2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市四校聯(lián)考高二年級上冊學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市四校聯(lián)考高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量則（

）A．21 B．－21 C．20 D．－20【答案】A【解析】先求的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求數(shù)量積.【詳解】，所以.故選：A2．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離【答案】C【解析】計算出兩圓的圓心距離，比較與半徑之和、半徑之差的大小關(guān)系即可得解.【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為3，因為兩圓心的距離，所以，所以兩圓相交.故選：C.3．已知橢圓C：的左右焦點分別是，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】利用橢圓的定義得到，再根據(jù)求解.【詳解】由橢圓知：a=3，由橢圓的定義得：，所以，又因為，所以，故選：A4．“”是直線與直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C5．已知，為空間向量，若已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的模的公式與夾角公式計算求解即可.【詳解】解：因為，平方可得，所以，所以，因為，所以．故選：D6．如圖所示，平行六面體中，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】設(shè)，利用空間向量的線性運算結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義，得到，從而得到答案．【詳解】解：設(shè)，則，，則所以，則與所成角為，所以與所成角的余弦值為0．故選：D．7．已知，是雙曲線的左，右焦點，點在上，垂直于軸，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，設(shè)，根據(jù)已知可得，.結(jié)合雙曲線的定義即可求得與的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】由已知可得，中，.設(shè)，則，.根據(jù)雙曲線的定義可知，，即，，.所以，，.故選：B.8．過拋物線焦點F的直線，與拋物線交于A、B兩點，設(shè)，，則（

）A．-4 B．4 C．4 D．-4【答案】A【解析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去化為，所以，所以，所以，故選：A【點睛】結(jié)論點睛：此題考查拋物線的焦點弦問題，焦點弦有如下常用的結(jié)論設(shè)是過拋物線的焦點的弦，若，則（1）；（2）弦長（是直線的傾斜角）；（3）二、多選題9．已知空間向量，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量模的計算公式可判斷A;看向量是否有倍數(shù)關(guān)系可判斷B;根據(jù)數(shù)量積的計算，看是否為零，可判斷C；根據(jù)向量的運算結(jié)果，可判斷D.【詳解】因為，所以A正確；因為不存在使，所以B不正確；因為，所以，所以C正確；因為，所以，所以D不正確,故選：AC.10．已知點，直線和圓，則（

）A．點M在圓C外 B．直線l過定點C．直線l與圓C相交 D．點M到直線l距離的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件求出直線l過的定點、圓C的圓心和半徑，再逐一分析各選項判斷作答.【詳解】直線恒過定點，圓的圓心，半徑，對于A，，則點M在圓C外，A正確；對于B，直線l過定點，B正確；對于C，因，即點在圓C上，直線l與圓C相交或相切，C不正確；對于D，點M到直線l距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即點M到直線l距離的最大值為，D正確.故選：ABD11．已知P是橢圓C：上的動點，Q是圓D：上的動點，則（

）A．C的焦距為 B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程直接判斷A、B的正誤，判斷圓心與橢圓左焦點的距離及圓心橫坐標(biāo)對應(yīng)橢圓點與圓心的距離，與圓的半徑長度關(guān)系判斷C的正誤，要使最小，保證P、Q、D共線，即，設(shè)應(yīng)用兩點距離公式及橢圓方程求最小值，即可判斷D的正誤.【詳解】由橢圓方程知：，故焦距為，故A錯誤；C的離心率，故B正確；由圓D的方程知：圓心，半徑為，而且橢圓上的點到D的距離為，故圓D在C的內(nèi)部，故C正確；設(shè)，則，而，又，可知，故，故D錯誤.故選：BC12．若方程，所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（

）A．曲線C可以表示圓 B．若曲線C是橢圓，則C．曲線C不可能表示直線 D．若，則C為雙曲線【答案】ACD【解析】當(dāng)時，化簡方程可判斷出正確；曲線是橢圓，則，解出可判斷不正確；由，，，可判斷出正確；若，則，可判斷出正確．【詳解】當(dāng)時，方程，化為，表示圓，所以正確；曲線是橢圓，則，解得，所以不正確；由，，，所以曲線不可能表示直線，所以正確；若，則，為雙曲線，所以正確；故選：ACD三、填空題13．如圖，正方形的邊長為，則__________________.【答案】【分析】在正方形中確定向量的模以及夾角，再根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】解析：正方形的邊長為，則AC長為向量的夾角為，故，故答案為：.14．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則E，F(xiàn)兩點間的距離為________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，按照空間中兩點的距離公式求解即可.【詳解】解析：以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得所以，所以＝所以|EF|＝故答案為：15．已知線段的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程是_________.【答案】【解析】設(shè)出A和M的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式把A的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到答案.【詳解】設(shè)，線段的中點M為.則，即①.∵端點A在圓上運動，∴.把①代入得：.∴線段的中點M的軌跡方程是.故答案為.四、雙空題16．已知直線，拋物線C：上一動點P到直線l與到y(tǒng)軸距離之和的最小值為______，P到直線l距離的最小值為______．【答案】

1

##0.75【分析】將P到y(tǒng)軸距離轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離減1，再由拋物線的定義轉(zhuǎn)化為，再由點到直線的距離求解即可；先求出平行于直線l且與拋物線相切的直線方程，再由兩平行線間的距離求解即可.【詳解】設(shè)拋物線C：上的點P到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線方程可得：焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則，，因此，因為的最小值是焦點F到直線的距離，即，所以的最小值為；設(shè)平行于直線l且與拋物線C：相切的直線方程為，由，得，因為直線與拋物線C：相切，所以，解得，因此該切線的方程為，所以兩平行線間的距離為，即P到直線l距離的最小值為．故答案為：1；.五、解答題17．已知直線和圓，設(shè)與的交點為P，直線與圓C的交點為A，B，求：(1)點P的坐標(biāo)；(2)線段的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）兩直線方程聯(lián)立方程組可解得交點坐標(biāo)；（2）求出圓心到直線的距離，用勾股定理計算弦長．【詳解】（1）由得所以點P的坐標(biāo)為；（2）因為圓C的方程可化為，所以圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心C到直線的距離為，所以.18．已知空間三點，，（1）求以為邊的平行四邊形的面積;（2）若向量分別與垂直，且||=，求的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或【詳解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,∴S=||·||sin∠BAC=7.(2)設(shè)向量=(x,y,z),則由·=0,·=0,||=,得∴或∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).【點睛】本題主要考查向量模的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示以及向量夾交余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行;（2）兩向量垂直.19．已知橢圓經(jīng)過（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于不同兩點是坐標(biāo)原點，求的面積.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出的值，可求出橢圓的方程；(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標(biāo)，設(shè)直線與軸交于點，利用進(jìn)行求解．【詳解】(1)由題意得:,解得:即軌跡E的方程為

(2)記，的方程為由消去得，

所以

設(shè)直線與軸交于點20．如圖，在四棱錐中，底面，，，，.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量法即可求得異面直線的夾角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夾角余弦值.【詳解】（1）因為底面，底面，所以，，且，，所以，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.易知是平面的一個法向量，因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.21．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，點在線段上.(1)當(dāng)直線與平面所成角最大時，求線段的長度；(2)是否存在這樣的點，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，A1P=【分析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【詳解】（1）直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當(dāng)NH最小時線面角最大，因為當(dāng)P為中點時，,此時NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時.（2）以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點為A1B1的四等分點，且A1P=.22．已知橢圓的左?右焦點為?，離心率為，過的直線交C于A?B兩點，若的周長為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依題意可得，即可求出，再根據(jù)橢圓的離心率求出，最后根據(jù)的關(guān)系求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)橢圓上兩點，關(guān)于對稱，則的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由求出的取值范圍，再由的中點