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《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(6)教學(xué)目標會用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)利潤最大問題和費用最小的應(yīng)用題,強化用導(dǎo)數(shù)求最值的方法以及解決實際的方法和步驟。教學(xué)重點,難點(1)根據(jù)題意列目標函數(shù),邊際函數(shù)的概念;(2)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的應(yīng)用能力.教學(xué)課時:1課時教學(xué)過程一、問題情境1.復(fù)習(xí):求實際問題的最大值和最小值的一般步驟。實際問題數(shù)學(xué)模型函數(shù)求導(dǎo)解決問題二、數(shù)學(xué)運用1.例題:例1.設(shè)某銀行中的總存款與銀行付給存戶的利率的平方成正比,若銀行以10%的年利率把總存款的90%貸出,它給存戶支付的年利率定為多少時,才能獲得最大利潤?解:設(shè)支付存戶的年利率為,則總存款為,銀行獲得的利潤是貸出后收入的利潤與支付存戶的利息差,即,求導(dǎo)數(shù),得,令,即,得當時,;當時,;當時,.∴當時,取極大值,并且極大值就是函數(shù)的最大值.答:當銀行給存戶的年利率定為時,才能獲得最大利潤.例2.在經(jīng)濟學(xué)中,生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù),記為;出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為;稱為利潤函數(shù),記為(1)設(shè),生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時,邊際成本最低?(2)設(shè),產(chǎn)品的單價,怎樣定價,可使利潤最大?解:(1)記,由,得:結(jié)合的圖象可知,當時,邊際成本最低。(2)由,得收益函數(shù)則利潤函數(shù)為由,解得結(jié)合的圖象可知,當時,利潤最大,此時答:生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時,邊際成本最低,當產(chǎn)品的單價為75時,利潤最大。說明:(1)上面兩小題均可以用二次函數(shù)求最值;(2)一般地,為使利潤函數(shù)取得最大值,生產(chǎn)規(guī)模應(yīng)確定為,且,即,用圖象來表示有下列幾種形式:這就是如何確定生產(chǎn)規(guī)模的一般數(shù)學(xué)模型。例3.一蒸汽機火車每小時消耗煤的費用與火車行駛的速度的立方成正比,已知速度為時,每小時消耗的煤價值40元,其余費用每小時200元,問火車行駛的速度是多少時(速度不超過),全程費用最少?解:設(shè)速度為,全程為,則總費用為,∵,∴∴,∵∴當時,;當時,∴,∴當火車行駛的速度是時,全程費用最少。三、回顧小結(jié):(1)成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)的概念及其相互關(guān)系;邊際
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