自動(dòng)控制原理第六版第二章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容:

1.數(shù)學(xué)模型的概念,建模的原則2.傳遞函數(shù)3.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖1編輯ppt

2.1.1什么是數(shù)學(xué)模型?所謂的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。控制系統(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。2.1.2數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)1)相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。抽象的變量和系統(tǒng)2)簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡(jiǎn)化之，但不能太簡(jiǎn)單，結(jié)果合理3)動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。性能分析4)靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。放大倍數(shù)

2.1.3數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型1)微分方程：時(shí)域其它模型的基礎(chǔ)直觀求解繁瑣2)傳遞函數(shù)：復(fù)頻域微分方程拉氏變換后的結(jié)果3)頻率特性：頻域分析方法不同，各有所長(zhǎng)2-1數(shù)學(xué)模型的概念2編輯ppt2.1.4數(shù)學(xué)模型的建立方法1)分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。2)實(shí)驗(yàn)法：黑箱問(wèn)題。施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識(shí)的方法，得到數(shù)學(xué)模型。

建模原則：選擇合適的分析方法－確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型－簡(jiǎn)化2.2.1列寫(xiě)微分方程式的一般步驟1)分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。2)忽略一些次要因素，合理簡(jiǎn)化。

2.2系統(tǒng)微分方程的建立3編輯ppt3)根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列寫(xiě)中間變量的輔助方程。

方程數(shù)與變量數(shù)相等！5)聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。6)將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。

與輸出有關(guān)的放在左邊，與輸入有關(guān)的放在右邊，導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列，系數(shù)化為有物理意義的形式。4編輯ppt

三個(gè)基本的無(wú)源元件：質(zhì)量m,彈簧k,阻尼器f對(duì)應(yīng)三種阻礙運(yùn)動(dòng)的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv

例2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。

解：遵照列寫(xiě)微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無(wú)外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。

KmfF(t)y(t)2.2.2機(jī)械平移系統(tǒng)舉例5編輯ppt

（3）按牛頓第二定律列寫(xiě)原始方程，即（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（6）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形

（4）寫(xiě)中間變量與輸出量的關(guān)系式KmfF(t)y(t)6編輯ppt

2.2.3電路系統(tǒng)舉例

例2-2電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以u(píng)r(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為RCur(t)

uc(t)L量綱s(課本上有推導(dǎo),p28)，靜態(tài)放大倍數(shù)1/K7編輯ppt解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（4）列寫(xiě)中間變量i與輸出變量uc的關(guān)系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)

uc(t)L（2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。（3）由KVL寫(xiě)原始方程：i(t)8編輯ppt（6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為

2.2.4線性微分方程的一般特征

觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來(lái)描述，則方程一般具有以下形式：9編輯ppt式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。

從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，上述微分方程滿足以下約束：

（1）方程的系數(shù)為實(shí)常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定；（2）左端的階次比右端的高,n>=m。這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性或儲(chǔ)能元件；（3）方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)，可以檢查微分方程式的正確與否。

10編輯ppt相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。上面兩個(gè)例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。例2-1例2-2令uc=q/C模擬技術(shù)：當(dāng)分析一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以建造一個(gè)與它相似的電模擬系統(tǒng)，來(lái)代替對(duì)它的研究。11編輯ppt

直流電動(dòng)機(jī)是將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的一種典型的機(jī)電轉(zhuǎn)換裝置。在電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流ia，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩MD，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。Ra和La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，其繞組在磁場(chǎng)中切割磁力線會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)反電勢(shì)Ea，其大小與2.2.5電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)MRauaLaiaif=常數(shù)Ea12編輯ppt激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。下面推導(dǎo)其微分方程式。（1）取電樞電壓ua為控制輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML為擾動(dòng)輸入，電動(dòng)機(jī)角速度為輸出量；（2）忽略電樞反應(yīng)、磁滯、渦流效應(yīng)等影響，當(dāng)激磁電流不變if時(shí)，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；（3）列寫(xiě)原始方程式電樞回路方程：uaMRaLaiaif=常數(shù)Ea13編輯ppt電動(dòng)機(jī)軸上機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：

J—負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;MD

—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩;ML

—合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。（4）列寫(xiě)輔助方程Ea=keke—電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。MD=kmiakm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。（5）消去中間變量，得14編輯ppt15編輯ppt令機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm:令電磁時(shí)間常數(shù)Ta:1)當(dāng)電樞電感較小時(shí)，可忽略，可簡(jiǎn)化上式如下：2-22一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)（2-21）16編輯ppt2)對(duì)微型電機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J很小，且Ra、La都可忽略測(cè)速發(fā)電機(jī)3)隨動(dòng)系統(tǒng)中，取θ為輸出4)在實(shí)際使用中，轉(zhuǎn)速常用n（r/min）表示,設(shè)ML=017編輯ppt一.復(fù)習(xí)拉氏變換及其性質(zhì)1.定義

記X(s)=L[x(t)]

2.進(jìn)行拉氏變換的條件1)t0，x(t)=0；當(dāng)t0，x(t)是分段連續(xù)；2)當(dāng)t充分大后滿足不等式x(t)Mect，M，c是常數(shù)。

3.性質(zhì)和定理

1)線性性質(zhì)

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)18編輯ppt2)微分定理若,則…19編輯ppt若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時(shí)，3)積分定律X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…20編輯ppt

5)初值定理如果x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且

4)終值定理

若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，limx(t)存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在jω軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒(méi)有其它極點(diǎn)，則函數(shù)x(t)的終值為：存在，則21編輯ppt6)延遲定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)時(shí)標(biāo)變換8)卷積定理22編輯ppt4.舉例

例2-3求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。解：例2-4求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。解：23編輯ppt例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。解：

以上幾個(gè)函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。24編輯ppt例2-6求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)25編輯ppt例2-7求eat的拉氏變換。解:例2-8求e

0.2t的拉氏變換。解：26編輯ppt，求x(0)，x()。解：例2-9若二.復(fù)習(xí)拉氏反變換1.定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)2.求拉氏反變換的方法

①根據(jù)定義，用留數(shù)定理計(jì)算上式的積分值②查表法27編輯ppt

③部分分式法

一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均為實(shí)數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中p1,…,pn是D(s)=0的根，稱(chēng)為X(s)的極點(diǎn)。分兩種情況討論：（1）D(s)=0無(wú)重根。28編輯ppt式中ci是待定常數(shù)，稱(chēng)為X(s)在極點(diǎn)si處的留數(shù)。（2）D(s)=0有重根。設(shè)有r個(gè)重根p1

，則29編輯ppti=r+1,…,n…30編輯ppt3.舉例

例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)31編輯ppt的原函數(shù)x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)32編輯ppt的原函數(shù)x(t)。解：例2-12

求33編輯ppt

用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時(shí)麻煩；當(dāng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)性能的影響。用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：1)對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。2.4.1.線性常系數(shù)微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時(shí)域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-134編輯ppt例2-13求解微分方程：解：兩邊取拉氏變換

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始條件：y(0)=1,y(0)=235編輯ppt例2-14圖示的RC電路，當(dāng)開(kāi)關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。

解：設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。由KVL寫(xiě)出電路方程

電容初始電壓為uc(0)，對(duì)方程兩端取拉氏變換RC

uruc36編輯ppt當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時(shí)，

得式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱(chēng)零狀態(tài)響應(yīng)；第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur(t)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱(chēng)零輸入響應(yīng)。37編輯ppt用拉氏變換求解的優(yōu)點(diǎn)：1）復(fù)雜的微分方程變換成簡(jiǎn)單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù)3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s代替,得到。當(dāng)然，階次高時(shí)，求拉氏反變換也不太容易，幸運(yùn)的是，往往并不需要求出解，可用圖解法預(yù)測(cè)系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。2.4.2傳遞函數(shù)的定義和實(shí)際意義微分方程是時(shí)域中的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是采用L[]法求解微分方程時(shí)引申出來(lái)的復(fù)頻域中的數(shù)學(xué)模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。1定義

在線性定常系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱(chēng)為傳遞函數(shù)，用G(S)表示。38編輯ppt即例2-7中，若令uc(0)=0，則有于是

可見(jiàn)，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無(wú)關(guān)，無(wú)論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱(chēng)之為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)39編輯ppt一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定義，其傳遞函數(shù)為40編輯pptG(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價(jià)，只是把時(shí)域變換到復(fù)頻域而已，但它是一個(gè)函數(shù)，便于計(jì)算和采用方框圖表示，廣泛應(yīng)用。其分母多項(xiàng)式就是微分方程的特征多項(xiàng)式，決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來(lái)說(shuō)，它只能反應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)部分。但在工程實(shí)際當(dāng)中：1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對(duì)靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零。2）輸入在t=0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零；對(duì)于非0初始條件時(shí)，可采用疊加原理。41編輯ppt

2.4.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)(a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對(duì)應(yīng)。

(b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無(wú)關(guān)。(c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔献儞Q是一種線性變換。(d)傳遞函數(shù)描述的是一對(duì)確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對(duì)中間變量不反應(yīng)。

(e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（零狀態(tài)解）(f)傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s的有理分式，它的分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，且階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即nm。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。(g)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。

系統(tǒng)辨識(shí)

42編輯ppt2G(s)的微觀結(jié)構(gòu)G(s)是關(guān)于s的有理分式，可分解成多種形式：1）零極點(diǎn)表達(dá)式

可知：傳遞函數(shù)定，零、極點(diǎn)和kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點(diǎn)和傳遞系數(shù)等價(jià)表示。零極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，表示在復(fù)平面上，形成的圖稱(chēng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此對(duì)系統(tǒng)的研究，可變成對(duì)系統(tǒng)傳函的零、極點(diǎn)的研究了，這就是根軌跡法(chaper4)。傳遞系數(shù)，根軌跡增益43編輯ppt

2）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，chapter5應(yīng)用p1p2j1

1

j

023p3z1例如，試畫(huà)出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點(diǎn)圖。44編輯ppt2-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)可看成是若干稱(chēng)為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認(rèn)為典型環(huán)節(jié)有6種，這些典型環(huán)節(jié),對(duì)應(yīng)典型電路。這樣劃分對(duì)系統(tǒng)分析和研究帶來(lái)很大的方便。分述如下：

自動(dòng)控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來(lái)描述，任一復(fù)雜的傳遞函數(shù)G(s)，都可表示為：45編輯ppt1.比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運(yùn)動(dòng)方程式c(t)=K

r(t)傳遞函數(shù)G(s)=K

單位階躍響應(yīng)C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見(jiàn)，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，輸出量c(t)成比例變化。

r(t)1c(t)t0K46編輯ppt2.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：式中，T是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)p=1/T，無(wú)零點(diǎn)。傳遞函數(shù)：

j

01/T單位階躍響應(yīng):47編輯ppt3.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T48編輯ppt單位階躍響應(yīng)：

當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出隨時(shí)間直線增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度由1/T決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：r(t)t01c(t)t01T49編輯ppt

c(t)=T(t)由于階躍信號(hào)在時(shí)刻t=

0有一躍變，其他時(shí)刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)只在t=

0時(shí)刻產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)脈沖。

理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨(dú)立存在，常見(jiàn)的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts單位階躍響應(yīng)：r(t)t01c(t)t0T50編輯ppt式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱(chēng)為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，ξ

為阻尼比，n為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于s左半平面的共軛極點(diǎn)：傳遞函數(shù)為：或5.二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：51編輯ppt單位階躍響應(yīng)：式中，β=cos－1ξ。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱(chēng)振蕩環(huán)節(jié)。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

0舉例：RLC串連電路，平移系統(tǒng)，直流電機(jī)52編輯ppt6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數(shù)為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01無(wú)理函數(shù)的工程近似：AB53編輯ppt2.7.1結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.結(jié)構(gòu)圖的定義

定義:由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號(hào)流向的系統(tǒng)的方框圖，稱(chēng)為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

2-7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

下圖為討論過(guò)的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖可描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就可迎刃而解。放大器電動(dòng)機(jī)測(cè)速機(jī)urufuae+-54編輯ppt

轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個(gè)環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函數(shù)代入相應(yīng)的方框中，并標(biāo)明兩端對(duì)應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

用G(s)代替相應(yīng)的元件，好處：補(bǔ)充了方框中各變量之間的定量關(guān)系，既能表明信號(hào)的流向，又直觀的了解元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響；因此，它是對(duì)系統(tǒng)每個(gè)元件功能和信號(hào)流向的圖解表示，也就是對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+P34，ML＝055編輯ppt

2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成1）畫(huà)圖的4種基本元素

信號(hào)傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號(hào)。指向方框表示輸入，從方框出來(lái)的表示輸出。r(t),R(s)

分支點(diǎn)

表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)56編輯ppt

方框

表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中的傳遞函數(shù)是單向的運(yùn)算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關(guān)系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點(diǎn)對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“+”號(hào)表示相加，“”號(hào)表示相減。外部信號(hào)作用于系統(tǒng)需通過(guò)相加點(diǎn)表示。57編輯ppt2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：

(a)簡(jiǎn)單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評(píng)價(jià)每一個(gè)元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。信號(hào)的傳遞嚴(yán)格遵照單向性原則，對(duì)于輸出對(duì)輸入的反作用，通過(guò)反饋支路單獨(dú)表示。

(b)對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行一定的代數(shù)運(yùn)算和等效變換，可方便地求出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(c)s=0時(shí)，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動(dòng)態(tài)特性。2.7.2結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟(1)列寫(xiě)每個(gè)元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。

(2)設(shè)初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個(gè)方框的形式將因果關(guān)系表示出來(lái)，而且這58編輯ppt些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。

(3)將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來(lái)，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。

例2-16

畫(huà)出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

R

C

u1

u2解：(1)列寫(xiě)各元件的原始方程式

i59編輯ppt(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來(lái)得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)60編輯ppt

2.7.3結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式

(1)串聯(lián)。相互間無(wú)負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。

故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)由圖可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)61編輯ppt

(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。由圖有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+62編輯pptC(s)=C1(s)C2(s)消去C1(s)和C2(s)，得C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+63編輯ppt

(3)反饋連接

連接形式是兩個(gè)方框反向并接，如圖所示。相加點(diǎn)處做加法時(shí)為正反饋，做減法時(shí)為負(fù)反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式稱(chēng)為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。64編輯pptG(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定義：G(s)：前向通道傳遞函數(shù)E(s)C(s)H(s)：反饋通道傳遞函數(shù)C(s)B(s)H(s)=1單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中負(fù)反饋時(shí)取“+”號(hào)，正反饋時(shí)取“-”號(hào)。65編輯ppt2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)考察帶有擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見(jiàn)的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++66編輯ppt（2）擾動(dòng)輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0有

（3）兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++67編輯ppt（4）控制輸入下的誤差傳遞函數(shù)（5）擾動(dòng)輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)的誤差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++68編輯ppt3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個(gè)特點(diǎn)閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)通過(guò)定量分析，更令人信服。（1）外部擾動(dòng)的抑制——較好的抗干擾能力（2）系統(tǒng)精度有可能僅取決于反饋通道的精度（3）各傳遞函數(shù)具有相同的特征方程式。動(dòng)態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無(wú)關(guān)69編輯ppt2.7.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換

變換的原則：變換前后應(yīng)保持信號(hào)等效。1.分支點(diǎn)后移GRCRGRC1/GR2.分支點(diǎn)前移GRCCGRCGC70編輯ppt4.比較點(diǎn)前移3.比較點(diǎn)后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F71編輯ppt5.比較點(diǎn)互換或合并R1CR2++R3R1CR2++R32.7.5結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化

對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當(dāng)需要確定系統(tǒng)的傳函時(shí)，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡(jiǎn)。R1CR2+R372編輯pptRCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H273編輯ppt方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G174編輯ppt

例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。RG1G2CG3RG1G2CG3解：75編輯pptRG1G2CG3RG1G2CG31/G276編輯ppt2.8.1信號(hào)流圖的基本概念

1.定義：信號(hào)流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡(jiǎn)單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1為輸入信號(hào)(變量)；x2為輸出信號(hào)(變量)；a12為兩信號(hào)之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來(lái)看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。信號(hào)傳遞關(guān)系函數(shù)運(yùn)算關(guān)系變量因果關(guān)系x1a12x22-8信號(hào)流圖及梅遜公式77編輯ppt

下面通過(guò)一個(gè)例子，說(shuō)明信號(hào)流圖是如何構(gòu)成的。設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述：x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a3278編輯ppt2.信號(hào)流圖的基本元素

(1)節(jié)點(diǎn)：用來(lái)表示變量，用符號(hào)“O”表示，并在近旁標(biāo)出所代表的變量。(2)支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的定向線段，用符號(hào)“”表示。支路具有兩個(gè)特征：

有向性限定了信號(hào)傳遞方向。支路方向就是信號(hào)傳遞的方向，用箭頭表示。

有權(quán)性限定了輸入與輸出兩個(gè)變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標(biāo)出的傳輸值(增益)表示。79編輯ppt

3.信號(hào)流圖的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)

節(jié)點(diǎn)及其類(lèi)別

輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。

混合節(jié)點(diǎn)

既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中x2、x3。

輸出節(jié)點(diǎn)(匯點(diǎn))

只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x280編輯ppt

通道及其類(lèi)別通道從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)一些支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)的路徑。用經(jīng)過(guò)的支路傳輸?shù)某朔e來(lái)表示。開(kāi)通道如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4閉通道(回環(huán))如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)的開(kāi)通道。如a23a32，a33(自回環(huán))

。81編輯ppt

前向通道

從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的開(kāi)通道。

不接觸回路回路之間沒(méi)有公共的節(jié)點(diǎn)和支路。4.信號(hào)流圖的基本性質(zhì)1）信號(hào)流圖只能代表線性代數(shù)方程組。2）節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之（代數(shù)）和；而從該節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)，均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。3）信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點(diǎn)變量依賴于前一節(jié)點(diǎn)變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。4）支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。

5）對(duì)于給定的系統(tǒng)，信號(hào)流圖不唯一。82編輯ppt2.8.2信號(hào)流圖的繪制方法

1.直接法

例2-19

RLC電路如圖2-28所示，試畫(huà)出信號(hào)流圖。解：(1)列寫(xiě)原始方程

(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果關(guān)系RCur(t)

uc(t)Li(t)83編輯ppt

(4)畫(huà)出信號(hào)流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R84編輯ppt2.翻譯法例2-20畫(huà)出下圖所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)85編輯ppt系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖變量節(jié)點(diǎn)輸入變量源節(jié)點(diǎn)比較點(diǎn)引出點(diǎn)

混合節(jié)點(diǎn)傳輸線

方框支路輸出端匯節(jié)點(diǎn)86編輯ppt2.8.3梅遜增益公式

1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點(diǎn)間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街蠵—

總傳輸(增益)；

n—

從源節(jié)點(diǎn)至匯節(jié)點(diǎn)前向通道總數(shù)；

Pk—第K條前向通路的傳輸；

—信號(hào)流圖的特征式；

k—第k條前向通路特征式的余因子式87編輯ppt

線性代數(shù)方程的克萊姆法則

為所有不同回環(huán)的增益之和；

為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為每三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱(chēng)為第k條前向通路特征式的余因子。88編輯ppt

解：信號(hào)流圖的組成：4個(gè)單回環(huán)，一條前向通道=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求圖所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。x0ax8bcdefghijkm89編輯ppt

例2-22已知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。bx1gx2ax3jhci23efd解：?jiǎn)位芈罚篴c，abd，gi，ghj，

aegh兩兩互不接觸回路：ac與gi，ghj;abd與gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的傳輸：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab2

=190編輯pptbx1gx2ax3jhci23efd

x1到x3的傳輸：

P1=3

1=1(ac