2008高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 線性規(guī)劃及其實(shí)際應(yīng)用

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃及實(shí)際應(yīng)用攸縣一中高三備課組2008年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一、內(nèi)容歸納-------1、知識(shí)精講：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線（B不為0）及點(diǎn)，則①若B>0，，則點(diǎn)P在直線的上方，此時(shí)不等式表示直線的上方的區(qū)域；②若B>0，，則點(diǎn)P在直線的下方，此時(shí)不等式表示直線 的下方的區(qū)域；（注：若B為負(fù)，則可先將其變?yōu)檎?1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線l:Ax+By+C=0一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線l應(yīng)畫(huà)成虛線，Ax+By+C＜0，表示直線lAx+By+C≥0(≤0)所表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)把邊界直線畫(huà)成實(shí)線.(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面點(diǎn)集的交集即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（2）線性規(guī)劃：①求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題；②可行解：指滿足線性約束條件的解（x,y）;

可行域：指由所有可行解組成的集合；2重點(diǎn)難點(diǎn):準(zhǔn)確確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，正確解答簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。3思維方式:數(shù)形結(jié)合.4特別注意:解線性規(guī)劃時(shí)應(yīng)先確定可行域；注意不等式中與對(duì)可行域的影響；還要注意目標(biāo)函數(shù)中和在求解時(shí)的區(qū)別.二、問(wèn)題討論1、二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1、畫(huà)出下列不等式（或組）表示的平面區(qū)域【評(píng)述】畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確，要注意邊界，若不等式中不含“=”號(hào)，則邊界應(yīng)畫(huà)成虛線，否則應(yīng)畫(huà)成實(shí)線。圖1yx圖2yx（2）求不等式表示的平面區(qū)域的面積。8【評(píng)述】畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確，要注意邊界，若不等式中不含“=”號(hào)，則邊界應(yīng)畫(huà)成虛線，否則應(yīng)畫(huà)成實(shí)線。2、應(yīng)用線性規(guī)劃求最值例2、設(shè)x,y滿足約束條件分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，(x,y均為整數(shù))的最大值，最小值。55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:

(1,4.4)A:

(5,2)B:

(1,1)Oxy(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，(x,y均為整數(shù))（1）Z=6x+10y,Zmax=50,Zmin=16（2）Z=2x-y,Zmax=8,Zmin（3）Zmax=8,Zmin=－2.

幾個(gè)結(jié)論：(1)、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得。(如：上題第一小題中z=6x+10y的最大值可以在線段AC上任一點(diǎn)取到)（2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義

——在y軸上的截距或其相反數(shù)。課堂精練1.不等式x+2y-1≥0表示直線x+2y-1＝0()(A)上方的平面區(qū)域(B)上方的平面區(qū)域(含直線本身)(C)下方的平面區(qū)域(D)下方的平面區(qū)域(含直線本身)B2.已知A(1，1)，B(5，3)，C(4，5)，平面區(qū)域是△ABC,則它的約束條件是x-2y+1≤04x-3y-1≥02x+y-13≤0(包含邊界)2.已知x,y滿足約束條件，則z=2x+4y的最小值為()(A)6(B)-6(C)10(D)-10x-y+5=0,x+y=0,x-3=0，用不等式組表示三角形的內(nèi)部區(qū)域

__________(包含邊界).B課堂精練y=ax2+bx+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)(a,b)在aOb平面上的區(qū)域(不包含邊界)為()C課堂精練4.平面內(nèi)滿足不等式組的所有點(diǎn)中，使目標(biāo)函數(shù)z=5x+4y取得最大值的點(diǎn)的坐標(biāo)是________5.在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的一個(gè)可能值為()(A)-3(B)3(C)-1(D)1A(4，0)課堂精練3、線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3、某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速V海里╱時(shí)(4≤V≤20)從A港出發(fā)到距50海里的B港去，然后乘汽車(chē)以勻速W千米╱時(shí)(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市駛?cè)?，?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市。設(shè)汽車(chē)、摩托艇所需的時(shí)間分別是x、y小時(shí)(1)作出表示滿足上述條件的x、y范圍；

（2）如果已知所要經(jīng)費(fèi)P=100+3·(5-x)++2·(8-y)(元)，

那么V、W分別是多少時(shí)，走得最經(jīng)濟(jì)？此時(shí)需花費(fèi)多少元?y2y+3x=381491491032.5ox2y+3x=012.55.解：由題意知：v=50/y,W=300/x,4≤V≤20,30≤W≤100,∴4≤50/y≤20,30≤300/x≤100，即3≤又由于汽車(chē)、摩托艇所要時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14小時(shí)之間，也就是：9≤x+y≤14,由此說(shuō)明，x,y滿足：3≤x≤10,2.5≤y≤12.59≤x+y≤14,目標(biāo)函數(shù)：p=100+3(5-x)+2(8-y)=-3x-2y+131設(shè)131-p=k,則k最大時(shí)，p最小，當(dāng)直線3x+2y=k過(guò)可行域上點(diǎn)（10，4）時(shí)，k最大，即p最小，此時(shí)，v=12.5,w=30,pmin=93元?！窘忸}回顧】要能從實(shí)際問(wèn)題中，建構(gòu)有關(guān)線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型例4.某礦山車(chē)隊(duì)有4輛載重量為10噸的甲型卡車(chē)和7輛載重量為6噸的乙型卡車(chē),有9名駕駛員,此車(chē)隊(duì)每天至少要運(yùn)360噸礦石至冶煉廠。已知甲型卡車(chē)每輛每天可往返6次，乙型卡車(chē)每輛每天可往返8次。甲型卡車(chē)每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車(chē)每輛每天的成本費(fèi)為160元。問(wèn)每天派出甲型車(chē)與乙型車(chē)各多少輛，車(chē)隊(duì)所花費(fèi)成本最底？

5x+4y=30ox+y=9yx【解題回顧】由于派出的車(chē)輛數(shù)為整數(shù)，所以必須尋找最優(yōu)整數(shù)解。這對(duì)作圖的要求較高，平行直線系的斜率要畫(huà)準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域內(nèi)的各整點(diǎn)，然后以z取得最值的附近整數(shù)為基礎(chǔ)通過(guò)解不等式組可以找出最優(yōu)解。備用題例5、要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表：ABC第一種鋼板121第二種鋼板113規(guī)格塊數(shù)

種類

每張鋼板的面積為：第一種1m2，第二種2m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)?，可得所需的三種規(guī)格成品，且使所用鋼板面積最??？28x8l1l212l3O12Ay16例5圖[思維點(diǎn)拔]在可行域內(nèi)找整點(diǎn)最優(yōu)解的常用方法有：（1）打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線，找出整點(diǎn)最優(yōu)解；（2）分析法：由于在A點(diǎn)，而比大的最小整數(shù)為20，在約束條件下考慮的整數(shù)解，可將代入約束條件，得，又為偶數(shù)，故或答:要截得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所用鋼板面積最小的方法有兩類,第一類截法是截第一種鋼板4張,第二種鋼板8張;第二類是截第一種鋼板6張,第二種鋼板7張.三、課堂小結(jié)：解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟：(1)設(shè):先設(shè)變量，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；再作出可行域，（2）畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域；（3）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

（4）求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；

（5）答：作出答案。

高考題選講1、（2007湖北）設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)2x+y的最小值為

．2、（2007福建）已知實(shí)數(shù)x,y滿足則z=2x-y的取值范圍是________．高考題選講3、（2007全國(guó)I）下面給出四個(gè)點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．C4、（2007北京）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或C高考題選講5、（2007四川）某公司有60萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得萬(wàn)元的利潤(rùn)，該公司正確提財(cái)投資后，在兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元萬(wàn)元萬(wàn)元萬(wàn)元B高考題選講6、（2007山東）本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元．問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標(biāo)函數(shù)為z=3000x+2000y．答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元．

高考題選講7.(2006廣東卷)在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]D8．（2006湖北卷）已知平面區(qū)域D由以為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界組成。若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m=A．－2B．－1C．1D．4C9．（2006四川卷）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a1、b1千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a2、b2千克。甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為d1、d2元。月初一次性購(gòu)進(jìn)本月用原料A、B各c1、c2千克。要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大。在這個(gè)問(wèn)題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克，月利潤(rùn)總額為z元，那么，用于求使總利潤(rùn)z=d1x+d2y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為ABDCC高考題選講10.（2006北京卷）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.11．(2006重慶卷)已知變量x,y滿足約束條件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為_(kāi)__________.(1，+∞)高考題選講12.（2006浙江卷）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(A)(B)4(C)(D)2Bxyo13．(2006上海卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則的最大值是_________.25練習(xí):某運(yùn)輸公司有7輛載重6t的A型車(chē)和4輛載重10t的B型車(chē)，有9名駕駛員。要每天至少搬運(yùn)360t水坭的任務(wù)，已知每輛卡車(chē)每天往返次數(shù)為A型車(chē)8，B型車(chē)6次。往返成本A型車(chē)160元，B型車(chē)252元，每天如何派車(chē)成本最低？解：y1234567x1234567o89作出可行域如圖在可行域的10個(gè)整數(shù)點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使Z取得最小值。故每天應(yīng)派A型車(chē)5輛，B型車(chē)2輛，公司所花成本1304元。練習(xí)作出可行域如圖解:oyx1-2-412-1例1:某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過(guò)300t，B種礦石不超過(guò)200t，煤不超過(guò)360t．甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到t)，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大?

分析:將已知數(shù)據(jù)列成下表:消耗量產(chǎn)品資源甲產(chǎn)品(1t)乙產(chǎn)品(1t)資源限額(t)A種礦石(t)B種礦石(t)煤(t)利潤(rùn)(元)10430054200410006003609解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤(rùn)總額為z元，那么例4.某木器廠生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種木料，第一種有72米3，第二種有56米3，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌和一個(gè)衣柜分別所需要木料如表所示，每生產(chǎn)一張圓桌可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜可獲利潤(rùn)10元，木器廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜各生產(chǎn)多少，才使獲得的利潤(rùn)最多？木料（單位：米3）產(chǎn)品第一種第二種圓桌0.180.08衣柜0.090.28求Z=6x+10y的最大值yox400800200700(350,100)Zmax=3100元例5。某公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)280t水泥的任務(wù)，已知該公司有6輛A型卡車(chē)和4輛B型卡車(chē)，已知A型卡車(chē)每天每輛的運(yùn)載量為30t，成本費(fèi)為千元，B型卡車(chē)每天每輛的運(yùn)載量為40t，成本費(fèi)為1千元。（1）假設(shè)你是公司的調(diào)度員，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)出公司每天的排車(chē)方案。（2）設(shè)每天派出A型卡車(chē)x輛，B型卡車(chē)y輛，公司每天花費(fèi)成本為Z千元，寫(xiě)出x、y應(yīng)滿足的條件以及Z與x、y之間的函數(shù)關(guān)系式。方案方案一方案二方案三方案四A型卡車(chē)B型卡車(chē)44546463Z=0.9x+y3x+4y≥280≤x≤60≤y≤4

1、某公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)2