虛擬現(xiàn)實及其應用

《虛擬現(xiàn)實及其應用》第五講蔡則蘇2008-05-31第五講虛擬現(xiàn)實的建模和仿真技術主要內容：1．注意環(huán)境模型的兩種不同表示方法。

2．人工幾何建模的兩種途徑。

3．人工幾何建模的主要困難。

4．三維掃描儀的三個特點，六項技術和掃描設備。

5．增強現(xiàn)實技術的主要問題。

6．物理建模應該考慮的三類對象。

7．VR圖形繪制的九項技術。

8．各類插值和變形方法。

9．微分方程的數(shù)值解法。

10．由傳遞函數(shù)得到狀態(tài)方程的方法。

本章知識要點：4．1虛擬現(xiàn)實的幾何建模技術4．1．1環(huán)境模型的表示

建模是VR的核心,它定義物體的形式、屬性和外觀。多模式VR的一個重要的技術難點是設計開發(fā)物體表示、仿真和繪制(RSR)技術。它支持實時與VR的視聽觸覺交互。RSR處理有兩個主要途徑。第一種途徑使用統(tǒng)一的中央表示，它取得物理仿真和繪制目的所要求的所有幾何、表面和物理性質。原則上，有限元建模類方法可以用作表示這些特性、物理仿真和繪制的基礎。第一種途徑結構最精致，并避免了保持每個模式RSR過程之間空間時間相關的問題。

在另一個途徑中，采用保持分離的表示，它只表示在單一模式中（如聽覺）仿真和繪制交互有關的物體特性。分別對視覺，聽覺和觸覺建立各自的表示和模型。允許模式專用的表示、仿真和繪制之間具有更好的配合。

多數(shù)有關VR的RSR研究開發(fā)是視覺繪制的系統(tǒng)。與兩種RSR途徑（或不同多模式）有關的理論和實際問題只引起很少關注，但這可能成為VR研究開發(fā)的主要議題。例如，幾何建模關系到聲學環(huán)境和視覺環(huán)境，開發(fā)實際模型對產生和調節(jié)視聽觸覺顯示的能力是關鍵的。利用聽覺顯示理解科學數(shù)據(jù)是新奇的應用。

4．1．2人工的幾何建模方法

建立詳細的三維幾何模型的要求主要來自計算機輔助設計(CAD)、計算機圖形學和其它領域。盡管有豐富的商業(yè)建模工具，人們常常還是把建?？闯珊芊敝氐娜蝿?。因為建模緩慢，用戶接口不便，不靈活，以及模型規(guī)定在低層次。因此多數(shù)實驗室和商業(yè)動畫公司寧愿使用自制建模工具，或在某些情況用自制建模工具與市場銷售建模工具的混合。

為了理解，需要回顧三維幾何模型怎樣獲取。下面回顧幾個VR工作所報告的模型獲取過程：VR的幾何建模一般通過基于PC或基于工作站的CAD工具獲取。在北卡大學漫游建筑的項目中，AutoCAD用于產生構成一座教堂幾何模型的12000個多邊形。由AutoCAD產生的文件取出三維幾何并不困難，但問題是并非所有要求的數(shù)據(jù)都以VR要求的形式提供。

特別是沒有提供有關建筑物實際物理的數(shù)據(jù)、用于實時漫游算法的劃分信息、以后由手工或專用程序加入等。VPLRealityBuiltforTwo(RB2)系統(tǒng)使用MacintoshⅡ，作為固體建模的設計站，用IRIS工作站作為繪制/顯示站。RB2是用于設計和實現(xiàn)實時VR的軟件開發(fā)平臺。在RB2下開發(fā)是快速的交互的，具有可實時編輯的屬性約束和交互。在NPSNET項目中，初始的三維插圖集由SIMNET數(shù)據(jù)庫得到。許多VE應用要復制真實世界。不是用手建立模型，最好利用視覺或其它感覺自動獲取模型。

4．1．3自動的幾何建模方法

三維掃描儀（3DimensionalScanner）又稱為三維數(shù)字化儀（3DimensionalDigitizer）。它是當前使用的對實際物體進行三維建模的重要工具。它能快速方便的將真實世界的立體彩色信息轉換為計算機能直接處理的數(shù)字信號，為實物數(shù)字化提供了有效的手段。

它與傳統(tǒng)的平面掃描儀、攝像機、圖形采集卡相比有很大不同。首先，其掃描對象不是平面圖案，而是立體的實物。其次，通過掃描，可以獲得物體表面每個采樣點的三維空間坐標，彩色掃描還可以獲得每個采樣點的色彩。某些掃描設備甚至可以獲得物體內部的結構數(shù)據(jù)。而攝像機只能拍攝物體的某一個側面，且會丟失大量的深度信息。第三，它輸出的不是二維圖像，而是包含物體表面每個采樣點的三維空間坐標和色彩的數(shù)字模型文件。這可以直接用于CAD或三維動畫。彩色掃描儀還可以輸出物體表面色彩紋理貼圖。1．三維信息獲取技術：早期用于三維測量的是坐標測量機（CMM）。目前，CMM仍是工廠的標準立體測量裝備。它將一個探針裝在三自由度（或更多自由度）的伺服裝置上，驅動探針沿三個方向移動。當探針接觸物體表面時，測量其在三個方向的移動，就可知道物體表面這一點的三維坐標?？刂铺结樤谖矬w表面移動和觸碰，可以完成整個表面的三維測量。其優(yōu)點是測量精度高。其缺點是價格昂貴，物體形狀復雜時的控制復雜，速度慢，無色彩信息。

機械測量臂借用了坐標測量機的接觸探針原理，把驅動伺服機構改為可精確定位的多關節(jié)隨動式機械臂，由人牽引裝有探針的機械臂在物體表面滑動掃描。利用機械臂關節(jié)上的角度傳感器的測量值，可以計算探針的三維坐標。因為人的牽引使其速度比坐標測量機快，而且結構簡單，成本低，靈活性好。但不如光學掃描儀快。也沒有彩色信息。

借助雷達原理，發(fā)展了用激光或超聲波等媒介代替探針進行深度測量。這是激光或超聲波測距器。測距器向被測物體表面發(fā)出信號，依據(jù)信號的反射時間或相位變化，可以推算物體表面的空間位置，稱為“飛點法”或“圖像雷達”。不少公司開發(fā)了用于大尺度測距的產品（如用于戰(zhàn)場和工地）。小尺度測距的困難在于信號和時間的精確測量。Leica和Acuity推出了采用激光或紅外線的測距器。Senix公司推出了超聲波測距器。它受遮擋的影響較小。但要求測量精度高，掃描速度慢，而且受到物體表面反射特性的影響。

基于計算機視覺原理提出了多種三維信息獲取原理。這包括單目視覺法、立體視覺法、輪廓恢復形狀法、運動恢復形狀法、結構光法、編碼光法等。其中的結構光法，編碼光法成為目前多數(shù)三維掃描設備的基礎。這些方法可以分為被動式和主動式兩大類。被動式法的代表是立體視覺法。主動式法的代表是結構光法，編碼光法。光學掃描的裝置比較復雜，價格偏高，存在不可視區(qū)，也受到物體表面反射特性的影響。

幾種常用方法的比較：用于獲得物體內腔尺寸的方法之一是工業(yè)CT。它以高能X射線對零件內部進行分層掃描。它的缺點是精度不高，價格昂貴，且存在放射性危害。美國CGI公司生產的自動斷層掃描儀可以克服這些缺點。但要求對被測物體進行破壞。

2．三維掃描系統(tǒng)的關鍵技術在硬件和控制技術方面，掃描運動的伺服裝置要求精度高，運行平穩(wěn)，可定位性好。用電子掃描代替機械掃描是當前的趨勢。各類傳感器要求精度高，分辨率高，噪聲小。

三維信息獲取技術方面，三維信息獲取的原理應綜合考慮精度，速度，易實現(xiàn)性，易使用性，成本，使用背景等。原理確定后，還要注意實施方案，采用巧妙的技術策略，提升產品的性能。還要研究計算模型和誤差模型，了解誤差的原因，誤差的傳遞，誤差的校正和消除。往往還要包括數(shù)據(jù)的預處理和后處理技術。

色彩信息獲取方面，物體的色彩由三個因素確定:照明類型，物體表面的反射特性，眼睛按三條不同的光譜靈敏度曲線感知光線的能力。彩色是一種心理感覺。它與光源輻射能量的分布及觀看者的視覺感受有關。目前的三維掃描儀一般得到的不是物體表面的材質和對入射光的反射特性，而是在某種照明條件下所呈現(xiàn)的色彩。

三維構型，顯示及修改技術方面，掃描儀獲取的是物體表面離散采樣點的坐標和色彩。這些采樣點的集合稱為"點云"（PointCloud）。必須用點，多邊形，曲線，曲面等形式描述立體模型，即將"點云"構成"形"。同樣的點集進行不同的連接，可能得到不同的三維模型。定標技術方面，確定有關的裝置參數(shù)就是定標。它與計算模型和誤差模型有關。定標精度和可靠程度直接影響測量精度。定標還可以校正裝置的誤差。對彩色掃描，還有色彩定標問題。

3．三維掃描設備

FARO公司的機械測量臂包括Gold系列，Silver系列，Sterling系列。其優(yōu)點為:輕便，易用，量程大，精度高，可靠性好，便于與其他裝置配套，價格便宜。

Immersion公司的機械測量臂更多關注動畫業(yè)的應用。同樣輕便和易用，可與PC、Macintosh、SGI連接，三維形狀描述支持點、線、多邊形、Spline曲線，輸出數(shù)據(jù)格式包括DXF、OBJ、TXT等。

Cyberware公司的三維掃描儀，在80年代就被迪斯尼等動畫和特技公司采用，用于"終結者II"，"侏羅紀公園"，"蝙蝠俠II"，"機械戰(zhàn)警"等影片。還用于快速雕塑系統(tǒng)。90年代的掃描儀可對人體全身掃描，給出對象的多邊形、NURBS曲面、點、Spline曲線方式描述，用于動畫、人類學研究、服裝設計等方面。

Cyberware的代表產品是3030系列，其適用范圍寬，價格適中，性能好。除了3030R外，都可進行彩色掃描。掃描速率可達1.4萬點/秒。3030RGB型掃描物體的尺寸在30cm，深度方向測量精度100-400μm，測量單元重23kg，主機為SGI工作站。3DScanner公司的Reversa是非接觸式雙相機激光掃描頭，基于線狀結構光測距原理，實現(xiàn)上采用"相機-激光源-相機"的方案。它制作精巧，重量僅600g，尺寸僅198mm×82mm×70mm，激光線最窄40μm，深度方向測量精度10μm。Reversa可以進行四軸或五軸的掃描運動，掃描采樣速率為1-1.5萬點/秒。其軟件提供掃描方式控制，數(shù)據(jù)格式轉化，三維顯示，等高線顯示，比例縮放，指定點坐標顯示，修補界面等功能。輸出可轉化為一些標準格式，如DXF、STL、ASCII等，用于產品測量、設計開發(fā)、模具制造、珠寶設計、快速制造、特技制作、制陶、制鞋及醫(yī)學。

3DScanner公司的ModelMake是最新激光掃描頭，可以安裝在多關節(jié)機械測量臂上，作多軸掃描。裝置體積小，重量輕，可進行彩色掃描，輸出支持DXF、STL、ASCII、EYE、OBJ、3DS格式，適用于特技制作、虛擬現(xiàn)實、VRML產品設計、測量、醫(yī)學等。

CGI公司的自動斷層掃描儀CSS-1000，能同時獲得物體的外形和內腔結構。用材料逐層磨去與逐層光學平面掃描相結合的方法測量物體內外尺寸。這是破壞性的掃描，但可靠性好，自動化程度高，能與CAD軟件直接接口，比工業(yè)CT便宜，且精度較高。。

其他產品有Inspeck公司的三維光學掃描裝置。Digibot公司的DigbotII采用點狀結構光測量深度。Steinbichler公司的三維掃描系統(tǒng)有COMET、Tricolite、AutoScan。華中理工大學的3DLCS95。下圖表示，日本住商株式會社的激光掃描三維建模產品，ModelMaker。它的激光測量器安裝在美國FAROTechnologies公司的機械臂FAROArm上。測量速度為14000點/秒。測頭移動速度0.4-5mm/秒。測量距離120-220mm。測量精度0.2mm。

下圖表示，日本住商株式會社的激光掃描三維建模產品ModelMaker使用的美國FAROTechnologies公司的機械臂FAROArm

下圖表示，日本MINOLTA公司的激光掃描三維建模產品，VIVID700。測量距離0.6m-2.5m。掃描區(qū)域可達1.1m×1.1m。分辨率(x,y,z)為200×200×256點。掃描時間0.6秒

下圖表示，日本MINOLTA公司的激光掃描三維建模產品，VIVID700的使用情況用于人體外形建模的大型激光掃描系統(tǒng)4．1．4增強現(xiàn)實的建模問題

增強現(xiàn)實使用看穿的頭盔顯示，它在真實環(huán)境的視場上重疊合成圖形。在傳統(tǒng)的疊加顯示中，合成的圖形與背景沒有直接關系。但在增強現(xiàn)實中，合成的物體應看起來是真實環(huán)境的一部分。這就是說它們應與觀察者交互，與真實物體交互，好象也是真的。

在一個極端條件下，產生全增強現(xiàn)實的幻覺要求真實世界和合成物體的完全模型。例如，把合成的物體放在真實桌子上并使得在觀察者通過環(huán)境移動桌子時該物體也停在桌上一起移動，這要求知道桌子在空間什么地方，觀察者怎樣運動。為了完全真實，要求有關場景照明和表面性質的信息，以便在真實物體上產生合成的明暗。此外，還要求有關三維場景結構的信息，以便允許真實物體遮擋合成物體或被合成物體遮擋。自然，在不可控的不可予測的觀察者運動中，這些都是實時發(fā)生的。真實和虛擬的這種混合已在動畫圖像特技效果中實現(xiàn)。某些效果的產生是通過繪制三維模型并產生得到的圖形與真實場景的組合，這正是增強現(xiàn)實要求的。但這個過程很慢很費力，要求每步的人工干預。在場景被拍攝后，攝象機和物體運動模型被人工提取，這利用一幀一幀手工測量，有大量嘗試和錯誤。即使小的幾何錯誤也容易破壞幻覺，使合成物體似乎浮出真實場景以外。自動生成增強現(xiàn)實的效果還是正在研究的問題。兩個主要問題是：（1）觀察者運動的精確測量；（2）獲取和維持場模型。

增強顯示技術的一個卓有成效的應用就是虛擬演播室。傳統(tǒng)的電視節(jié)目制作要使用演播室，搭建、拆卸、儲藏、搬運實物道具和布景，浪費時間財力。日益增多的節(jié)目制作量和有限的演播室空間，存在突出的矛盾。20世紀80年代，虛擬現(xiàn)實的研究給影視行業(yè)提供了虛擬演播室技術，適時提供了先進的影視制作工具。

1978年EugeneL。提出了電子演播室布景的設想。1988年日本NHK把二維計算機圖形實時合成系統(tǒng)"SytheVision"用于漢城奧運會的新聞演播室。1993年英國BBC利用虛擬演播室系統(tǒng)"VirtualScenario"制作電視新聞背景，以三維模型形式報道選舉。1997年美國Evans&Sutherland公司推出首套基于WindowsNT和實時圖形工作站的虛擬演播室系統(tǒng)Mindset。1999年美國Play公司推出性能價格比高的，帶虛擬場景的數(shù)字編輯系統(tǒng)Trinity。

目前市場上已有十多個虛擬演播室產品。按照攝像機跟蹤方式的不同，可以分為兩類：機械傳感方式（占73%）和圖形識別方式（占27%）。按照模型，可以分為兩類：二維虛擬場景（占23%）和三維虛擬場景（占77%）。全球已經采用了100多套虛擬演播室系統(tǒng)。如美國電影"泰坦尼可號"虛擬背景的制作。1998年法國世界杯足球賽的電視轉播。

1998年以來，中央電視臺已經采用了4套不同的虛擬演播室系統(tǒng)。但是，這些系統(tǒng)多以圖形工作站為硬件平臺，價格在20-40萬美元，比較昂貴。只有Play公司的數(shù)字編輯系統(tǒng)Trinity性能價格比高，受到歡迎。

價格昂貴的虛擬演播室受到歡迎，反映了其巨大的優(yōu)勢：節(jié)省制作成本，保持前景和背景的正確的透視關系，且可依據(jù)想象力自由創(chuàng)作。1．虛擬演播室的原理

同步跟蹤技術用于虛擬圖像和真實圖像的對準。色鍵合成技術用于虛擬圖像和真實圖像的合成。虛擬演播室的原理如下圖所示

有真實攝像機拍攝的前景圖像，與在真實攝像機拍攝參數(shù)控制下的虛擬攝像機產生的虛擬背景圖像，在色度鍵控制器中實時地進行色鍵合成，形成一幅完整的彩色圖像。他的關鍵技術包括：色度鍵控合成（簡稱色鍵合成）技術，同步跟蹤技術，虛擬背景生成技術等。下面介紹虛擬演播室的三個關鍵技術：色鍵合成，同步跟蹤和虛擬布景生成：2．色鍵合成技術

前景圖像的背景是藍色（或綠色）的幕，其色調為與前景中人物區(qū)別極大的高飽和度彩色。于是，前景圖像的色調與藍色（或綠色）幕的色調之差值，形成鍵控（摳像）電壓波形。用這個電壓波形去摳虛擬背景圖像，摳掉的部分對應著前景中人物的圖像。然后，在摳掉的部分填上前景中人物的圖像。這樣就把前景圖像中人物部分從藍（或綠）背景中分離出來，與虛擬背景圖像合成為一幅完整的圖像。

利用前景圖像中人物部分色調與藍（或綠）背景色調的差別，把前景圖像中人物部分從藍（或綠）背景中分離出來，再把人物部分覆蓋在（或代替）虛擬圖像中對應的像素。

要求前景圖像的動作方向，與虛擬圖像的動作方向一致。也就是要求虛擬環(huán)境對準真實環(huán)境。這樣，人們才能感覺兩個環(huán)境構成一個整體，不會感到真實人物在虛擬環(huán)境中移動。在真實攝像機運動時，真實圖像會變化。為了使虛擬圖像精確跟蹤真實圖像的變化，需要使用同步跟蹤技術。

3．同步跟蹤技術

真實圖像的獲取，是通過真實攝像機的推、拉、搖、移來拍攝的。虛擬攝像機應該與真實攝像機保持同步運動，二者保持相同的焦距、位置和角度。同步跟蹤技術應該具有這種功能。對二維虛擬演播室，虛擬攝像機應該跟蹤真實攝像機的左右搖擺（A），上下俯仰（B），以及前后推拉（C）。其跟蹤函數(shù)為：T2=f（A，B，C）。對三維虛擬演播室，還應該跟蹤機位橫向移動（D），機位縱向移動（E），機座高度升降（F），攝像機旋轉（G），以及鏡頭光圈變動（H）。其跟蹤函數(shù)為：T3=f（A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H）。跟蹤函數(shù)是復雜的非線性函數(shù)，而且攝像機旋轉（G）和鏡頭光圈變動（H）難以得到。

第一種方法是傳感器跟蹤技術。它使用安裝在鏡頭上的編碼傳感器，檢測聚焦（Focus）、變焦（Zooming）、及光圈（Iris）；采用安裝在云臺上的基座旋轉編碼器，檢測機頭搖移（Panning）和俯仰（Tilt）；采用在云臺上安裝輔助攝像機掃描拍攝固定在天花板上或墻上的同心環(huán)標或條碼，檢測云臺的位置。這些編碼數(shù)據(jù)，在視頻場的逆程期間送入攝像機定位的分析計算機，計算攝像機的位置、方向和視角。然后，譯碼成位置參數(shù)指令，通過虛擬攝像機控制設備控制虛擬背景圖像，跟蹤真實圖像。傳感器的性能，直接影響到跟蹤精度、跟蹤分辨率、跟蹤速度。

同步跟蹤系統(tǒng)現(xiàn)有的產品有，8個傳感器的托馬系統(tǒng)，虛擬現(xiàn)實編碼頭（RadamecVirtualRealityEncoderHead）。

同步跟蹤技術的優(yōu)點是：計算延遲時間3幀左右，跟蹤速度快，跟蹤精度高。其缺點是：攝像機機位固定，更換位置要求重新調整；攝像機鎖定和鏡頭校準困難，限制了拍攝自由度；對攝像機機型和云臺有要求，限制了選擇范圍；增加傳感器會加大經費。

第二種方法是圖形識別跟蹤技術。在真實環(huán)境中藍幕上畫上兩種藍色深淺不同、線條粗細不等、線間空格不均勻的網(wǎng)格圖像。1994年，歐洲BBC與Radamec的系統(tǒng)進行了試驗?？梢愿鶕?jù)真實圖像的分析，計算攝像機的機頭和鏡頭參數(shù)，但還不能計算攝像機位置參數(shù)。1996年，以色列Gamir公司以每組4個相鄰網(wǎng)格的組合為識別的最小單位，而且各組互不相同。通過網(wǎng)格圖案特征的分析，可以得到攝像機的機頭和鏡頭參數(shù)，以及攝像機位置參數(shù)。

圖形識別技術的計算量較大，導致虛擬圖像比前景圖像滯后6-7幀，而傳感器方式的延遲只有3幀。為了保證前景運動和背景運動的時間同步性，前景圖像要求經過硬件的延時器。

圖形識別方式的優(yōu)點是：對攝像機機型無限制，無需附加設備，不必改造演播室。圖形識別方式的缺點是：跟蹤精度低，攝像機散焦或網(wǎng)格在3格以下時跟蹤失常。為了保持網(wǎng)格的高清晰度，限制了攝像機景深；為保證網(wǎng)格的數(shù)量，限制了演員的活動范圍；為保證網(wǎng)格的識別，要求色鍵的高質量。4．虛擬布景生成技術

虛擬布景生成的過程如下：把計算機制作的三維數(shù)學模型以及貼在模型表面的紋理映射存儲在圖形工作站的數(shù)據(jù)庫中；然后在真實攝像機運動參數(shù)的控制下，虛擬攝像機對存儲的三維模型進行三維重建，即把三維模型提供給虛擬場景制作軟件，選定適當?shù)耐队瓣P系，生成虛擬布景。

虛擬攝像機硬件采用圖形圖像處理功能強大的ONYX圖形工作站。要求虛擬背景圖像連續(xù)平穩(wěn)的變化，圖形工作站應該有每秒25幀的處理能力。

虛擬背景的生成包括建模和重建兩步。第一步利用建模工具建立三維模型和紋理貼圖。第二步由圖形計算機控制物體在虛擬環(huán)境中的位置，建立整個虛擬環(huán)境。

5．虛擬演播室系統(tǒng)

虛擬演播室系統(tǒng)有：Cyberset、Larus、3DK、MingSet等。

Cyberset系統(tǒng)采用圖形識別跟蹤技術。系統(tǒng)包括：ONYX-2主機（有圖形加速功能），圖形識別信號插入器（用于識別攝像機識別碼），數(shù)字視頻處理器（用于提取攝像機機頭和鏡頭參數(shù)），O2工作站，以及色度鍵控制器，Cyberset

的特點是：（1）計算機可以提取攝像機運動參數(shù)和位置參數(shù)，攝像機移動不受限制；（2）攝像機機型不受限制，且安裝簡單；（3）多個攝像機可以共同使用一套虛擬演播室；（4）跟蹤系統(tǒng)不必校正和預熱，調整簡單，工作穩(wěn)定且準確；（5）安裝和操作簡單。

Larus采用傳感器跟蹤（ThomaSystem），測量左右搖擺、上下俯仰、聚焦和變焦。Larus有三個信道，分別采用：SGIONYX-2主機、SGIO2工作站1、SGIO2工作站2。另外有一臺PC，運行二維貼圖軟件；有一臺SGIIndigo-2建立與修改虛擬場景；有一臺SGIO2作用戶界面。系統(tǒng)有如下特點：（1）采用通用的圖形工作站和圖形工具庫OpenGL，開放性好，便于升級和擴展；（2）延遲時間短，僅1幀；（3）用陰影攝像機拍攝主持人影子，并顯示，增加真實感；（4）界面為多級彈出式菜單，易學易用；（5）用空間球控制虛擬場景的推、拉、搖、移、俯、仰，很方便；（6）實用程序多，便于系統(tǒng)管理及數(shù)據(jù)轉換；（7）用KevinEffect功能，使虛擬攝像機在虛擬場景中采用飛行鏡頭技術，使效果更逼真；（8）操作員用魔幻效果，準確控制動畫開始時間和位置；（9）采用導演專用的小切換盒，不影響技術人員的操作；（10）圖形功能較全。4．2虛擬現(xiàn)實的物理建模技術

為了使VR可靠，并把用戶定位在其中，虛擬物體(包括用戶的圖像)必須象真的一樣。至少固體不應彼此穿過，物體在被推拉抓取時應按予期方式運動。

VR的物理屬性往往用微分方程來描述，它構成動力學系統(tǒng)。這種動力學系統(tǒng)由系統(tǒng)分析和系統(tǒng)仿真來研究。系統(tǒng)仿真實際上就是動力學系統(tǒng)的物理仿真。

經典力學的仿真廣泛用于幫助工程設計和分析。雖然這些傳統(tǒng)仿真提供屬性的數(shù)值規(guī)律，但還沒有滿足VR要求。在工程實踐中，仿真是長的推理活動。工程師一般花很多時間手工開發(fā)系統(tǒng)的數(shù)學模型。模型再轉換成仿真軟件和參數(shù)選擇。這樣仿真才能運行。在進行設計時，初始方程必須修改，并重新運行仿真。

與此對比，VR的力學仿真必須可靠地、無縫地、自動地、實時地運行。在世界建模的范圍內，任何可能發(fā)生的情況必須正確處理。近年來，計算機圖形的研究開始涉及這類仿真提出的問題，這稱為基于物理的建模。下面綜述現(xiàn)有的技術。

基于物理模型的動畫技術，盡管比傳統(tǒng)動畫技術的計算復雜性高，但能逼真地模擬自然物理現(xiàn)象?；谖锢砟Ｐ偷膭赢嫞笾驴煞譃槿?，剛體運動模擬、塑性物體變形運動模擬、流體運動模擬4．2．1固體的建模剛體運動模擬方面，重點在于采用牛頓動力學方程來模擬。Witkin利用Lagrangian動力學方程及時空約束和能量約束方程來進行運動仿真。Hahn采用解析方法來計算剛體碰撞時產生的沖量。他假設兩個剛體在接觸時只有一點接觸。這是理想化的。為了防止非完全彈性碰撞時剛體間的相互貫穿，把碰撞接觸模擬為一個屢次發(fā)生碰撞的序列。Hahn采用層次包圍盒技術來加速多面體場景的碰撞檢測。Moore提出了兩個有效的碰撞檢測算法，其一處理三角剖分的物體表面，另一個處理多面體環(huán)境的碰撞檢測。他利用一個剛體上各頂點的運動軌跡與另一剛體上各面片進行求交測試。固體不能彼此穿過，在放一個杯子在桌上時，杯子穩(wěn)定地放在桌上，不會浮起也不會穿進去。在到達和抓取時，我們依靠固體的手與物體接觸（機械手利用力控制和柔順運動）。在站立和行走時也依靠與地面的接觸。

防止穿透問題有三個主要部分。首先，必須檢測碰撞。其次，為響應碰撞應調節(jié)物體速度。最后，如果碰撞，響應不引起物體立刻分開，必須計算和施加接觸力，直到分開。

碰撞檢測的處理通常是通過檢測每次修改位置時的物體重疊。如果發(fā)現(xiàn)重疊，就發(fā)出碰撞信號，系統(tǒng)狀態(tài)就返回碰撞的時刻，碰撞響應就計算并施加。確定任意一對物體是否重疊的幾何問題有大量研究。這個問題在機器人學，機械CAD，計算機圖形學方面都引起關注。

4．2．2約束和聯(lián)接的物體的建模

除了簡單物體(如剛體)外，還應該能處理有運動部件的物體（開關的門，轉動的把手和開關等）。原則上，仿真簡單物體（如剛體）的能力，加上防止穿透的能力，足夠建模多數(shù)復合物體。例如，運動的桌子抽屜的構造通過建模在導槽中滑動的塊，構造門是通過詳細建模鉸鏈的剛性部件。實際上，用直接幾何約束綜合這種詳細交互的效果還不很有效。例如，滑動塊和導槽設想為一對重合的直線，每個物體上一條線。鉸鏈表示為理想的轉動關節(jié)。鉸鏈的物體（剛體的關節(jié)裝配）的仿真和分析被廣泛應用，特別是在機械手中。除了傳統(tǒng)技術（如拉格朗日動態(tài)法），還開發(fā)了流線遞歸方程，可能在線性時間內仿真運動鏈的動態(tài)，而拉格朗日動態(tài)要求N3時間。這些方法只適于較長的鏈（N>9），而且其初始形式不容易處理在部件連接圖中的閉環(huán)。

仿真約束系統(tǒng)的另一個途徑建立在經典的拉格朗日乘法之上，每個時間步解一個線性方程，得到一組約束力。這個途徑有幾個優(yōu)點。首先，它是一般方法，允許任意完全的約束施加于任意物體。其次，它提供在進行中的構造和修改，這對VR是重要的。最后，形成線性系統(tǒng)的約束矩陣是稀疏的，這反映了通常每個物體不是直接連到另一物體。使用這種稀疏的數(shù)值方法可以得到與遞歸方法可比的性能。

4．2．3非剛體的建模

真實物理世界中，許多物體在運動中會產生變形，這就是柔性物體。Terzopoulos采用連續(xù)彈性理論來模擬物體的變形和運動?？紤]物體的分布式物理屬性（如質量和彈性等），模擬了柔性物體對外力的動力學響應。但是當物體的剛性增加時，模型會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定（病態(tài)）現(xiàn)象。以后完善了的變形模型能夠模擬各種變形效果，包括：完全彈性變形、非完全彈性變形、塑性變形、斷裂等。大量工作是用有限元法仿真連續(xù)動態(tài)。多數(shù)研究可能僅僅關系到構造普通VR，這些環(huán)境不要求細粒度的非剛性建模，可能的例外是虛擬手術。但是對科學和工程的交互式連續(xù)分析可能成為VR的重要的專門應用，只要計算能力可以支持。

Baraff等人提出柔軟物體動態(tài)的簡化模型。模型的一般概念是只用少量全局參數(shù)表示物體形狀，并根據(jù)這些變量形成動態(tài)方程。這些簡化模型只注意物體粗略的變形，但最終提供了很高的性能。這可能是要求簡單非剛性的VR的最合適的選擇。

特殊形式的非剛性建模，是交互地雕刻自由形式表面。一般思想是用仿真的柔軟材料作為雕刻媒體。Celniker使用軟的薄紙，Szeliski用一團定向粒子形成平滑表面。 流體運動模擬，從流體力學中選取適當?shù)牧黧w運動方程，進行適當?shù)暮喕?，通過數(shù)值求解得到各時刻流體的形狀和位置?，F(xiàn)在已有模擬水流、波浪、瀑布、噴泉、濺水、船跡、氣體等流體效果的模型。4．2．4自主智能體(Agent)的建模

許多VR應用領域要求仿真自主智能體，如訓練、教育和娛樂等領域。這些智能體起的作用是對手，訓練者，同伴，或只是增加信任感的多余者。讓被仿真的人完全可信，還只是科學幻想小說的素材，但簡單的智能體對VR往往是足夠的。構造仿真的自主智能體引用很多技術，包括機器人學、計算機動畫、人工智能和最優(yōu)化，也涉及社會學和心理學等領域。

Agent的建模不同于一般的數(shù)學建模，它是行為建模。行為建模的一個應用是計算機生成兵力（ComputerGeneratedForces，CGF）建模。CGF是用計算機模型實現(xiàn)參與仿真的作戰(zhàn)人員和武器系統(tǒng)等仿真對象，目的在于減少真實作戰(zhàn)人員和武器系統(tǒng)參與仿真。 密歇根大學開發(fā)了基于符號表示和規(guī)則推理的Agent建模環(huán)境Soar，可以建立行為模型的規(guī)則庫和推理引擎。由美國陸軍STRICOM資助，LoralSystem公司和Saic公司分別開發(fā)了半自主兵力生成系統(tǒng)ModSAF和CCTTSAF。前者行為模型采用有限狀態(tài)機，后者采用基于規(guī)則的知識。

基于Agent的建模框架包括三個部分。（1）感知部分，用來接受外界信息。（2）認知處理部分，包括形勢評估、決策制訂、規(guī)劃、學習等，還與工作存儲器（存放當前信息）和長期存儲器（存放知識和任務）。（3）行為輸出部分，輸出行為并影響外界環(huán)境。

1．形勢評估的技術

形勢評估是對當前形勢的估計和對未來形勢的預測。主要技術包括：

黑板系統(tǒng)在黑板系統(tǒng)中，當前狀態(tài)被分解為不同部分，并加到黑板上適當位置。分析這些信息，并預測未來發(fā)展，結果也加在黑板上。

專家系統(tǒng)即產生式規(guī)則系統(tǒng)，包括規(guī)則庫、事實庫、推理引擎。遵循“匹配-選擇-應用”的循環(huán)。這是常用的技術。

基于范例的推理系統(tǒng)的知識用一組范例庫表示，一個范例用一組特征來表示。所有范例有同樣的數(shù)據(jù)結構。當出現(xiàn)新的形勢（目標范例）時，它與庫中的范例比較，找出最接近的范例，實現(xiàn)評估。

貝葉斯信任網(wǎng)這是基于貝葉斯定理。當已知狀態(tài)S的先驗概率，且觀察到狀態(tài)S的相關事件E，則可以計算狀態(tài)S的后驗概率。

2．決策制訂的技術

決策制訂可以使用上述的形勢評估的技術，也可使用下述的基于效用理論的決策。狀態(tài)的效用值由效用函數(shù)計算，是狀態(tài)的非線性函數(shù)。

基本的效用理論設在當前的狀態(tài)下，采用的決策方案為Ai，產生的可能狀態(tài)為Sj，每個狀態(tài)的效用值為U（Sj），概率是Pj，則該決策的期望效用值為E（Ai）=∑PjU（Sj）。期望效用值最大的方案是最佳方案。

多屬性效用理論當影響效用值的因素不只一個時，需要用適當?shù)姆椒ㄓ嬎阈в弥?，在各屬性滿足互斥條件，即各自的效用值互相獨立時，可以用加法計算效用值。

隨機效用理論用隨機變量計算效用值，有更好的靈活性和可變形。3．規(guī)劃的技術

規(guī)劃就是制訂部隊作戰(zhàn)方案。主要技術包括：

產生式規(guī)則或決策表這是常用的技術。但是對規(guī)則庫或決策表中不存在的情況不能處理。

組合式搜索或遺傳算法計算代價高，一般用作輔助手段。能產生完整的規(guī)劃，并在新情況下規(guī)劃新的方案。

采用規(guī)劃模板或基于范例的推理規(guī)劃模板與作戰(zhàn)條例一致，用來把作戰(zhàn)任務規(guī)劃成行動計劃。兩種方法都采用經驗知識，符合人的行為，但靈活性和適應性較差。

基于仿真的規(guī)劃它對可供選擇的規(guī)劃進行仿真，實現(xiàn)快速評估、修改、細化和優(yōu)化。

4．學習的技術

學習過程最難實現(xiàn)，多數(shù)仿真系統(tǒng)沒有學習功能。常用技術包括：

基于規(guī)則的模型當出現(xiàn)新情況或沖突時，問題求解過程進行求解，構成新的規(guī)則。在有噪聲時，靈活性較差。

基于范例的模型它再現(xiàn)了人的學習過程。通過存儲過去求解問題的經驗（即范例），當出現(xiàn)新問題時，利用與已知范例的相似性進行求解、更新及存儲。

神經網(wǎng)絡技術首先根據(jù)問題需要確定網(wǎng)絡結構和神經元的響應函數(shù)，然后用樣本的輸入和輸出調整網(wǎng)絡的連接權值。 其他模型如模擬退火方法，遺傳算法等。

5．多Agent的技術

當不同的Agent之間實現(xiàn)協(xié)同工作時，需要多Agent技術。核心問題是，多Agent之間的協(xié)調工作，以及共同適應（Coadapted）問題（也可稱之為多智能體間合作與競爭問題）。它研究將多個Agent組織成一個群體，并使各個Agent有效地協(xié)調合作，產生共同適應行為，達到總體上解決問題。主要方法包括：

基于符號推理系統(tǒng)的協(xié)調方法；

基于行為主義的協(xié)調方法；

基于進化機制的協(xié)調方法；

基于博弈論的協(xié)調方法

4．3虛擬現(xiàn)實仿真的繪制技術

4．3．1透視投影

"虛擬觀察者"（VirtualObserver,VO）觀看"虛擬環(huán)境"（VirtualEnvironment,VE），就是透視投影，這是把三維場景投影到二維平面上產生圖形。

VE坐標系是描述虛擬環(huán)境的坐標系，一般是一個固定坐標系。VO坐標系是固定在虛擬觀察者身上的坐標系，坐標原點VO在虛擬觀察者一只眼上，Z軸為光軸，X軸向左，Y軸向上。

一般來說，透視投影首先把VE坐標系中的點的坐標，轉換成在VO坐標系中的坐標。然后是在VO坐標系中引入平行于Xvo，Yvo平面的投影平面。以后將把VO坐標系中的Xvo，Yvo平面平行移動到投影平面，得到新的VO坐標系，如下圖所示。VE中每個點與VO連線，這個連線與投影平面的交點就是該點的投影。這個過程就是透視投影。把VE中物體上的每條線透視投影后，就得到物體的線框圖（wireframeview）。圖中的（a）表示點（x,y,z）的平面投影圖，（b）表示側面投影圖。投影在Xvo，Yvo投影平面的坐標（xp，yp）由下式計算。4．3．2視覺的深度感

1．人類視覺的深度感

人類視覺的深度感是人類識別環(huán)境深度和物體遠近的感覺。它包括由單目視覺得到的深度感，以及由雙目視覺得到的深度感。

單目深度感有下列幾種。

運動視差：這是當觀察者相對環(huán)境運動時，產生的深度感。如果頭部運動，就可能發(fā)現(xiàn)物體之間的遮擋關系。此外，單目運動到不同位置時觀看同一環(huán)境，類似于雙目同時觀看一個環(huán)境。也可以利用雙目視差的原理獲取深度信息。

透視深度感：對已知物體，圖像尺寸的變化是透視深度感。人的直覺是，物體越遠，看起來越小。

雙目深度感有下列幾種。

雙目會聚角是在注視一個點時，雙目光軸都指向這個點，雙目光軸之交角是雙目會聚角?？梢詮臅劢堑拇笮?，獲取深度信息。但會聚角只能取值在有限的范圍。注視太近的點時，不可能會聚。立體視覺是在雙目光軸平行時，由于幾何位置的差別，兩目看同一環(huán)境，卻得到不同的圖像。這種圖像的差別稱為雙目視差，這是主要深度感。 下圖表示雙目視差的原理。三個圖的觀看情況相同。（a）中，光軸Zvo通過兩眼的中點。Zvo與物體表面的交點是正方形的中心點。（b）中，光軸Zvo通過左眼中心。Zvo與物體表面的交點是在正方形中心點左邊。這個交點的投影是左眼視場的中心，是左眼的注視點。（c）中，光軸Zvo通過右眼中心。

Zvo與物體表面的交點是在正方形中心點右邊。這個交點的投影是右眼視場的中心，是右眼的注視點。因此，左右兩眼視場的中心不是物體上同一個點。這就是雙目視差。VR視覺的立體顯示，僅僅實現(xiàn)雙目視差。這是雙目平視遠方，雙目光軸平行時，雙目視圖之間的差別。VR視覺的立體顯示，還沒有實現(xiàn)人類其他的深度感。

2．立體顯示

為了實現(xiàn)立體顯示，應該為雙目提供不同的圖像，有雙目視差的圖像。為此，對同一虛擬環(huán)境，由兩個虛擬觀察點分別透視投影，得到有雙目視差的兩個圖像。立體顯示就是給雙目提供有雙目視差的兩個圖像。內瞳距Se是兩眼光軸的距離?？紤]兩眼的光軸平行。VO坐標系(觀察坐標系)的原點改在兩眼的中點，在這個VO坐標系中的一點（x,y），在左眼觀察坐標系中的坐標為（x-Se/2,y），在右眼觀察坐標系中的坐標為（x+Se/2,y）。于是，可以得到兩眼的透視投影為：

下圖表示一個計算實例。其中：Se=65，d=20：

4．3．33D剪切

物體應針對可視空間剪切。虛擬環(huán)境在可視空間以外的部分被剪掉，這可以減少計算工作量。

視場是在視角以內的部分。如果顯示平面是在投影平面內的一個矩形，則視場是矩形四邊分別與視點VO組成的四個面圍成的部分。這個空間（無限高的四棱錐）內每個點的投影，都在投影平面內的這個矩形中。

近平面和遠平面分別垂直于光軸。在虛擬環(huán)境中，離視點之距離小于近平面的部分，不顯示；離視點之距離大于遠平面的部分，不顯示。近平面和遠平面之間的視場（一個四棱臺）組成可視空間。

在可視空間中的虛擬物體，是可見的。實際虛擬物體的可見性和剪切處理有如下情況：

如物體邊界盒子各頂點都可見，則物體可見。

如物體邊界盒子各頂點都不可見，則物體不可見。

如物體邊界盒子各頂點有的可見，有的不可見，則要求剪切。

剪切是去掉物體不可見部分，保留可見部分。這里用物體邊界盒子判定可見性，是為減少計算復雜性采用的近似處理。Cohen-Sutherland剪切算法：使用6-bit碼表示一個線段是否可見。有三種情況：全部可見，全部不可見，部分可見。若部分可見，則線段再劃分成子段，分段檢查可見性。直到各個子段都不是部分可見（全部可見或全部不可見）。

Cyrus-Beck剪切算法：他利用線段的參數(shù)定義。由參數(shù)確定，線是否與可視空間6個邊界平面相交。

背面消除法：用于減少需要剪切的多邊形的數(shù)目。多邊形有正法線（有正面），視點到多邊形有視線。由正法線和視線的交角確定，多邊形是否可見。

剪切的目的是，對不可見的物體和部分可見的物體上的不可見部分，在投影時不予考慮，從而減少計算量。首先要剪切不可見的物體，其次是剪切部分可見的物體上的不可見部分。4．3．4光照

光照是光源照射表面時，表面上的光強，即入射光強度。這里只考慮點光源，入射光強度為：

Ii=Ip·cosθ入射光強度，

其中：Ip為點光源強度，θ為入射線與表面法線的交角。

令（Px,Py,Pz）為表面點P坐標，（Lx,Ly,Lz）為點光源坐標，這里計算的入射光強度，實質上是表面得到的有效的光強度。

4．3．5陰影

陰影計算復雜，現(xiàn)有算法難以實時計算，往往限于地面和墻面（水平，垂直方向）上的陰影。有時可用假陰影。例如：在地面的陰影。4．3．6反射

反射是表面反射出去的光強度。

4．3．7明暗

繪制（render）是由3D模型、光照模型，經過透視投影，得到平面圖形。繪制時間可能達幾秒或幾十分。繪制時間長的原因在于數(shù)據(jù)庫復雜和圖形的真實性。大型數(shù)據(jù)庫有幾千個物體，每個物體有幾千個三角形，所以繪制時間長。

繪制中的一個問題是，用戶的交互可能修改圖形，可能破壞幾何形體。如一個物體被推入另一物體，它就不必顯示了。如光源與物體頂點重合，就會破壞光計算，因為失去了光線向量。因此軟件應保證用戶不至引起不協(xié)調。

繪制中的另一個問題是畫面存貯。一般采用雙緩沖存貯，其中一個緩沖區(qū)保存繪制的圖形，另一個緩沖區(qū)保存顯示的圖形。1．平面明暗模型

平面明暗模型中，以多邊形中點光照作為多邊形內部各點的光照。

由上述的光照模型計算多邊形中點光照，于是就得到了多邊形內部各點的光照。這減少了計算復雜性，但顯示的場景看起來不自然。2．Gouraud明暗模型

Gouraud平面明暗模型中，由多邊形頂點光照內插內部點的光照。頂點的法線向量是各有關平面的法線向量的算術平均。

下圖表示，Gouraud平面明暗模型計算實例的三角形場景,若三角形三項點的光強為Ia，Ib

，Ic

則三角形邊上兩個點和內部一個點的光照分別為

左圖表示，Gouraud平面明暗模型計算三角形場景的原理圖。右圖表示，Gouraud平面明暗模型計算中，由相關的三個平面的法線的算術平均，得到頂點的法線

下圖表示，Phong明暗模型中內插表面法線的工作原理。下圖表示，Phong明暗模型中內插表面法線的效果

4．3．8消除隱藏面

3D形體投影后，3D形體上所有的線全部投影得到線框圖。其中，隱藏的（被遮擋的）線和面，以及可見的線和面同時顯示。消除隱藏面算法（消隱算法）從顯示圖形中去掉隱藏的（被遮擋的）線和面。

1．畫家算法

它把視場中的表面按深度排序。然后由遠到近依次顯示各表面。近的取代遠的。它不能顯示互相穿透的表面，也不能實現(xiàn)反走樣。對兩個有重疊的物體，A的一部分在B前，B的另一部分在A前，就不能用此算法。

2．掃描線算法

它從圖像頂部到底部依次顯示各掃描線。對每條掃描線，用深度數(shù)據(jù)檢查相交的各物體。它可實現(xiàn)透明效果，顯示互相穿透的物體，以及反走樣。可由各處理機并行處理。

3．z-緩沖器算法（z-buffer）

對一個象素，z-緩沖器中總是保存最近的表面。如果新的表面深度比緩沖器保存的表面的深度更接近視點，則新的代替保存的，否則不代替。它可以用任何次序顯示各表面。但不支持透明效果，反走樣也受限制。有些工作站已把z-緩沖器算法硬件化。

消隱算法是把線框圖變成實體圖必要的算法。4．3．9加強真實性的措施

為了提高顯示的逼真度，經常采用下列方法。

1．紋理映射

它在圖形中的部分表面上貼上圖像，加強真實性。貼上圖像實際上是個映射過程。映射過程應按表面深度，調節(jié)圖像大小，得到正確透視。紋理可映射到圖形上，而不是3D表面上。

2．反走樣

繪制中的一個問題是走樣，它會造成顯示圖形的失真。

反走樣算法試圖防止這些假象。一個簡單方法是以兩倍分辨率繪制圖形，再由象素值的平均，計算正常分辨率的圖形。另一個方法是計算每個鄰接元素對一個象素點的影響，再把它們加權求和得到最終象素值。這可防止圖形中的"突變"，而保持"柔和"。

走樣是由圖像的像素性質造成的失真現(xiàn)象。反走樣方法的實質是提高像素的密度。3．不同細節(jié)程度的模型（LOD模型）

在近處觀看一座建筑物時，可以看到細節(jié)。而在遠處觀看一座建筑物時，只能看到模糊的形象，不能看到細節(jié)。這種簡單的規(guī)律，可以用于在保持真實性的條件下減少計算量。

對于虛擬環(huán)境中的一個物體，同時建立幾個具有不同細節(jié)水平的幾何模型。簡單的模型具有較少的細節(jié)，包含較少的多邊形（或三角形）。

不同情況下選用不同詳細程度的模型，體現(xiàn)了顯示質量和計算量的折衷。這也體現(xiàn)了具體問題具體處理的合理性。4．4虛擬現(xiàn)實仿真的動畫技術

VR中物體的動態(tài)，也就是數(shù)值的動態(tài)?？梢杂蓛煞N方法實現(xiàn)這種數(shù)值的動態(tài)。

一是基于數(shù)值插值的動畫方法，它可以得到物體的動態(tài)。例如虛擬人體的步行，可以由插值實現(xiàn)動畫。二是基于物理的運動方程，由方程數(shù)值解可得到物體的動態(tài)。例如球的自由下落。4．4．1插值方法

1．線性插值

線性插值是把各中間點，按照與自變量的線性關系，均勻分布。如果把自變量理解為時間量，這相當于沿著直線以勻速運動，通過各中間點。

2．非線性插值：

實際物體運動有時不是勻速的，從零初速度加速，再減速，并停止在終點。非線性插值相當于，前半段由零初速度加速，后半段減速到零末速度。頭尾段速度小，插值點較密集。中間段速度大，插值點較稀疏。

3．參數(shù)插值

非線性插值無法控制加減速。參數(shù)插值可以控制加減速。

（1）平方插值

（2）立方插值

（3）Hermite插值

平方插值使用一個控制點，Vc。立方插值使用兩個控制點，Vc和Vd。Hermite插值使用的兩個控制點R1,R2分別為在開始和結束點v1,v2的微分（速率）。4．形狀內插

如果要求曲線A經過動畫變成曲線B。就是要內插各中間時間的曲線。直線A和直線B，作線性內插得到中間直線。

方法是A，B線上各取若干對應點，對每對對應點（數(shù)值），使用上述方法插值，找到它們的內插點。在把同一時刻的各個內插點聯(lián)接成曲線，就是這一時刻的內插曲線。 形狀內插不僅可以適用于兩條曲線，也可以適用于兩個屈面，或兩個物體。形狀內插的第一步是，在一對曲線上確定若干對對應點。第二步是，對于每一對對應點，利用點的內插方法，找到多個內插點。第三步是，把同一時刻的各個內插點連成內插曲線。

5．自由變形FFD

自由變形(Free-FormDeformation,FFD)用于物體形狀的內插，得到變形進程。它使用控制點的3D點陣。通過改變控制點，來改變物體形狀。

（1）1D坐標變形

（2）2D形狀變形

（3）3D形狀變形

自由變形是由控制點的位置，控制對象的形狀。如果控制點內插，得到控制點移動的過程，就可以得到對象形狀變化的過程6．關鍵幀動畫

關鍵幀動畫概念來自傳統(tǒng)的卡通片制作。在迪斯尼制作室中，動畫師設計卡通片中的關鍵畫面，即關鍵幀。然后，由助理動畫師設計中間幀。在三維計算機動畫中，計算機利用插值方法設計中間幀。另一種動畫設計方法是樣條驅動動畫，用戶給定物體運動的軌跡樣條。關鍵幀動畫有下列技術問題：（1）弧長參數(shù)化

關鍵幀插值中，給定物體運動的軌跡，求出物體在每一幀畫面中的位置。物體運動軌跡一般由參數(shù)樣條表示。如果對參數(shù)空間進行等間隔采樣，可能造成運動的不均勻性。為了使物體沿著樣條勻速運動，必須建立弧長與樣條參數(shù)的一一對應關系。

（2）插值過程的運動學控制

關鍵幀插值與純數(shù)學插值不同。關鍵幀插值應該產生逼真的運動效果，并給用戶提供方便的控制手段。用戶必須能夠通過調整插值函數(shù)來改變運動的速度和加速度。

（3）物體姿態(tài)的插值

物體的姿態(tài)一般由歐拉角表示。因此，姿態(tài)的插值問題就是三個歐拉角的插值。但是歐拉角表示有局限性。它的旋轉矩陣是不可交換的，基于歐拉角的旋轉要按特定的次序進行。此外，等量的歐拉角變化不一定引起等量的旋轉，從而導致旋轉的不均勻。歐拉角還可能造成自由度的喪失。Shoemake把四元數(shù)引入到動畫中，并提出用單位四元數(shù)空間上的Bezier樣條來插值四元數(shù)。7．漸變和變形物體動畫

動畫的一個特點是物體的形狀變形。例如電影“終結者II”中，機械殺手T-1000由液體變成金屬人，由金屬人變成其他角色。（1）變形

變形技術包括：與物體表示有關的變形、與物體表示無關的變形、基于約束的變形、軸變形。

與物體表示有關的變形，可以作用于由多邊形表示的物體。可以通過移動多邊形頂點來實現(xiàn)。但是不適當?shù)囊苿涌赡軐е氯S走樣，例如原來共面的多邊形變成不共面的。

與物體表示無關的變形，可以作用于由多邊形表示的物體，也可以作用于由參數(shù)曲面表示的物體。一種方法是Sederberg提出的最實用的自由變形方法FFD。它不是直接對物體變形，而是對物體嵌入的空間進行變形。FFD方法中的lattice塊的形狀為平行六面體，這限制了它的應用。先對物體嵌入的lattice塊的控制頂點設置動畫，再把變形傳播到物體本身。自由變形也可以用于臉部表情動畫，科學計算可視化等領域。

基于約束的變形，是為了解決FFD的不足。在FFD中，lattice變形和物體變形之間的對應關系并不直觀。Borrel和Rappoport提出了簡單約束變形法。用戶定義一系列約束點、所需的偏移量和影響區(qū)域半徑，在每個約束點處定義一個以該點為中心的局部B樣條基函數(shù)，該函數(shù)在影響區(qū)域外取值為0。該方法計算量小，在工作站上可實時交互。

軸變形，也是為了解決FFD的不足。在FFD中，控制點較多時交互性就較差。Lazarus提出了基于軸的變形。它用物體軸線的變形來控制物體的變形。對軸線設置動畫是很容易的。用該方法仿真魚的游動，取得了很好的效果。

（2）漸變（morphing）(如fishmorph例子)

上述的變形，是一個物體的形狀變化。不給定物體最終形狀。下述的漸變，是物體由一種形狀逐漸變化為另一種形狀。給定物體最終形狀。

兩個二維多邊形之間的漸變，一般采用頂點間的線性插值。但生成的多邊形可能產生自交和不應有的收縮。Sederberg提出了基于物理的二維形狀漸變。把形狀看成為由電線框組成，求解所需能量最小的形變解。

兩個二維圖像之間的漸變，有Wolberg的網(wǎng)格變形技術。他用B樣條網(wǎng)覆蓋在數(shù)字圖像上