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第十三章函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)或
總有例1證明它的收斂證:(3)它顯然是發(fā)散的,所以函數(shù)列例2設(shè)
證明它的收斂域?yàn)闃O限函數(shù)為=0。證:由于對任何實(shí)數(shù)都有
故,對任意給定的,就有定義1所以數(shù)列的收斂域?yàn)闊o限區(qū)間為極限函數(shù)為=0。對于函數(shù)列,我們不僅要討論它在哪些點(diǎn)上收斂,而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)。比如能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性,判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性,即下面要討論一致收斂性問題。一致收斂于f的幾何意義:不一致收斂于f的幾何意義:
函數(shù)列在D上不一致收斂的定義:定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則)(4)證:[必要性][充分性]一點(diǎn)都收斂,記其極限函數(shù)為(5)定理13.2證:[必要性]由上確界的定義有由此證得(6)式成立。[充分性]有由(7)式得(6)(7)例3證明證:于是,
但由于
因此,該函數(shù)列在
上不一致收斂。二.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù),為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)列。級數(shù)的和函數(shù):即若收斂,則稱為的收斂點(diǎn)。若發(fā)散,則稱為的收發(fā)散點(diǎn)。也就是說函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性就是指它的部分和數(shù)列的收斂性。當(dāng)當(dāng)定理13.3(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)或推論:定義2?.)()(上一致收斂在,則稱上一致收斂于函數(shù)數(shù)集DxuxSDn例4定理13.4由此可知我們來看例4中的級數(shù)若僅在[-a,a](a<1)上討論,由
可知級數(shù)在[-a,a]上一致收斂。若在(-1,1)上討論這個級數(shù),則由()()在(-1,1)內(nèi)不一致收斂。又對一切根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則,一致收斂。三.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性判別法定理13.5(魏爾斯特拉斯判別法)證:例5證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。在
證:由于對一切有
而正項(xiàng)級數(shù)是收斂的,所以函數(shù)項(xiàng)級數(shù)上也收斂。定理13.6(阿貝耳判別法)設(shè)在區(qū)間I上一致斂;
是單調(diào)的;(2)對每一個(1)(3)則級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。
證:由(1),使得當(dāng)時,對任意正整數(shù)p及有
又由(2),(3)及阿貝爾引理(第十二章§3引理的推論)得到
由此柯西準(zhǔn)則定理得證。定理13.7(狄利克雷判別法)設(shè)(1)的部分和數(shù)列在I一致有界;(2)對每個是單調(diào)的;(3)在I上一致收斂于零。則級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。
證:由(1),,對一切。因此當(dāng)n,p為任意正整數(shù)時,
對任何一個由(2)及阿貝爾引理,得到
再由(3),對任給的,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時,對一切有所以
于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則,級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。例6函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在[0,1]上一致收斂。因?yàn)橛洉r,由阿貝耳判別法即得結(jié)果。例7若數(shù)列單調(diào)且收斂
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