第十三章函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

第十三章函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)或

總有例１證明它的收斂證:(3)它顯然是發(fā)散的,所以函數(shù)列例2設(shè)

證明它的收斂域?yàn)闃O限函數(shù)為=0。證：由于對任何實(shí)數(shù)都有

故，對任意給定的，就有定義1所以數(shù)列的收斂域?yàn)闊o限區(qū)間為極限函數(shù)為=0。對于函數(shù)列，我們不僅要討論它在哪些點(diǎn)上收斂，而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)。比如能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性，判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性，即下面要討論一致收斂性問題。一致收斂于f的幾何意義:不一致收斂于f的幾何意義:

函數(shù)列在D上不一致收斂的定義：定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則)(4)證:[必要性][充分性]一點(diǎn)都收斂，記其極限函數(shù)為(5)定理13.2證:[必要性]由上確界的定義有由此證得（6）式成立。[充分性]有由（7）式得（6）（7）例3證明證：于是，

但由于

因此，該函數(shù)列在

上不一致收斂。二.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性稱為定義在Ｅ上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)列。級數(shù)的和函數(shù)：即若收斂，則稱為的收斂點(diǎn)。若發(fā)散，則稱為的收發(fā)散點(diǎn)。也就是說函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性就是指它的部分和數(shù)列的收斂性。當(dāng)當(dāng)定理13.3（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）或推論：定義2?.)()(上一致收斂在，則稱上一致收斂于函數(shù)數(shù)集DxuxSDn例4定理13.4由此可知我們來看例4中的級數(shù)若僅在[-a，a]（a<1）上討論，由

可知級數(shù)在[-a，a]上一致收斂。若在（-1，1）上討論這個級數(shù)，則由（）（）在（-1，1）內(nèi)不一致收斂。又對一切根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，一致收斂。三.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性判別法定理13.5（魏爾斯特拉斯判別法）證：例5證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。在

證：由于對一切有

而正項(xiàng)級數(shù)是收斂的，所以函數(shù)項(xiàng)級數(shù)上也收斂。定理13.6（阿貝耳判別法）設(shè)在區(qū)間I上一致斂；

是單調(diào)的；（2）對每一個（1）（3）則級數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致收斂。

證：由（1），使得當(dāng)時，對任意正整數(shù)p及有

又由（2），（3）及阿貝爾引理（第十二章§3引理的推論）得到

由此柯西準(zhǔn)則定理得證。定理13.7（狄利克雷判別法）設(shè)（1）的部分和數(shù)列在I一致有界；（2）對每個是單調(diào)的；（3）在I上一致收斂于零。則級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。

證：由（1），，對一切。因此當(dāng)n，p為任意正整數(shù)時，

對任何一個由（2）及阿貝爾引理，得到

再由（3），對任給的，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，對一切有所以

于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則，級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。例6函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在[0，1]上一致收斂。因?yàn)橛洉r，由阿貝耳判別法即得結(jié)果。例7若數(shù)列單調(diào)且收斂