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第六章系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)信號(hào)通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析無失真系統(tǒng)與理想低通抽樣與抽樣定理離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析一、連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-<t<)通過系統(tǒng)的響應(yīng)任意非周期信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)頻響H(jw)的定義與物理意義H(jw)與h(t)的關(guān)系求H(jw)
的方法1.虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-<t<)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.任意非周期信號(hào)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號(hào)f(t)的Fourier存在,則可由虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-<t<)的線性組合表示,即由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性,可推出信號(hào)f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf
(t)。由均勻性由積分特性3.連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)系統(tǒng)把頻譜F(jw)
的輸入改變成頻譜H(jw)F(jw)的響應(yīng),改變的規(guī)律完全由H(jw)決定。
H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng),定義為H(jw)的物理意義:
H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號(hào)不同頻率分量的傳輸特性。4.H(j)與h(t)的關(guān)系由H(jw)的定義,顯然有即H(jw)等于系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換假定
h(t)絕對可積5.求H(j)的方法由系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式直接計(jì)算;由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅立葉變換計(jì)算;由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計(jì)算。[例]已知某LTI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解(1)利用Fourier變換的微分特性,微分方程的頻域表示式為由定義可求得(2)系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)h(t)滿足
h"(t)+3h'(t)+2h(t)=(t)得
圖示RC電路系統(tǒng),激勵(lì)電壓源為f(t),輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t),電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解:RC電路的頻域(相量)模型如右圖由Fourier反變換,系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加,系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小,說明信號(hào)的頻率越高,信號(hào)通過系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707,所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。二、連續(xù)非周期信號(hào)通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析1.已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進(jìn)行Fourier變換,并利用時(shí)域微分特性,有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜Yf
(jw)2.已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對Yf
(jw)進(jìn)行Fourier反變換,可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系:(1)兩種分析方法實(shí)質(zhì)相同,只不過采用單元信號(hào)不同。(2)分析域不同,卷積積分法——時(shí)域,頻域分析法——頻域。Fourier變換的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。已知某LTI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為y"
(t)+3y'
(t)+2y(t)=3f'
(t)+4f(t),系統(tǒng)的輸入激勵(lì)f(t)=e-3tu(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf
(t)。[解]輸入激勵(lì)f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf
(t)的頻譜函數(shù)Yf
(jw)為三、連續(xù)周期信號(hào)通過系統(tǒng)響應(yīng)的
頻域分析正弦信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)
由Euler公式及虛指數(shù)信號(hào)ejwt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線性特性,可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為同理結(jié)論:
正、余弦信號(hào)作用于線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí),其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號(hào)。輸出信號(hào)的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(jw0)|確定,輸出信號(hào)的相位相對于輸入信號(hào)偏移了f(w0)。三、連續(xù)周期信號(hào)通過系統(tǒng)響應(yīng)的
頻域分析將是周期為T0的周期信號(hào)f(t)用Fourier級(jí)數(shù)展開為因?yàn)楣视上到y(tǒng)的線性特性可得周期信號(hào)f(t)通過頻率響應(yīng)為H(jw)的系統(tǒng)的響應(yīng)為若f(t)、h(t)為實(shí)函數(shù),則有求圖示周期方波信號(hào)通過系統(tǒng)H(jw)=1/(a+jw)的響應(yīng)y(t)。解:對于周期方波信號(hào),其Fourier系數(shù)為由可得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)為系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)優(yōu)點(diǎn):求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí),可以直觀地體現(xiàn)信號(hào)通過系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變,解釋激勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形的差異,物理概念清楚。
不足:
(1)只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍按時(shí)域方法求解。(2)若激勵(lì)信號(hào)不存在傅立葉變換,則無法利用頻域分析法。(3)頻域分析法中,傅立葉反變換常較復(fù)雜。
解決方法:采用拉普拉斯變換無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想濾波器的頻響特性理想低通濾波器
沖激響應(yīng)
階躍響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)
若輸入信號(hào)為f(t),則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)y(t)應(yīng)為K為常數(shù),td是輸入信號(hào)通過系統(tǒng)后的延遲時(shí)間。
輸出的信號(hào)與輸入的信號(hào)相比只是在幅度和出現(xiàn)時(shí)間上有變化,波形無任何變化。時(shí)域特性:頻域特性:
幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)
無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足兩個(gè)條件:(1)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jw)|在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K,即系統(tǒng)的帶寬為無窮大;(2)系統(tǒng)的相位響應(yīng)f(jw)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比。相位特性
f(jw)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比?設(shè)激勵(lì)信號(hào)響應(yīng)為了不產(chǎn)生相位失真,基波與二次諧波有相同的延時(shí)時(shí)間因此
系統(tǒng)的相位特性是一條通過原點(diǎn)的直線理想濾波器的頻響特性濾波器是指能使信號(hào)的一部分頻率通過,而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。低通高通帶通帶阻理想低通濾波器幅頻響應(yīng)|H(jw)|在通帶0~wc
恒為1,在通帶之外為0。相頻響應(yīng)f(w)在通帶內(nèi)與成線性關(guān)系
理想低通濾波器的沖激響應(yīng)理想低通濾波器沖激響應(yīng)分析(1)h(t)的波形是一個(gè)取樣函數(shù),不同于輸入信號(hào)d(t)的波形,有失真。原因:理想低通濾波器是一個(gè)帶限系統(tǒng),而沖激信號(hào)d(t)的頻帶寬度為無窮大。減小失真方法:增加理想低通截頻wc。
h(t)的主瓣寬度為2p/wc,wc越小,失真越大。當(dāng)wc
時(shí),理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng),
h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。(2)h(t)主峰出現(xiàn)時(shí)刻t=td比輸入信號(hào)d(t)作用時(shí)刻t=0延遲了一段時(shí)間td。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。(3)h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出,可見理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)。求帶通信號(hào)f(t)=Sa(t)cos2t
,
-<t<,
通過線性相位理想低通濾波器
的響應(yīng)。解:因?yàn)槔肍ourier變換的頻移特性,可得(1)當(dāng)wc
>3時(shí),輸入信號(hào)的所有頻率分量都能通過系統(tǒng),即
y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos2(t-td)(2)當(dāng)wc
<1時(shí),輸入信號(hào)的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng),即(3)當(dāng)1<wc
<3時(shí),只有1wc范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng),故由抽樣信號(hào)頻譜及Fourier變換的時(shí)域和頻域位移特性可得連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣信號(hào)抽樣的理論分析時(shí)域抽樣定理抽樣定理的工程應(yīng)用信號(hào)重建實(shí)際應(yīng)用舉例1.信號(hào)抽樣的理論分析理想抽樣信號(hào)的頻譜分析若連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω),則抽樣信號(hào)
的頻譜函數(shù)為
其中:
T
為抽樣間隔,ws=2p/T為抽樣角頻率抽樣信號(hào)fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系2.時(shí)域取樣定理若帶限信號(hào)f(t)的最高角頻率為ωm,則信號(hào)f(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。而抽樣間隔T需不大于1/2fm,或最低抽樣頻率fs不小于2fm。若從抽樣信號(hào)fs(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t),需滿足兩個(gè)條件:(1)
f(t)是帶限信號(hào),即其頻譜函數(shù)在|w|>wm各處為零;(2)抽樣間隔T需滿足
3.抽樣定理的工程應(yīng)用許多實(shí)際工程信號(hào)不滿足帶限條件低通濾波器4.信號(hào)重建由抽樣信號(hào)fs(t)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)f
(t)離散信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)
ejWk通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)任意信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)
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