2023年高考數(shù)學理真題分類匯編：圓錐曲線

PAGE12-2023年高考數(shù)學理試題分類匯編圓錐曲線一、選擇題1、〔2023年四川高考〕設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,那么直線OM的斜率的最大值為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1【答案】C2、〔2023年天津高考〕雙曲線〔b>0〕，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D3、〔2023年全國I高考〕方程EQ\F(x2,m2+n)–EQ\F(y2,3m2–n)=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，那么n的取值范圍是〔A〕(–1,3)〔B〕(–1,EQ\R(3))〔C〕(0,3)〔D〕(0,EQ\R(3))【答案】A4、〔2023年全國I高考〕以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.|AB|=，|DE|=，那么C的焦點到準線的距離為〔A〕2〔B〕4〔C〕6〔D〕8【答案】B5、〔2023年全國II高考〕圓的圓心到直線的距離為1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A6、〔2023年全國II高考〕圓是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,那么E的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A7、〔2023年全國III高考〕O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且軸.過點A的直線l與線段交于點M，與y軸交于點E.假設直線BM經(jīng)過OE的中點，那么C的離心率為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A8、〔2023年浙江高考〕橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，那么A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A二、填空題1、〔2023年北京高考〕雙曲線〔，〕的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，假設正方形OABC的邊長為2，那么_______________.【答案】22、〔2023年山東高考〕雙曲線E：〔a＞0，b＞0〕，假設矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，那么E的離心率是_______.【答案】2【解析】由題意，所以，于是點在雙曲線上，代入方程，得，在由得的離心率為，應填2.3、〔2023年上海高考〕平行直線，那么的距離_______________【答案】4、〔2023年浙江高考〕假設拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，那么M到y(tǒng)軸的距離是_______．【答案】三、解答題1、〔2023年北京高考〕橢圓C：〔〕的離心率為，，，，的面積為1.〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕設的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值.【解析】⑴由，，又，解得∴橢圓的方程為.⑵方法一：設橢圓上一點，那么.直線：,令，得.∴直線：,令，得.∴將代入上式得故為定值.方法二：設橢圓上一點，直線PA:,令，得.∴直線:,令，得.∴故為定值.2、〔2023年山東高考〕平面直角坐標系中，橢圓C：

的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點.〔I〕求橢圓C的方程；〔II〕設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.〔i〕求證：點M在定直線上;〔ii〕直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標.【解析】(Ⅰ)由離心率是，有，又拋物線的焦點坐標為，所以，于是，所以橢圓的方程為．(Ⅱ)〔i〕設點坐標為，由得，所以在點處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設，，將代入，得．于是，，又，于是直線的方程為．聯(lián)立方程與，得的坐標為．所以點在定直線上．〔ii〕在切線的方程為中，令，得，即點的坐標為，又，，所以；再由，得于是有．令，得當時，即時，取得最大值．此時，，所以點的坐標為．所以的最大值為，取得最大值時點的坐標為．3、〔2023年上海高考〕有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走。于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為〔1,0〕，如圖求菜地內(nèi)的分界線的方程菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值〞為。設是上縱坐標為1的點，請計算以為一邊、另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值【解析】〔1〕因為上的點到直線與到點的距離相等，所以是以為焦點、以為準線的拋物線在正方形內(nèi)的局部，其方程為〔〕．〔2〕依題意，點的坐標為．所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為．矩形面積與“經(jīng)驗值〞之差的絕對值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗值〞之差的絕對值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗值〞．4、〔2023年上海高考〕此題共有2個小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分.雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點?！?〕假設的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；〔2〕設，假設的斜率存在，且，求的斜率.【答案】〔1〕．〔2〕.【解析】〔1〕設．由題意，，，，因為是等邊三角形，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為．〔2〕由，，．設，，直線．顯然．由，得．因為與雙曲線交于兩點，所以，且．設的中點為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為．5、〔2023年四川高考〕橢圓E：QUOTE的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l:y＝－x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.〔I〕求橢圓E的方程及點T的坐標；〔II〕設O是坐標原點，直線l’平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明：存在常數(shù)λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.有方程組得.=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判別式為，由，得，此方程=1\*GB3①的解為，所以橢圓E的方程為.點T坐標為〔2,1〕.由=2\*GB3②得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.6、〔2023年天津高考〕設橢圓〔〕的右焦點為，右頂點為，，其中為原點，為橢圓的離心率.〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設過點的直線與橢圓交于點〔不在軸上〕，垂直于的直線與交于點，與軸交于點，假設，且，求直線的斜率的取值范圍.【解析】〔2〕〔Ⅱ〕解：設直線的斜率為〔〕，那么直線的方程為.設，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由〔Ⅰ〕知，，設，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.7、〔2023年全國I高考〕設圓的圓心為A，直線l過點B〔1,0〕且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.〔I〕證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；〔=2\*ROMANII〕設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】〔Ⅰ〕因為，，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以.由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：〔〕.8、〔2023年全國II高考〕橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，．〔Ⅰ〕當時，求的面積；〔Ⅱ〕當時，求的取值范圍．【解析】⑴當時，橢圓E的方程為，A點坐標為，那么直線AM的方程為．聯(lián)立并整理得，解得或，那么因為，所以因為，，所以，整理得，無實根，所以．所以的面積為．⑵直線AM的方程為，聯(lián)立并整理得，解得或，所以所以因為所以，整理得，．因為橢圓E的焦點在x軸，所以，即，整理得解得．9、〔2023年全國III高考〕拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．〔I〕假設在線段上，是的中點，證明；〔II〕假設的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.10、〔202