2022-2023學年福建省廈門高二年級上冊學期第一階段考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年福建省廈門第二中學高二上學期第一階段考試數(shù)學試題一、單選題1．與直線垂直的一個向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線方程可得其直線斜率，根據(jù)垂直關(guān)系可知與已知直線垂直的直線斜率，進而得到滿足題意的向量.【詳解】直線的斜率，與直線垂直的直線斜率為，則與直線垂直的一個向量是.故選：D.2．過點作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑；當直線斜率不存在時，易知為圓的切線；當切線斜率存在時，設(shè)，由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得的值；綜合兩種情況可得切線方程.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；當過的直線斜率不存在時，即直線為，則與相切，此時切線；當切線斜率存在時，設(shè)，即；圓心到切線的距離，解得：，此時切線，即；綜上所述：切線的方程為：或.故選：D.3．與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把方程中的換成即可得到所求直線方程.【詳解】直線關(guān)于軸對稱的直線為：，即.故選：B.4．設(shè)直線l的方程為xysin20，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．[0,] B． C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，當時，；當時，結(jié)合的范圍，可得斜率的取值范圍，進而得到傾斜角的范圍.【詳解】直線l的方程為，當時直線方程為，傾斜角當時，直線方程化為，斜率，因為，所以，即，又因為，所以綜上可得故選：C5．已知，分別為直線，的方向向量（，不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說法中不正確的是（

）A．若， B．若， C．若， D．若，【答案】A【分析】由已知，可根據(jù)題意，選項A，時，此時，所以，該選項錯誤，選項B，；選項C，；選項D，，即可判斷.【詳解】由已知，，分別為直線，的方向向量，，分別為平面α，β的法向量，選項A，，故該選項錯誤；選項B，，故該選項正確；選項C，，故該選項正確；選項D，，故該選項正確.故選：A.6．點到直線（為任意實數(shù)）的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得直線恒過點，則所求距離最大值為.【詳解】將直線方程整理為：，由得：，直線恒過點，當時，點到直線的距離最大，最大值為.故選：B.7．如圖，在三棱錐中，，，分別是的中點．則異面直線所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，取中點，由中位線性質(zhì)可得，由異面直線所成角定義可知所求角為或其補角，利用勾股定理可求得的邊長，根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】連接，取中點，連接，分別為中點，，，異面直線所成的角即或其補角；，，，，又，，，，又，，，即異面直線所成的角為.故選：C.8．圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為．已知禮物的質(zhì)量為，降落傘自身的重量為，每根繩子的拉力大小相同．則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度取，精確到）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)降落傘勻速下落可知根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小，則根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，如圖，，在上的投影向量為，根繩子拉力的合力；降落傘勻速下落，，，解得：.故選：C.二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的一個方向向量為B．直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為C．與直線垂直D．與直線平行【答案】AC【分析】根據(jù)點斜式求得直線的方程，結(jié)合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯誤；，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為，B錯誤；由于，C正確故選：AC10．已知的頂點，，，若是直角三角形，則符合條件的的值為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分別在，，的情況下，利用向量垂直的坐標表示可構(gòu)造方程求得可能的取值.【詳解】由題意知：，，，若，則，解得：；若，則，解得：；若，則，解得：.故選：ACD.11．長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則下列說法不正確的是（

）A．B．與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為【答案】ABC【分析】令，根據(jù)線面角定義可知，由此可求得的長，即可得到AC錯誤；作，可證得平面，同時平面，根據(jù)線面角定義，結(jié)合長度可得BD正誤.【詳解】連接，不妨令，在長方體中，面，面，和分別為與平面和平面所成的角，即，在中，，，，在中，，，，，，，，，AC錯誤；作，垂足為，平面，平面，，又，平面，平面，為與平面所成的角，在中，，B錯誤；連接，平面，為與平面所成的角，在中，，，D正確.故選：ABC.12．已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在唯一點，使得C．當，此時點的軌跡長度為D．當為底面的中心時，三棱錐的外接球體積為【答案】BCD【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)點關(guān)于平面的對稱點為，由可知A錯誤；利用向量垂直的坐標表示可求得時的點坐標，當時點的軌跡方程，可知BC正確；根據(jù)垂直關(guān)系可知三棱錐外接球球心為中點，半徑為，由球的體積公式可求得D正確.【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設(shè)，，，對于A，點關(guān)于平面的對稱點為，則（當且僅當三點共線時取等號），A錯誤；對于B，由得：，即，，即存在點，使得，B正確；對于C，，，由得：，即，點軌跡是連接棱中點與棱中點的線段，其長度為線段的一半，點軌跡長為，C正確；對于D，平面，平面，，由B知：，中點到的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，半徑為，三棱錐外接球體積，D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則____________．【答案】【分析】根據(jù)射影坐標的特征可得點坐標，由向量模長坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，.故答案為：.14．已知兩條平行直線與間的距離為，則的值為_____________．【答案】或##或【分析】利用平行直線間距離公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，即，解得：或.故答案為：或.15．如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線上a，b分別取點，E和點A，F(xiàn)，使且.已知，，.則線段______.【答案】或【分析】根據(jù)空間向量的加法，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)計算模長，建立方程，可得答案.【詳解】因為，所以，由于，，則，，又因為兩條異面直線a，b所成角為，所以或，故，可得或.故答案為：或16．球為正四面體的內(nèi)切球，，是球的直徑，點在正四面體的表面運動，則的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，利用正四面體的性質(zhì)可得，進而可得，然后根據(jù)向量線性運算及數(shù)量積的運算律可得，進而即得.【詳解】設(shè)球的半徑為，由題可知正四面體的高為，所以，解得，因為點在正四面體的表面運動，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．求滿足下列條件的直線方程：（1）已知、、，求的邊上的中線所在的直線方程；（2）過點，在兩坐標軸上截距相等的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先計算中點的坐標，再利用兩點式寫出直線方程，即得結(jié)果；（2）分類討論直線是否過原點兩種情況，分別設(shè)直線方程，再將點P代入計算，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，的中點坐標為，又點，所以的邊上的中線所在的直線方程為：，即；（2）當直線過原點時，設(shè)方程為，∵過點，∴直線方程為，即；當直線不過原點時，設(shè)方程為，∵過點，∴，∴直線方程為，即.故所求直線的方程為或.18．如圖，平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，設(shè)，，.（1）試用，，表示向量，；（2）若，求直線與所成的角.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）由向量的加減運算法則，即可求解向量，；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，分別求得,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由向量的加減運算法則知：在平行四邊形中，，又由.（2）由題意知，，，，，可得.又由，，所以，因為，所以.所以與所成的角為.【點睛】本題主要考查空間向量的線性運算，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記空間向量的數(shù)量積和夾角公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.19．在平行六面體中，，，(1)求證：直線平面．(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運算證明是平面的法向量即可；（2）利用向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)可求得，，由點到平面距離的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，，則為空間的一個基底，且，，，，，，，在平面上，取為基向量，則對于平面上任意一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得，，是平面的法向量，平面．（2）設(shè)到平面的距離為，則，，，.20．在四棱錐中，底面是正方形，平面底面，，E是的中點．(1)求證：面；(2)若，則棱PB上是否存在一點F，使得平面與平面EBD的夾角的余弦值為？若存在，請計算出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，的值為或0【分析】（1）通過構(gòu)造中位線的方法，結(jié)合線面平行的判定定理證得（2）建立空間直角坐標系，設(shè)出點的坐標，利用平面與平面EBD的夾角求得點的位置，從而計算出.【詳解】（1）連結(jié)交于，連結(jié).為正方形，為中點，又為中點，.又平面EDB，平面EDB，平面EDB.（2），，即，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，且平面，平面ABCD.以為基底建立空間直角坐標系，，設(shè)，，設(shè)，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，同理可求得平面的法向量為由于平面與平面EBD的夾角的余弦值為，則，解得或.答：存在，且的值為或0.21．如圖，是某景區(qū)的瀑布群，已知，點Q到直線，的距離均為2，現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延伸交道路于點B．（1）求；（2）當取得最小值時，求.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)以O(shè)為原點，OM為x軸，建立平面直角坐標系，由點Q到直線，的距離均為2列方程求Q的坐標，由此可得，(2)由條件設(shè)，，根據(jù)A,B,Q三點共線可得a,b的關(guān)系，表示結(jié)合基本不等式求其最小值，由此確定.【詳解】解：（1）以點O為坐標原點，直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.則由題可得直線的方程為，Q到直線的距離為2，設(shè).由，解得或（舍去），所以.故.（2）設(shè)，，所以，則，即.又，當且僅當，即，時，等號成立.此時，則.22．知圓，點是直線上的動點．（1）若從點到圓的切線長為，求點的坐標以及兩條切線所夾的劣弧長；（2）若點，，直線，與圓的另一交點分別為，，求證：直線經(jīng)過定點．【答案】（1）點的坐標為，；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)兩切點分別為，，由可求；（2）表示直線的方程，與圓方程聯(lián)立，表示出坐標，同理可得的坐標，即可求出.【詳解】（1）依題意，設(shè)．設(shè)兩切點分別為，，則，．由題意可知，即，解得，所以點的坐標為．在中，可求得，所以，所以所求兩條切線所夾的劣弧長為．（2）設(shè)，，．依題意，可得直線的方程為，由，得．因為直線經(jīng)過點，，所以，是上述