相關(guān)和回歸分析

關(guān)于相關(guān)和回歸分析第一頁，共六十七頁，2022年，8月28日

相關(guān)和回歸分析是研究事物的相互關(guān)系，測(cè)定它們聯(lián)系的緊密程度，揭示其變化的具體形式和規(guī)律性的統(tǒng)計(jì)方法，是構(gòu)造各種經(jīng)濟(jì)模型、進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、政策評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)和控制的重要工具。第二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/122本章學(xué)習(xí)目的1.理解相關(guān)的意義、主要形式、以及相關(guān)分析的基本內(nèi)容。2.掌握相關(guān)系數(shù)的設(shè)計(jì)原理，以及相關(guān)關(guān)系顯著性檢驗(yàn)。3.回歸和相關(guān)的區(qū)別和聯(lián)系4.普通最小二乘法的原理以及回歸參數(shù)的意義。5.估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的分析等。第三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/123

第一節(jié)相關(guān)的意義和種類一、問題的提出二、相關(guān)關(guān)系的概念三、相關(guān)關(guān)系的種類四、相關(guān)關(guān)系的主要內(nèi)容第四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/124一、問題的提出相關(guān)第五頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/125蝴蝶翅膀振動(dòng)候鳥遷徙海嘯死亡人數(shù)correlation?第六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/126一、相關(guān)關(guān)系的概念

客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系存在著兩種不同的類型：

函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系：即當(dāng)一個(gè)(或一組)變量每取一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)的另一個(gè)變量必然有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)。

第七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/127（函數(shù)關(guān)系）（1）是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系（2）設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量（3）各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上

xy第八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/128自變量與因變量如果變量之間有因果關(guān)系，那么原因變量就叫作自變量，而受自變量影響的變量就稱因變量。自變量通常發(fā)生在因變量之前。（不是所有先發(fā)生的變量都是自變量）一般自變量記為X，因變量記為Y。第九頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/129【例】（1）某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為y=px(p為單價(jià))（2）圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為

S=R2（3）企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)、單位產(chǎn)量消耗(x2)、原材料價(jià)格(x3)之間的關(guān)系可表示為y=x1x2x3

第十頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1210相關(guān)關(guān)系（correlationanalysis）：相關(guān)關(guān)系：變量之間存在有依存關(guān)系，但這種關(guān)系是不完全確定的隨機(jī)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)(或一組)變量每取一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)的另一個(gè)變量可能有多個(gè)不同值與之對(duì)應(yīng)。第十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1211第十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1212

因果關(guān)系相關(guān)關(guān)系互為因果關(guān)系共變關(guān)系隨機(jī)性依存關(guān)系確定性依存關(guān)系函數(shù)關(guān)系變量之間關(guān)系第十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1213

相關(guān)關(guān)系（1）變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)；（2）一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定；（3）當(dāng)變量x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值可能有幾個(gè)；（4）各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍。xy第十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1214【例】商品的消費(fèi)量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費(fèi)支出(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系父母親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系身高與體重的關(guān)系第十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1215相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的關(guān)系:在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化.

具有函數(shù)關(guān)系的變量,當(dāng)存在觀測(cè)誤差和隨機(jī)因素影響時(shí),其函數(shù)關(guān)系往往以相關(guān)的形式表現(xiàn)出來.

而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的聯(lián)系,如果我們對(duì)它們有了深刻的規(guī)律性認(rèn)識(shí),并且能夠把影響因變量變動(dòng)的因素全部納入方程,這時(shí)相關(guān)關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.另外,相關(guān)關(guān)系也具有某種變動(dòng)規(guī)律,所以,相關(guān)關(guān)系也經(jīng)?？梢杂靡欢ǖ暮瘮?shù)形式去近似地描述.第十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1216二、相關(guān)關(guān)系的種類1.按相關(guān)的程度分：完全相關(guān)不完全相關(guān)

不相關(guān)(或零相關(guān))例:完全相關(guān):在價(jià)格P不變的情況下,銷售收入Y與銷售量X

的關(guān)系;

不相關(guān):股票價(jià)格的高低與氣溫的高低是不相關(guān)的;第十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/12172.按相關(guān)的方向分：正相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)：兩個(gè)變量之間的變化方向一致，都是增長(zhǎng)趨勢(shì)或下降趨勢(shì)。

例:收入與消費(fèi)的關(guān)系;

工人的工資隨勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高而提高。負(fù)相關(guān)：兩個(gè)變量變化趨勢(shì)相反，一個(gè)下降而另一個(gè)上升，或一個(gè)上升而另一個(gè)下降。

例:物價(jià)與消費(fèi)的關(guān)系;

商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模愈大,流通費(fèi)用水平則越低。第十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/12183.按相關(guān)的形式分：線性相關(guān)非線性相關(guān)

線性相關(guān)（直線相關(guān)）：當(dāng)一個(gè)變量每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，另一個(gè)變量按一個(gè)大致固定的增(減)量變動(dòng)。例:人均消費(fèi)水平與人均收入水平非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）：當(dāng)一個(gè)變量變動(dòng)時(shí)，另一個(gè)變量也相應(yīng)發(fā)生變動(dòng)，但這種變動(dòng)是不均等的。例:產(chǎn)品的平均成本與總產(chǎn)量;

農(nóng)產(chǎn)量與施肥量.第十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/12194.按相關(guān)的影響因素多少分：?jiǎn)蜗嚓P(guān)復(fù)相關(guān)偏相關(guān)單相關(guān)(一元相關(guān))：只有一個(gè)自變量。復(fù)相關(guān)(多元相關(guān))：有兩個(gè)及兩個(gè)以上的自變量。如:居民的收入與儲(chǔ)蓄額;成本與產(chǎn)量如:某種商品的需求與其價(jià)格水平以及收入水平之間的相關(guān)關(guān)系便是一種復(fù)相關(guān)。第二十頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1220

偏相關(guān):

在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場(chǎng)合，假定其他變量不變，專門考察其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。

如:

在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。第二十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1221不相關(guān)負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)

圖示第二十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1222第二節(jié)相關(guān)圖表和相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)表和相關(guān)圖二、簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)第二十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1223

相關(guān)分析:就是用一個(gè)指標(biāo)來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。廣義的相關(guān)分析包括相關(guān)關(guān)系的分析（狹義的相關(guān)分析）和回歸分析。第二十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1224定性分析是依據(jù)研究者的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及何種關(guān)系作出判斷。定量分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及密切程度。相關(guān)關(guān)系的判斷第二十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1225一、相關(guān)表和相關(guān)圖

相關(guān)表和相關(guān)圖是研究相關(guān)關(guān)系的直觀工具，在進(jìn)行詳細(xì)的定量分析之前，可以先利用它們對(duì)現(xiàn)象之間存在的相關(guān)關(guān)系的方向、形式、和密切程度作大致的判斷。第二十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1226簡(jiǎn)單相關(guān)表：將自變量x的數(shù)值按照從小到大的順序，并配合因變量y的數(shù)值一一對(duì)應(yīng)而平行排列的表。消費(fèi)支出y15203040425360657870可支配收入x18254560627588929899居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表單位：百元第二十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日

相關(guān)圖：又稱散點(diǎn)圖。將x置于橫軸上，y置于縱軸上，將（x,y）繪于坐標(biāo)圖上。用來反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形。例:第二十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1228二、簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)（一）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的概念是度量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。包括簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)、復(fù)相關(guān)系數(shù)、偏相關(guān)系數(shù)、曲線相關(guān)系數(shù)(相關(guān)指數(shù)).簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)又稱皮爾遜(1890年,英國(guó))相關(guān)系數(shù)，或積矩相關(guān)系數(shù)或動(dòng)差相關(guān)系數(shù)。若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體

相關(guān)系數(shù)，記為.若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，記為r.樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)量.

第二十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1229

樣本簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式(積差法)（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式式中：（1）1.用計(jì)算器計(jì)算協(xié)方差Sxy第三十頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1230（1）式可化簡(jiǎn)為如下公式：或：第三十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1231㈡用計(jì)算機(jī)計(jì)算⒈選取“工具”-“數(shù)據(jù)分析”⒉選“相關(guān)系數(shù)”⒊選“確定”⒋輸入“輸入?yún)^(qū)域”⒌輸入“輸出區(qū)域”⒍在“分組方式”中選“逐列”⒎選“標(biāo)志位于第一行”⒏確定出現(xiàn)結(jié)果如下：第三十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/12321.r

的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)相關(guān)

2.r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系

3.-1r<0，為負(fù)相關(guān)

4.0<r1，為正相關(guān)

5.|r|越趨于1表示關(guān)系越密切；|r|越趨于0表示關(guān)系越不密切相關(guān)系數(shù)取值及其意義第三十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1233r的范圍在是微弱相關(guān)r的范圍在是低度相關(guān);r的范圍在是顯著相關(guān);r的范圍在0.8以上是高度相關(guān).第三十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1234-1.0+1.00-0.5+0.5完全負(fù)相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加第三十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1235【例1】在研究我國(guó)人均消費(fèi)水平的問題中，把全國(guó)人均消費(fèi)額記為y，把人均國(guó)民收入記為x。我們收集到1995～2007年的樣本數(shù)據(jù)(xi

，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見表1，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。

表1我國(guó)人均國(guó)民收入與人均消費(fèi)金額數(shù)據(jù)單位:元年份人均國(guó)民收入人均消費(fèi)金額年份人均國(guó)民收入人均消費(fèi)金額1999200020012002200320042005393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515132006200720082009201020111068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148第三十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1236

解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有人均國(guó)民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9987第三十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1237【例2】計(jì)算人均可支配收入和消費(fèi)支出之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。第三十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1238解：由表中數(shù)據(jù)得：∑y＝473，∑x＝662，∑y2

＝26507，∑x2

＝51656，∑xy＝36933，n=10計(jì)算得人均可支配收入和消費(fèi)支出間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)為：第三十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日

第三節(jié)一元線性回歸分析一、回歸分析概念二、回歸分析的種類三、一元線性回歸分析第四十頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1240回歸方程一詞是怎么來的第四十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1241一、回歸分析的概念

是指對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型（稱為回歸方程式），用來近似地表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。第四十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1242二、回歸分析的內(nèi)容從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著。利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度。第四十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1243回歸分析和相關(guān)分析的區(qū)別：相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化.相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量y是隨機(jī)變量，自變量x則作為研究時(shí)給定的非隨機(jī)變量。相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對(duì)變量y的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制第四十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1244相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析和回歸分析有著密切的聯(lián)系，它們不僅具有共同的研究對(duì)象，而且在具體應(yīng)用時(shí)，常常必須互相補(bǔ)充。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在著高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。簡(jiǎn)單說：1、相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提；

2、回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。第四十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1245三、回歸分析的種類1.按自變量的個(gè)數(shù)分：一元回歸多元回歸2.按回歸方程的形式分：線性回歸非線性回歸本章主要介紹一元線性回歸。第四十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1246四、一元線性回歸分析（一）一元線性回歸方程當(dāng)只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為一元回歸，若因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系時(shí)稱為一元線性回歸。2、對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量，可以用一條線性方程來表示它們之間的關(guān)系。3、描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項(xiàng)

的方程稱為回歸模型。第四十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1247注意:⑴在兩個(gè)變量之間，必須確定哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量⑵回歸方程的主要作用是用自變量來推算因變量。第四十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1248

回歸模型的表達(dá)式如下：Y=a

+

X+e1、模型中，y是x的線性函數(shù)(部分)加上隨機(jī)誤差項(xiàng)2、線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化,是Y的數(shù)學(xué)期望,即對(duì)應(yīng)于X某一取值時(shí)Y的平均值:第四十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/12493、隨機(jī)誤差項(xiàng)(隨機(jī)干擾項(xiàng))是隨機(jī)變量A、反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì)y的影響B(tài)、是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性隨機(jī)誤差項(xiàng)是Y與E(Y)的離差:4、和稱為模型的參數(shù)第五十頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1250總體回歸線與隨機(jī)誤差項(xiàng)

XYiY

。。。。。第五十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1251（二）回歸參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)(OLS)

基本原理：

1、使因變量的觀察值Y與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來求得。即用最小二乘法擬合的直線來代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小。第五十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1252回歸參數(shù)推導(dǎo)過程：為使Q達(dá)到極小值，則須有：整理得如下標(biāo)準(zhǔn)方程組：第五十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1253解上述方程組得：其中可變形為：第五十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1254【例】根據(jù)例2（幻燈片38）中數(shù)據(jù)，擬合人均消費(fèi)支出對(duì)人均可支配收入的回歸方程，并指出回歸系數(shù)的含義。解：∑y＝473，∑x＝662，∑y2

＝26507，∑x2

＝51656，∑xy＝36933，n=10由表中數(shù)據(jù)得：所以：所建立的回歸方程為：回歸系數(shù)的含義是：人均可支配收入每增加1元，人均消費(fèi)支出平均增加0.72元。第五十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日根據(jù)例1（幻燈片36）中的數(shù)據(jù)，配合人均消費(fèi)金額對(duì)人均國(guó)民收入的回歸方程

人均消費(fèi)金額對(duì)人均國(guó)民收入的回歸方程為:y=54.22286+0.52638x第五十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1256第五十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1257相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系第五十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日2023/1/1258估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差Syx（可說明回歸方程的代表程度）實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值離差平方和的均方根。