2,3}B．A∪B＝{－1,1,2,3,4,5}C．A?BD．A∩B＝A∪B答案AB解析因?yàn)锳＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，所以A∩B＝{2,3}，A∪B＝{－1,1,2,3,4,5}，故選A，B.7．設(shè)全集U＝R，A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，則A∩(?UB)＝________.答案(0,1]解析∵U＝R，B＝(1，＋∞)，∴?UB＝(－∞，1]．又∵A＝(0，＋∞)，∴A∩(?UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1]＝(0,1]．8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(用區(qū)間表示)答案(－∞，1]解析因?yàn)锳∪B＝R，畫出數(shù)軸(圖略)可知表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)必須與表示1的點(diǎn)重合或在表示1的點(diǎn)的左邊，所以a≤1.9．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<3，或x≥7}，求：(1)A∪B；(2)C∩B.解(1)由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示，得到A∪B＝{x|2<x<10}．(2)由集合B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<3，或x≥7}，把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示，則C∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．10．已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|m<x<1－m}．(1)當(dāng)m＝－1時，求A∪B；(2)若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)當(dāng)m＝－1時，B＝{x|－1<x<2}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．(2)∵A∩B＝A，∴A?B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥3，,m≤1，))且m<1－m，解得m≤－2.11．設(shè)集合S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，則a的取值范圍是()A．－3<a<－1 B．－3≤a≤－1C．a(chǎn)≤－3或a≥－1 D．a(chǎn)<－3或a>－1答案A解析∵S∪T＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋8>5，,a<－1.))∴－3<a<－1.12．已知全集U，集合M，N是U的子集，且MN，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．(?UM)∪(?UN)＝UB．M∩(?UN)＝?C．M∪(?UN)＝UD．(?UM)∩N＝?答案B解析集合M，N是U的子集，且MN，對于A，(?UM)∪(?UN)＝?UM，故A不正確；對于B，M∩(?UN)＝?，故B正確；對于C，M∪(?UN)≠U，不包括屬于N且不屬于M的部分，故C不正確；對于D，(?UM)∩N≠?，其交集為屬于N且不屬于M的部分，故D不正確．13．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，則2a－b等于()A．－1 B．7C．－4 D．－5答案C解析如圖所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.14．已知集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a＝________；若A∩B＝{3,4}，則實(shí)數(shù)a＝________.答案－22或4解析∵集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，B?A，∴a＝－2.∵A∩B＝{3,4}，∴a＝4或a2＝4，∴a＝±2或4.當(dāng)a＝－2時，B＝{3，－2,4}，不符合題意；當(dāng)a＝2或4時，B＝{3,2,4}或{3,4,16}，符合題意，∴實(shí)數(shù)a＝2或4.15．某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛乒乓球運(yùn)動，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為________．答案12解析設(shè)所求人數(shù)為x，則只喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為10－(15－x)＝x－5，故15＋(x－