直線與投影面夾角的表示法

關(guān)于直線與投影面夾角的表示法第一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日平行投影法中心投影法2.1投影法及其分類投影法投射線物體投影面投影投射線通過(guò)物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。投射中心斜投影法正投影法第二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心第三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日平行投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān)。度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。第四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法畫(huà)透視圖畫(huà)斜軸測(cè)圖畫(huà)工程圖樣及正軸測(cè)圖第五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)束？繼續(xù)？第六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

Pb●●AP采用多面投影。過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3●B2●B1●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a●2.2點(diǎn)的投影解決辦法？第七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個(gè)投影面互相垂直Y第八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日WHVOXZY空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影注意：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。a●a●a●

A●第九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開(kāi)WVHaa●x●●azZaayayaXY

YO第十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日●●●●XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=

aax=aay=xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa（A到H面的距離）aaz第十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過(guò)作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●第十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYYZo第十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日()a

cc重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)?！瘛瘛瘛瘛馻ac被擋住的投影加()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？A、C為H面的重影點(diǎn)第十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)束？繼續(xù)？第十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日aa

abbb●●●●●●2.3直線的投影兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●第十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置第十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實(shí)長(zhǎng)①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″第十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)β實(shí)長(zhǎng)γbaababbaabba直線與投影面夾角的表示法：第十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)第二十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)。投影特性HaβγaAbVBbWab第二十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。

◆點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb定比定理第二十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?第二十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aa

bbkab●k●k●aabbk●●k●第二十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日三、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX第二十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日例：判斷圖中兩條直線是否平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd第二十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉兩直線相交若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkk第二十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日●cdkkd例1：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac第二十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日′例2：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。c′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？交點(diǎn)不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比定理⒉利用側(cè)面投影第二十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒊兩直線交叉為什么？?jī)芍本€相交嗎？不相交！交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′第三十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′第三十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)束？繼續(xù)？第三十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.4平面的投影一、平面的表示法不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線平面圖形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc第三十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日二、平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把實(shí)形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行第三十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫娴谌屙?yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日cc⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abcabba類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。第三十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abcabcabc⑵投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。第三十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abcacbabc⑶一般位置平面三個(gè)投影都類似。投影特性：第三十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日acbca●abcb例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個(gè)解？45°第三十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日三、平面上的直線和點(diǎn)位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：⒈平面上取任意直線●●MNAB●M若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。第四十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abcbca

dd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一:解法二:有多少解？有無(wú)數(shù)解！n●m●n●m●abcbca第四十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？第四十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉平面上取點(diǎn)先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。bacakb●①c面上取點(diǎn)的方法：利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線k●dd②●abcabkck●第四十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日bckadadbckb例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一:解法二:cadadbc第四十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日dede1010m●m●例3：在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面V面的距離均為10mm。bcXbcaaO第四十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)束？繼續(xù)？第四十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。一、平行問(wèn)題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈直線與平面平行

若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。第四十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日n●●acbmabcmn例1：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無(wú)數(shù)解有多少解？dd第四十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日正平線例2：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c●●bamabcmnndd第四十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde第五十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行,

已知AB∥CD∥EF∥MH第五十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。二、相交問(wèn)題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交要討論的問(wèn)題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況?！瘛竦谖迨?yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性。空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。作圖用線上取點(diǎn)法⑴平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●第五十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日1(2)km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見(jiàn)。k●2

●1●作圖用面上取點(diǎn)法●第五十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：⑴求兩平面的交線方法：①確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。②確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。⑵判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見(jiàn)性。第五十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①求交線②判別可見(jiàn)性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見(jiàn)性。⑴能否不用重影點(diǎn)判別？OX第五十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見(jiàn)性。⑴①求交線②判別可見(jiàn)性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。m●n●空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。OX第五十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m、n

即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①求交線②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc可見(jiàn)。作圖⑵2●1●m′●m●n●●n′●第五十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n

即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①求交線②判別可見(jiàn)性

點(diǎn)Ⅰ在MC上,

點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mc可見(jiàn)。作圖⑵m●n●n′●m′●第五十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日cdefababcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。

n●n●m●k●m●k●互交第六十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日cdefababcdef⑶互交m●k●k●m●投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。第六十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)束？繼續(xù)？第六十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日abcabc①直線為一般位置時(shí)②直線為特殊位置時(shí)babkak●●小結(jié)★點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線與平面的投影特性。重點(diǎn)掌握：★點(diǎn)、直線、平面的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。一、直線上的點(diǎn)⒈點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。⒉點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比——定比定理。⒊判斷方法第六十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日二、兩直線的相對(duì)位置⒈平行同名投影互相平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。abcdcabd①對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。cbddbac②a第六十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⒉相交⒊交叉（異面）同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。“交