2022-2023學(xué)年云南省名校聯(lián)盟高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省名校聯(lián)盟高二上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)A，B，求交集即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A2．若復(fù)數(shù)，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】先進(jìn)行計(jì)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以．故選：B．3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)中間值，將三個(gè)數(shù)與和進(jìn)行比較即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，因?yàn)?，，綜上所述得．故選：C4．已知直線與，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的判斷方法即可得關(guān)于的方程，解可得答案.【詳解】可化簡(jiǎn)為：，因?yàn)?，所以，解得．故選：D.5．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用計(jì)算可求出離心率.【詳解】因?yàn)椋?，即．故選：B．6．某班60名學(xué)生期中考試物理成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是，，，，，則該成績(jī)的第70百分位數(shù)約為（

）A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖小矩形面積為1可求得，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算方法可得結(jié)果.【詳解】由題意可求得，則對(duì)應(yīng)的頻率為，對(duì)應(yīng)的頻率為，,所以第70百分位數(shù)在之間；即第70百分位數(shù)為．故選：D.7．如圖，在直三棱柱中，已知，D為的中點(diǎn)，，則，所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)，所成的角為，則．故選：C8．如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則就是所求的路程長(zhǎng).【詳解】易知直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則解得即．又點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)．故選：.二、多選題9．若圓與圓相交，則k的取值可能為（

）A． B．0 C．3 D．5【答案】AC【分析】根據(jù)兩圓相交時(shí)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系求解即可.【詳解】?jī)蓤A的圓心，圓心距，半徑分別為，因?yàn)閳AM與圓N相交，所以，解得或．故選：AC．10．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【分析】由平移變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，令，即，由圖可知，函數(shù)在上的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)，D正確．故選：AD11．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PAC B．平面EFCC．點(diǎn)F到直線CD的距離為 D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面EFC的法向量，利用向量垂直條件及線面垂直的判定定理及線面平行的向量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及點(diǎn)到面的距離的向量公式即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系如圖所示由題意可知，，，，，，，所以，，，．因?yàn)?，所以，即，所以，即．又，所以平面PAC，故A正確；設(shè)平面EFC的法向量為，則,即，令，則，所以．因?yàn)?，所以，故B不正確；設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線CD的距離為，故C不正確；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.故選：AD.12．已知二次函數(shù)的圖像交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，圓F過(guò)A，B，C三點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓心F在直線上 B．m的取值范圍是C．圓F面積的最小值為 D．存在定點(diǎn)G，使得圓F恒過(guò)點(diǎn)G【答案】ACD【分析】結(jié)合拋物線的對(duì)稱(chēng)性和圓的對(duì)稱(chēng)性即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)判別式即可判斷B選項(xiàng)；求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代入所設(shè)圓的方程，得到與的關(guān)系，從而結(jié)合二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可判斷C選項(xiàng)；將圓的方程整理成，進(jìn)而得到，即可求出定點(diǎn)，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸方程為，且圓心必然經(jīng)過(guò)的中垂線，故圓心F在直線上，所以A正確；因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的根，所以，解得且，所以B錯(cuò)誤；設(shè)圓F的方程為，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的根，所以點(diǎn)，在圓上，所以，可求得，．因?yàn)榍遥?，所以圓F面積的最小值為，C正確；由上可知圓F的方程為，整理得，令，解得或，即圓F恒過(guò)點(diǎn)和，D正確．故選：ACD.三、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】5【分析】因，則，據(jù)此可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．故答案為?4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C分別交于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】20【分析】由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．【詳解】由，得，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為．故答案為：20.15．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】20【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：20四、雙空題16．阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于拋物線的弦與經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的．這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則在A，B兩點(diǎn)處的拋物線C的切線斜率的絕對(duì)值均為_(kāi)_____，直線l與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____．【答案】

2

48【分析】先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線方程，從而可求出直線l與兩條切線所圍成的三角形的面積，進(jìn)而可求出弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積.【詳解】解：把代入方程，解得，不妨設(shè)，，設(shè)在A點(diǎn)處的拋物線C的切線方程為，聯(lián)立方程組，消去y得，由，解得，由對(duì)稱(chēng)性可知在B點(diǎn)處的拋物線C的切線斜率為，所以在A，B兩點(diǎn)處的拋物線C的切線斜率的絕對(duì)值均為，由上可知在A點(diǎn)處的拋物線C的切線方程為，在B點(diǎn)處的拋物線C的切線方程為，聯(lián)立，解得這兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為．故答案為：2；48.五、解答題17．已知函數(shù)滿(mǎn)足．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將“”代入等式，消去解出；（2）將條件轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，求出在上的最大值，可得m的取值范圍.【詳解】（1）由，得，消去得，所以．（2）由，得，即對(duì)任意恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，取得最大值86，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．已知直線，．(1)證明：無(wú)論m為何值，直線l和圓C都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(2)設(shè)直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB最短時(shí)直線l的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）方法一：證明直線l恒過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)即可；方法二：直接證明圓心到直線l的距離小于半徑即可；（2）當(dāng)時(shí)，弦AB最短，求此時(shí)直線l的方程.【詳解】（1）證明：（方法一）因?yàn)榭苫癁?，令得，即無(wú)論m為何值，直線l恒過(guò)點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以無(wú)論m為何值，直線l和圓C都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（方法二）圓心C到直線l的距離，所以，即，所以無(wú)論m為何值，直線l和圓C都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（2）由（1）知，因?yàn)橹本€l過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)，，所以當(dāng)時(shí)，弦AB最短，此時(shí)，因?yàn)?，所以，直線l的方程為，即．19．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，設(shè)的面積為S，已知．(1)若，，求c的長(zhǎng)；(2)若，求角B的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和得到，然后將，，代入求即可；（2）根據(jù)和得到，然后再利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到，即可得到，然后求即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，，所以，又，，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以．?）由（1）知，所以，整理得，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)锽，，所以，即，因?yàn)?，所以?0．某地為宣傳防疫政策,組織專(zhuān)家建設(shè)題庫(kù)供各單位學(xué)習(xí),半個(gè)月后,當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)舉辦中小學(xué)學(xué)生防疫知識(shí)競(jìng)答闖關(guān)比賽,規(guī)則如下:每隊(duì)三人,需要從題庫(kù)中選三道題依次回答,每人一題．第一道題回答正確得10分,回答錯(cuò)誤得0分;第二道題回答正確得20分,回答錯(cuò)誤扣10分;第三道題回答正確得30分,回答錯(cuò)誤扣20分．每組選手回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功．某校為了參加該闖關(guān)比賽,選拔了三位選手,這三位選手在進(jìn)行題庫(kù)訓(xùn)練時(shí)的正確率如下表:選手1號(hào)2號(hào)3號(hào)正確率80%80%90%假設(shè)選手答題結(jié)果互不影響,用頻率代替概率．(1)若學(xué)校安排1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)依次出場(chǎng)回答,則“闖關(guān)成功”的概率是多少？(2)如何安排出場(chǎng)順序使“闖關(guān)成功”的概率最大？【答案】(1)0.864(2)出場(chǎng)順序?yàn)?號(hào)、2號(hào)、3號(hào)【分析】(1)若闖關(guān)成功,則有三種情況:三道題全對(duì);第一道題答錯(cuò)、其余都答對(duì);第二道題答錯(cuò)、其余都答對(duì),求出各種情況的概率并相加即可;(2)因?yàn)?號(hào)與2號(hào)答題的正確率相同,所以只需考慮3號(hào)出場(chǎng)順序即可,分三種情況,3號(hào)排第一,第二,第三,分別求出闖關(guān)成功概率,比較大小即可.【詳解】（1）解:根據(jù)題意,“闖關(guān)成功”則必須三道題全對(duì)或者第一道題答錯(cuò)、其余都答對(duì)或者第二道題答錯(cuò)、其余都答對(duì),而其他各種答題結(jié)果總得分都低于30分,若三道題全對(duì),則得分60,此時(shí)概率．若第一道題答錯(cuò)、其余都答對(duì),則得分50,此時(shí)概率．若第二道題答錯(cuò)、其余都答對(duì),則得分30,此時(shí)概率．所以“闖關(guān)成功”的概率;（2）由于1號(hào)與2號(hào)答題的正確率相同,所以只需考慮以下三種出場(chǎng)順序:①3號(hào)排第一;②3號(hào)排第二;③3號(hào)排第三．若3號(hào)排第一,則“闖關(guān)成功”的概率,若3號(hào)排第二,則“闖關(guān)成功”的概率,若3號(hào)排第三,由（1）知“闖關(guān)成功”的概率,綜上可知,出場(chǎng)順序?yàn)?號(hào)、2號(hào)、3號(hào)時(shí),“闖關(guān)成功”的概率最大．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，四邊形ACEF為矩形，平面平面ABCD，，點(diǎn)G在線段EF上運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)在（1）的條件下，求平面GCD與平面CDE夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出，從而利用勾股定理逆定理得到⊥，結(jié)合面面垂直得到，AC，AF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，根據(jù)，求出，得到的值；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，求解出兩平面的法向量，得到兩平面的夾角余弦值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，從而⊥．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，所以⊥平面ACEF．又，所以，AC，AF兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易知，，，，設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以，解得，所以．?）由（1）知，所以，．設(shè)平面GCD的法向量為，由，解得：，令，則，則．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍭BF，平面ABF，所以平面ABF，因?yàn)樗倪呅蜛CEF為矩形，所以，因?yàn)槠矫鍭BF，平面ABF，所以平面ABF，因?yàn)?，平面CDE，所以平面平面FAB，故平面FAB，所以可取平面ECD的一個(gè)法向量為．因?yàn)?，所以平面GCD與平面CDE夾角的余弦值為．22．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，，．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，求得，由可求得p的值，求得C的方程；（2）設(shè)l的方程為，代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．把直線的方程代入拋物線