第四章定積分第01講

DefiniteintegralsanditsApplicationsinOneVariable本章內(nèi)容定積分概念、性質(zhì)微積分學(xué)基本定理(Newton-Leibniz)定積分與不定積分的關(guān)系積分的計算——兩大基本積分法定積分的應(yīng)用(微元法研究函數(shù)整體性態(tài))第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義實例1(幾何問題__求曲邊梯形的面積)§4.1.1問題的提出曲邊梯形：由連續(xù)曲線abxyo曲邊梯形的面積計算abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）解決問題的基本思想——

局部“以直代曲”求得面積的近似值，最后通過取極限，得出面積的準(zhǔn)確值。具體做法：

曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實例2(求變速直線運動的路程)思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．(1)分割部分路程值某時刻的速度(2)求和(3)取極限路程的精確值

許多類似的實際問題：“求一個整體量

——Tointegrate”最終在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為:求一種特殊結(jié)構(gòu)的和式的極限——

就是所謂的定積分?！?.1.2

定積分的定義被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限因此前面兩個問題可以分別寫為面積路程定義2.定義2.注意

G.F.B.Riemann(1826-1866)

(3)可積

可積某一特殊分割和特殊取點法,極限存在.實際上任意方法取點，任意分割及在極限都存在;極限過程是(4)定義中區(qū)間的分法、ix的取法是任意的.

例Dirichlet函數(shù)在[0,1]上可積?

任意細分區(qū)間而在每個上取點為無理數(shù)時,而在每個上取點為有理數(shù)時,不

(3)可積

可積某一特殊分割和特殊取點法,極限存在.實際上任意方法取點，任意分割及在極限都存在;極限過程是(4)定義中區(qū)間的分法、ix的取法是任意的.被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和定積分的定義:定義1注意(5)函數(shù)在[a,b]上可積，則在[a,b]上必有界?。煞e的必要條件）證

(反證法)若在上無界，從而可以使任意大,上不可積。無界函數(shù)在定義域上定不可積；有界函數(shù)未必可積!(5)[a,b]上可積必有界！第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義定理3若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)有界，則在上黎曼可積。定理2若函數(shù)在區(qū)間上有界，只有有限個第一類間斷點，則在上黎曼可積。存在定理(可積準(zhǔn)則Ⅰ&Ⅱ)§4.1.3曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的負(fù)值定積分的幾何意義幾何意義封閉部分“有號面積”的代數(shù)和.“曲邊梯形面積”,

第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例基本概念§4.1.2

定積分的定義我們可以選擇有利于計算的‘分割區(qū)間’與‘取點’的方法,然后通過計算極限求出定積分的值。

可積某一特殊分割和特殊取點法,極限存在.任意方法取點，任意分割積分區(qū)間，及在極限都存在;解@2

用定積分的定義計算解:為便于計算將[a,b]區(qū)間n

等分,整理和式為一個緊湊的形式:分點為：

為整理和式為一個緊湊的形式:用定義來計算定積分是很困難的.一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的,

大多甚至得不到結(jié)果；二是即便能整理出一個公式,極限的計算往往也很困難.第一節(jié)§4.1.1

積分問題舉例§4.1.4

定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式基本概念§4.1.2

定積分的定義對定積分的補充規(guī)定:證明:(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)證明:由常數(shù)可提到求和號/極限號外面來即得.常數(shù)的積分:k線性運算的積分=積分的線性運算---推廣到n個[a,b]上可積函數(shù)的線性組合計算.整個區(qū)間上的積分=各部分區(qū)間上積分之和證：在分割時，讓c是一個分點，則有令,cA2A1上式兩端同取極限即得結(jié)論成立.例如若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則證明保號性性質(zhì)6證明保序性>>性質(zhì)7：絕對值性質(zhì)證明基本估值不等式mM基本估值不等式

x=0解:解:…..證明由介值定理,即積分中值公式的幾何解釋：平均高度——函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的積分平均值證明設(shè)證明設(shè)用定義來計算定積分是很困難的.一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的,

大多甚至得不到結(jié)果的；二是即便能整理出一個公式,極限的計算往往也很困難.因此有必要尋找新的計算方法,這就首先需要了解定積分的性質(zhì)，先考察最基本的性質(zhì).第一節(jié)基本概念§4.1.1問題的提出§4.1.4定積分的性質(zhì)§4.1.5

微積分基本公式§4.1.2定積分的定義變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程函數(shù)為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出牛頓—萊布尼茨公式考察定積分記二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證明由積分中值定理得積分上限函數(shù)的性質(zhì)可導(dǎo)，則它與積分上限函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

定理1推廣則，解證明由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得到積分上限函數(shù)的性質(zhì)定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)證明三、牛頓—萊布尼茨公式牛頓—萊布尼茨公式證明…微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.…..用定積分的定義計算解:為便于計算將[a,b]區(qū)間n

等分,分點為：整理和式為一個緊湊的形式:為整理和式為一個緊湊的形式:一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓—萊布尼茨公式!§4.1.3

微積分基本公式原式解解@3解由圖形可知常義積分：有限區(qū)間上有界函數(shù)的積分廣義積分：有限區(qū)間上無界函數(shù)或者函數(shù)在無限區(qū)間上積分第一節(jié)§4.1.1