分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用

分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用Fourier變換處理平穩(wěn)信號分?jǐn)?shù)階傅立葉變換概述為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們提出了一系列新的信號分析理論：分?jǐn)?shù)階Fourier變換、短時Fourier變換、Wigner分布、Gabor變換、小波變換等分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用1929～1980早期未被人們重視的研究。1980年，V.Namias從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。1994年，將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用一、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換“旋轉(zhuǎn)”思想Fourier變換的對稱形式分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用Fourier變換的多次復(fù)合運(yùn)算分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用Fourier變換多次復(fù)合后有如下規(guī)律規(guī)定：恒等算子當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時有：分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用

“旋轉(zhuǎn)”思想的引入每次的Fourier變換都可看作是坐標(biāo)軸的π/2旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的同時變化信號的表示形式。當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時均有了定義。同理可引入“順時針”旋轉(zhuǎn)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)是也有了定義。分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用旋轉(zhuǎn)具備如下性質(zhì)：(1)零度旋轉(zhuǎn)對應(yīng)于信號自身：F0=I(2)逆時針旋轉(zhuǎn)π/2對應(yīng)于Fourier變換：F

順時針旋轉(zhuǎn)π/2對應(yīng)逆Fourier變換：F-1(3)旋轉(zhuǎn)具有連續(xù)可加性:FmFn=Fm+n

分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用二、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換定義設(shè)p為任意實數(shù)，定義廣義Fourier變換:其中分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用注意：當(dāng)p=1時，即為傅立葉變換；P=0，即為函數(shù)本身分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用核函數(shù)具有以下性質(zhì):1.互換性共軛對稱性3.4.積分相加性（完備性）5.正交性分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用分?jǐn)?shù)階傅立葉變換變換對下面給出幾個常見信號的不同p下的傅立葉變換仿真圖分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用方波脈沖各分?jǐn)?shù)階下的傅立葉變換演示圖分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用(1)線性性質(zhì)三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì)這是一個非常有用的性質(zhì),用它實現(xiàn)濾波具有更好的效果。(2)算子可加性特別分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用(3)恒等變換(4)標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì)(5)時移性質(zhì)(6)頻移性質(zhì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用(7)尺度性質(zhì)式中注：變量u的尺度改變，函數(shù)幅值改變，旋轉(zhuǎn)角改變。三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì)在傳統(tǒng)的Fourier變換中，時間變量t的變化只是使其頻譜的頻率變量w的其的尺度和幅度發(fā)生相應(yīng)的變化，而在FRFT中，時間變量t的變化不僅使FRFT的變量u發(fā)生尺度和幅度的變化，更重要的是旋轉(zhuǎn)角度也發(fā)生變化。分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用(8)Parseval等式能量守恒特性：三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用分?jǐn)?shù)階FOURIER變換的數(shù)值計算分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用無量綱化數(shù)值離散化是一個變換或算子能夠被實際應(yīng)用的前提對于時頻表示f(t,w)引入尺度參數(shù)s，做線性變換x=t/s,v=ws其中s=(?t/?w)1/2,?t和?w為函數(shù)f(t,w)的“支撐寬度”——絕大部分能量在區(qū)間[-?t/2,?t/2]與[-?w/2,?w/2]內(nèi)變換后的f(x,v)“支撐區(qū)間”長度都變成?x=?v=(?t?w)?這里N=?t?w為時間-帶寬積(N>1)分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用計算步驟（算法）算法步驟如下確定足夠大的時間——頻率帶寬?x=(?t?w)?，對信號抽樣線性調(diào)頻信號乘法，其中的線性調(diào)頻函數(shù)g1(x)的時間帶寬積為f(x)的兩倍，因而的采樣間隔為1/(2?x)；線性調(diào)頻信號卷積；經(jīng)過數(shù)學(xué)處理后，此式離散形式為其中線性調(diào)頻信號乘法：顯然，此時得到的fp(u)的采樣值分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——濾波（1/4）信號一：高斯信號信號二：線性調(diào)頻信號時域信號功率譜分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——濾波（2/4）時二者可完全分開分?jǐn)?shù)階傅立葉域時分?jǐn)?shù)階傅立葉變換分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——濾波（3/4）濾波效果時域混疊信號分?jǐn)?shù)階傅里葉域濾波信號匹配濾波分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——濾波（4/4）變換域濾波：線性變換→變換域與濾波器相乘，濾除不需要的信號逆變換分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——電路實現(xiàn)電路實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示經(jīng)過推導(dǎo)，可得信號x(t)與y(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為G(w)為g(t)的傅里葉變換，可用于控制濾波器通帶分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用應(yīng)用——多路傳輸(1/2)任意完備變換域均可進(jìn)行信號的多路傳輸（多路復(fù)用），如時域、頻域（FDMA）并非所有完