2022-2023學年浙江省寧波五校聯(lián)盟高一年級上冊學期期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年浙江省寧波五校聯(lián)盟高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，，，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求M的補集，再與N求并集即可．【詳解】∵全集，，∴，∵，．故選：C.2．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可列出，可求出.【詳解】的定義域是，在中，，解得，故的定義域為.故選：C.3．三個數(shù)，，大小的順序是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】由為增函數(shù)，則，由為增函數(shù)，，所以.故選：A4．冪函數(shù)在上單調遞增，則過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用已知條件得到求出的值，再利用指數(shù)型函數(shù)過定點問題求解即可.【詳解】由題意得：或，又函數(shù)在上單調遞增，則，則，當時，，則過定點.故選：D.5．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項A、D，再根據不成立排除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，排除選項A、D，又因為當時，，不符合圖象，所以排除選項C，故選：B.6．已知則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據不等式的性質，舉特殊值，判斷選項.【詳解】A.當時，，所以A不正確；B.當或時，不成立，故B不正確；C.，，當時，，即，故C正確；D.當或時，不成立，故D不成立.故選：C7．已知正數(shù)a和b滿足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，代入所求式子，根據均值不等式求最值即可.【詳解】因為ab+a+2b=7，所以，，所以，當且僅當時等號成立，故選：A8．已知，分別為定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，若對于任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用奇偶性求出，，討論和的單調性求最值可得恒成立，則不等式恒成立等價于.【詳解】，，是偶函數(shù)，分是奇函數(shù)，，可得，，則不等式為，令，令，由對勾函數(shù)的性質可得在單調遞增，則在單調遞增，則，對于，因為單調遞增，單調遞增，在單調遞增，，恒成立，則不等式，解得，，即.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是利用奇偶性求出函數(shù)解析式，根據函數(shù)的單調性求出最值將不等式等價為即可求解.二、多選題9．下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】AD【解析】根據函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系即可求解.【詳解】對于A，與，兩函數(shù)的定義域為，對應關系相同，所以兩個函數(shù)是相同函數(shù)，故A可選；對于B，的定義域為，函數(shù)的定義域為，所以兩函數(shù)不是同一函數(shù)，故B不選；對于C，的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，故C不選；對于D，與，兩函數(shù)的定義域為，對應關系相同，兩函數(shù)是同一函數(shù)，故D可選.故選：AD10．已知，不等式的解集是，下列說法正確的是（

）A．B．C．關于的不等式的解集是D．如果，則【答案】BCD【解析】根據題意，結合二次函數(shù)圖象與二次不等式的關系得，和是方程的實數(shù)根，進而得，再依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，的解集是，則，故A選項不正確；對于B選項，由題意知是方程的實數(shù)根，故，故B選項正確；對于C選項，由題意知和是方程的實數(shù)根，則由韋達定理得，，則不等式變?yōu)?，即，解不等式得的取值范圍為：，故C選項正確；對于D選項，如果，則，故，則，故D選項正確.故選：BCD.【點睛】本題解題的關鍵在于根據題意得，和是方程的實數(shù)根，進而討論各選項即可得答案.11．若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義域上的任意，，當時，恒有，則稱該函數(shù)為“七彩函數(shù)”.下列函數(shù)中是“七彩函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】先分析出“七彩函數(shù)”既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性的定義以及常用函數(shù)的單調性判斷即可.【詳解】由①②得：“七彩函數(shù)”既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，對于選項A：當時，，，，得；當時，，，，得；所以函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，故選項A正確；對于選項B：定義域為R，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調遞減；故選項B正確；對于選項C：定義域為，，則函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上單調遞減；故選項C正確；對于選項D：，定義域為，，則函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，故選項D不正確；故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題以新定義為背景，考查函數(shù)性質的判定，常用函數(shù)的單調性和奇偶性熟練掌握是解決本題的關鍵.12．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓．過點作的垂線交半圓于，連接，，，過點作的垂線，垂足為．則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】分別在和中，利用射影定理和、判定選項A、C正確.【詳解】，，根據圖形，在中，由射影定理得，所以，由，且，得：（，），當且僅當時取等號，即A正確；在中，同理得，所以，又，所以（，），當且僅當時取等號，即C正確；故選：AC.三、填空題13．命題“，”的否定為______.【答案】，【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題可得.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，則命題“，”的否定為，.故答案為：，14．已知，若是定義在上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【分析】已知分段函數(shù)為減函數(shù)，則每一段函數(shù)均為減函數(shù)，且在銜接部分也遞減，根據這一要求確定參數(shù)的范圍，取交集即可【詳解】因為是定義在上的減函數(shù)，則為減函數(shù)，所以；且也為減函數(shù)，所以；且時，，取交集得，實數(shù)的取值范圍是故答案為：15．定義，已知函數(shù)，則的最小值為______.【答案】1【解析】利用已知條件畫出圖像即可得到最值.【詳解】由定義，可知函數(shù)的圖像如圖所示：所以函數(shù)在與交點處取得函數(shù)的最小值，所以，解得：或，由圖像知：當時，函數(shù)取得最小值，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：數(shù)形結合是解決本題的關鍵.16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若對任意兩個不相等的正數(shù)，，都有，則不等式的解集為___________.【答案】##【分析】設，則由可得，即在上單調遞增，然后得出的奇偶性和取值情況，然后分、、三種情況解出不等式即可.【詳解】設，則由可得所以，所以所以可得在上單調遞增因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)因為，所以，所以當或時，當或時，由可得當時，，，此時無解當時，，，此時無解當時，，，所以綜上：不等式的解集為四、解答題17．（1）求值：；（2）若，求.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）根據指數(shù)的運算性質即可得結果；（2）對進行平方，結合立方和公式即可得結果.【詳解】（1）原式.（2）因為，所以，即，所以.18．設命題p：，命題q：.(1)當a＝1時，若為假命題且q是真命題，則求實數(shù)x的取值范圍；(2)若?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解不等式求得命題，根據的真假性求得的取值范圍.（2）根據命題的否定、必要不充分條件的知識列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1），，解得.，解得，當時，，由于假真，所以.（2）?p是?q的必要不充分條件，則是的充分不必要條件，所以.19．已知偶函數(shù)的定義域為，，當時，函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)當時，求函數(shù)的解析式；(3)利用定義判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調性．【答案】(1)(2)(3)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）由偶函數(shù)定義得，代入解析式可得值．（2）設，由且可得；（3）設，，作差，判斷其正負后可得單調性．【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，解得；（2）時，，．（3）設，，，所以，所以在上是增函數(shù)．20．已知函數(shù)，(1)若a=2，k=1，求函數(shù)f（x）的值域；(2)若，使成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據參數(shù)的值求解出函數(shù)的解析式，再根據復合函數(shù)的性質求解值域即可；（2）先將函數(shù)看成關于k的一次函數(shù)，運用不等式恒成立問題的處理方法將問題轉化為只含一個變量的函數(shù)問題，再運用存在性問題的處理方法求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）時，令可寫出關于t的二次函數(shù)根據二次函數(shù)的性質，所以時，函數(shù)的值域為.（2）可看成關于的一次函數(shù)，且函數(shù)單調遞減，不等式成立，成立又,成立，使得不等式成立令，問題轉化為函數(shù)在上的最大值不小于4.時，，此時函數(shù)的最大值為，解得；時，，此時函數(shù)的最大值為，解得所以的取值范圍為.21．濟南市地鐵項目正在加火如荼的進行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，經市場調研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔t相關，當時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達式，并求當發(fā)車時間間隔為5分鐘時，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】(1)；(2)發(fā)車時間間隔為4分鐘時，每分鐘的凈收益最大為132元.【分析】（1）由題設，有且，求k值，進而寫出其分段函數(shù)的形式即可.（2）由（1）寫出解析式，討論、求最大值即可.【詳解】（1）由題設，當時，令，又發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，∴，解得.∴，故時，，所以當發(fā)車時間間隔為5分鐘時，列車的載客量為人.（2）由（1）知：，∵時，當且僅當?shù)忍柍闪?，∴上，而上，單調遞減，則，綜上，時間間隔為4分鐘時，每分鐘的凈收益最大為132元.22．已知定義在區(qū)間上的函數(shù).(1)若函數(shù)分別在區(qū)間，上單調，試求t的取值范圍；(2)當時，在區(qū)間上是否存在a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上單調，且的值域為，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）因為，由對勾函數(shù)得