新老數(shù)學(xué)教材的比較

四川省教育科學(xué)研究所李興貴走進課改：第一部分新老教材綜合難度比較與教學(xué)啟示第二部分中考改革與中考試題評價分析第三部分義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（修改稿）情況介紹第一部分

新老教材綜合難度比較與教學(xué)啟示一、問題選擇：教材習(xí)題系統(tǒng)綜合難度的比較二、研究模型的選擇數(shù)學(xué)課程綜合難度模型(鮑建生，2002a,2002b)難度因素水平探究識記理解探究背景無實際背景個人生活公共常識科學(xué)情景運算無運算數(shù)值計算簡單符號運算復(fù)雜符號運算推理無推理簡單推理復(fù)雜推理知識含量單個知識點兩個知識點三個知識點四個知識點1、綜合難度因素的水平劃分2、利用加權(quán)平均的方法計算各難度因素的量化指標(biāo)三、樣本的選擇老教材：人教版三年制初中課本《代數(shù)（第二冊）》與《幾何（第二冊）》（2001年出版）習(xí)題總量：2117新教材：華東師大版課標(biāo)教材八年級《數(shù)學(xué)》（上、下）冊（2002年出版）習(xí)題總量：1004四、難度因素比較分析1、探究水平

2、背景水平3、運算水平4、推理水平

5、知識的綜合難度

6、綜合難度

結(jié)論：新老教材相比，在探究與背景水平上有了較大的提高，教材中不僅增加了許多開放性、操作性的數(shù)學(xué)探究活動，而且更多地考慮了數(shù)學(xué)問題的實際背景。其中特別是加強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。而在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“雙基”上，則有所下降，減少了符號運算與推理的復(fù)雜程度，特別在幾何內(nèi)容的處理上，增加了幾何變換的作用，減少了理論深度，已逐漸從“在定理的層面上展開的課程”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸诙x的層面上展開的課程”，使幾何論證回到“原始的生長點”。

二、對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示1、正確地處理好“雙基”教學(xué)

數(shù)學(xué)運算能力、記憶與模仿的學(xué)習(xí)方式、非形式化數(shù)學(xué)教學(xué)與邏輯嚴謹性、數(shù)學(xué)練習(xí)2、透徹理解教科書（教材的把握與二次開發(fā)）教材的二次開發(fā)：主要是指教師和學(xué)生在實施課程中，依據(jù)課程標(biāo)準對既定的教材內(nèi)容進行適度的增刪、調(diào)整和加工，合理選用和開發(fā)其他教學(xué)材料，從而使之更好地適應(yīng)具體的教育教學(xué)情景和學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。一般在三個向度上展開：一是對教材靈活的、創(chuàng)造性的、個性化的運用；二

是對其他教學(xué)資源的選擇、整合與優(yōu)化；三是自主地開發(fā)其他的新的教學(xué)資源。

3、加強變式教學(xué)概念性變式：對概念的多角度理解過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進4、加強數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)語言的教學(xué)（《新課程：數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)新論》）

5、加強現(xiàn)代課堂教學(xué)研究

促進學(xué)生的發(fā)展、促進教師的成長、以學(xué)論教

6、深入開展校本教學(xué)研究

讓教師成為研究者，是幫助教師克服職業(yè)倦怠、實現(xiàn)個人價值、享受專業(yè)幸福的最佳途徑。

7、處理好教學(xué)中的矛盾

傳承與創(chuàng)新；預(yù)設(shè)與生成；自主與指導(dǎo)；方法與效果；常模與變式等。

第二部分中考改革與中考試題評價分析一、四川省初中生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試考試說明根據(jù)教育部的有關(guān)精神和要求，四川省教育廳結(jié)合我省實際制定了《四川省2006年基礎(chǔ)教育課程改革實驗區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試考試說明》

四川省教育廳在印發(fā)《考試說明》文件中明確指出：《考試說明》是初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試命題的依據(jù)，是考試內(nèi)容及其要求的具體化。各地在教學(xué)中應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準和《考試說明》組織復(fù)習(xí)，學(xué)校應(yīng)采取有力措施，使教師和學(xué)生熟悉《考試說明》。

四川省實驗區(qū)初中學(xué)業(yè)考試考試說明Ⅰ．考試性質(zhì)四川省基礎(chǔ)教育課程改革實驗區(qū)初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試是義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試之一，目的是全面、準確地評估初中畢業(yè)生達到《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗稿）》所規(guī)定的數(shù)學(xué)畢業(yè)水平的程度．考試的結(jié)果既是確定學(xué)生是否達到義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科畢業(yè)標(biāo)準的主要依據(jù)，也是高中階段學(xué)校招生的重要依據(jù)之一．

四川省實驗區(qū)初中學(xué)業(yè)考試考試說明Ⅱ．考試方式

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試采取閉卷筆試的方式，考試時間為120分鐘，滿分為120分．參加考試的學(xué)生可以帶三角板、圓規(guī)、量角器、筆、計算器進入考場（沒有計算器的可以不帶，不做統(tǒng)一要求）．

Ⅲ．試卷結(jié)構(gòu)1．基本結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試采用一卷制．試題題型包括客觀性試題和主觀性試題兩大類．客觀性試題指選擇題和填空題．選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計算過程或推證過程．主觀性試題指計算題、證明題、閱讀題、畫圖題以及探索題、開放題等（常統(tǒng)稱為解答題）．解答題要有解題的主要過程，關(guān)鍵步驟不能省略．四川省實驗區(qū)初中學(xué)業(yè)考試考試說明2．題型比例全卷共25個小題，具體比例為：填空題約占25%；選擇題約占10%；解答題約占65%．

四川省實驗區(qū)初中學(xué)業(yè)考試考試說明3．試題難度比例容易題約占60%；中等題約占30%；較難題約占10%．

IV.命題要求1、命題要遵循的一些原則：

⑴考試的目的是全面、準確地評估初中畢業(yè)生達到《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》所規(guī)定的數(shù)學(xué)畢業(yè)水平的程度，因此命題必須以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準為依據(jù)，要反映課程改革的理念。按教育部有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)的要求，這次考試的試題，應(yīng)該一看就是一套課程改革的試題；同時又要求命題要穩(wěn)妥，尤其是新題型一定要慎重。

⑵考試兼有水平考試和選拔考試的性質(zhì)和功能，既要能評估學(xué)生是否達到初中畢業(yè)的水平，又要能對學(xué)生學(xué)習(xí)的水平進行必要的區(qū)分。

2．命題原則考查內(nèi)容要依據(jù)《標(biāo)準》，體現(xiàn)基礎(chǔ)性；試題素材、求解方式等要體現(xiàn)公平性；試題背景要具有現(xiàn)實性；試卷應(yīng)具備有效性。

3．考查內(nèi)容作為學(xué)生義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的考查內(nèi)容應(yīng)當(dāng)以《標(biāo)準》中的“內(nèi)容標(biāo)準”為基本依據(jù)，不得超越。

主要考查方面包括：基礎(chǔ)知識與基本技能；數(shù)學(xué)活動過程；數(shù)學(xué)思考；解決問題能力；對數(shù)學(xué)的基本認識等。

4．考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

二、中考試題評價分析（一）基本情況簡介

2005年，四川省在18個市、州的30個課改實驗縣（區(qū)）進行了初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試，約20多萬初中畢業(yè)生參加了數(shù)學(xué)考試，考試成績既是初中畢業(yè)的主要依據(jù)，也是高中招生的重要依據(jù)之一。

為了提高命題質(zhì)量，規(guī)范試卷在各項指標(biāo)，根據(jù)省教育廳的安排，學(xué)業(yè)考試由省上制定各科考試說明，統(tǒng)一確定考試的形式、時間、內(nèi)容范圍并給出了樣卷，各市州自行組織命題。

我省成都、綿陽、自貢、瀘州、德陽、遂寧、內(nèi)江、樂山、資陽、宜賓、南充、眉山十二個市分別單獨命制了本市課改實驗區(qū)的初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試題，達州、廣元、雅安、廣安、巴中、涼山六個市州委托省教科所命題，共同使用一套初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試題，全省共命制十三套初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試題。

課改畢業(yè)生有使用華東師大版數(shù)學(xué)教材的，也有使用北師大版數(shù)學(xué)教材的，其中，使用華東師大版數(shù)學(xué)教材的有十四個市、州，使用北師大版數(shù)學(xué)教材的有四個市、州，各市州命制試題都參考了本地使用的教材，省教科所的試題由于考生分別使用了兩種不同版本的數(shù)學(xué)教材，所以只根據(jù)課程標(biāo)準和省里制定的四川省數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試考試說明命制，同時供使用各種不同版本教材的學(xué)生使用。

（二）命題過程

1．確定命題人員。

命題人員的確定堅持：①有一定的學(xué)術(shù)水平，能保證命題的科學(xué)性沒有問題；②熟悉課程標(biāo)準和課標(biāo)教材，其中有實驗區(qū)的一線教師和教研員；③掌握一定的命題和制卷技術(shù)；④有責(zé)任心，能保證不泄密，不教畢業(yè)班，沒有直系親屬參加考試。命題過程

2．學(xué)習(xí)課程標(biāo)準、考試說明并簽訂保密協(xié)議。

命題采用學(xué)科負責(zé)制進行管理，每個學(xué)科確定命題負責(zé)人，組織本學(xué)科全體命題人員學(xué)習(xí)課程標(biāo)準、考試說明，參加命題的有關(guān)人員都要簽定保密協(xié)定。

命題過程

3．研制試題雙向細目表。

在充分學(xué)習(xí)課程標(biāo)準和鉆研教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)本地教學(xué)實際和命題的各種基本原則，由全體命題人員共同討論制定實體的雙向細目表。

命題過程

4．

初步形成試題。確定雙向細目表之后，由參加命題的每個成員根據(jù)有關(guān)考試的基本要求和命題理論，按雙向細目表和確定的分工獨立命制相應(yīng)的試題，以便匯總確定最后的試題。

5．進行審題。

由沒有參加命題的，同樣具備命題人員資格的老師獨立審題，提出意見，然后命題人員再進行修改。在這個過程中，堅持了審題者不改題，不命題的原則。

考試后，為總結(jié)經(jīng)驗，肯定成績，找出問題和不足，以利改進今后的工作，四川省教育廳委托省教科所組織高校、教科所和中學(xué)教師組成全省試卷評價組，對十三套新課程數(shù)學(xué)試卷進行了全面的評價，并量化排序.（三）試題特點

我們認為，新課程試題的命制，要遵從《課程標(biāo)準》的規(guī)定，要反映新課程的理念，同時，對以前中考試題中經(jīng)實踐證明是好的經(jīng)驗要汲取，要保留。為此，我們在命制新課程數(shù)學(xué)試題的時候注意和重視了以下一些方面（主要分析六市州共用的一套試題）：

1．正確處理畢業(yè)與升學(xué)的關(guān)系。

畢業(yè)考試是一種目標(biāo)參照性考試，是水平考試，而高中招生考試是一種常模參照性考試，是選拔考試，這是兩種目的不同、性質(zhì)不同、要求也不同的考試，要在一次考試中很好地兼顧兩方面的要求，是困難的。

我們認為，初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試，從本質(zhì)上是水平考試，參照目標(biāo)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準，因此，不應(yīng)過多地考慮高中招生的要求。但因為高中不再單獨進行招生考試，而是用學(xué)業(yè)考試的成績作為招生的重要依據(jù)之一，所以，教育行政部門要求考試成績要能夠?qū)忌M行區(qū)分。在這種情況下，我們認為學(xué)業(yè)考試一定要為初中課程改革導(dǎo)好向，要保證進行正常學(xué)習(xí)的學(xué)生基本都能達到畢業(yè)合格線。

我們設(shè)定的三類題目的比例是6：3：1，這樣，在120分的總分中，有72分是非常基礎(chǔ)的題目，在30%的中檔題中，我們也注意梯度，逐步加深，這樣，可以保證有80分左右的題目是絕大部分考生能夠完成的，是可以正常畢業(yè)的。

同時，我們在30%的題目中，也安排了10分左右的接近較難的題，加上10%的較難題，對區(qū)分高分考生也有較好的作用，而最后一個題目的后一個小問，我們做到尾巴翹夠，為區(qū)分尖子考生做好工作。

我們認為，學(xué)業(yè)考試，要堅持以考核學(xué)生初中學(xué)業(yè)知識水平為主，兼顧高中招生，不能過多地考慮高中招生的需要而整體加大全卷的難度，那樣將給初中課程改革的正常進行帶來消極影響。

2．注重基礎(chǔ)，面向多數(shù)，保持穩(wěn)定

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實現(xiàn)：

--人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；

--不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

初中數(shù)學(xué)是義務(wù)教育的一部分，中小學(xué)教育是基礎(chǔ)教育，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與基本技能始終都應(yīng)擺在突出的位置，對于學(xué)生終身學(xué)習(xí)有價值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，要作為考查的重要內(nèi)容，通過加強基礎(chǔ)知識的考查，促進初中生人人掌握必需的數(shù)學(xué)．

我們繼續(xù)保持了以前中考比較注意的起點底，如第1題是

１．甲地的海拔高度為5米，乙地比甲地低7米，乙地的海拔高度為

(A)－7米；(B)－2米；(C)2米；(D)7米．

從考察有理數(shù)知識入手，非常簡單，學(xué)過的學(xué)生都應(yīng)該知道，而沒有學(xué)過有理數(shù)的就無法回答，既能考察考生對負數(shù)概念的掌握，又有利于考生情緒的穩(wěn)定，便于考生的正常發(fā)揮，可以保證考試的信度。

在全卷第60分處的題目是

16．（３）解方程：

．

仍然是基礎(chǔ)的解分式方程的題目，直接去分母化為一元一次方程即可求解。

初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要內(nèi)容，中考命題應(yīng)在整卷題量減少、難度適中的情況下，仍然注重“雙基”的考查，注意考查學(xué)生的基本運算能力、數(shù)學(xué)思想方法運用能力、運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力以及周密思考問題的習(xí)慣和運用基本知識進行簡單規(guī)律探索的能力．

3．貼近生活、貼近實際、培養(yǎng)學(xué)以至用的習(xí)慣

我們在試卷編制時注意了把單純的純數(shù)學(xué)知識盡量聯(lián)系學(xué)生的生活實際，做到生動有趣、有血有肉。如：

３．下面有4個汽車標(biāo)志圖案，其中是軸對稱圖形的是

①

②③④

(A)②③④； (B)①③④；

(C)①②④； (D)①②③．①②③④６．2004年12月國家統(tǒng)計局公布了西部地區(qū)的主要經(jīng)濟指標(biāo)，其中四川省的工業(yè)增加值為155000000000元，用科學(xué)記數(shù)法可表示為__________________________元．17．如圖，小勇想估測家門前的一棵樹的高度，他站在窗戶C處，觀察到樹頂端A正好與C處在同一水平線上，小勇測得樹底B的俯角為60°，并發(fā)現(xiàn)B點距墻腳D之間恰好鋪

設(shè)有六塊邊長為0.5米的正方形

地磚，因此測算出B點到墻腳之

間的距離為3米，請你幫助小勇

算出樹的高度AB約為多少米？

（結(jié)果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，）

22．某校八年級將舉行班級乒乓球?qū)官悾總€班必須選派出一對男女混合雙打選手參賽．八年級一班準備在小娟、小敏、小華三名女選手和小明、小強兩名男選手中，選男、女選手各一名組成一對參賽，一共能夠組成哪幾對？如果小敏和小強的組合是最強組合，那么采用隨機抽簽的辦法，恰好選出小敏和小強參賽的概率是多少？

這些題目，都注意了把學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識放在現(xiàn)實生活中情境中，貫徹了課程改革的理念。

4．關(guān)注數(shù)學(xué)核心知識的考核

在全卷的命制過程中，無論是基礎(chǔ)題，聯(lián)系實際的題目還是探索性題目、綜合性題目，無論是考察計算、作圖還是數(shù)學(xué)活動，我們都十分注意突出數(shù)學(xué)核心知識的考核。我們在全面考察的同時，加強了對方程、函數(shù)、變換、統(tǒng)計應(yīng)用等內(nèi)容的考核，加強了對數(shù)學(xué)思想方法的考察。

23．制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達到60℃后，再進行操作．設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據(jù)了解，該材料加熱時，溫度y與時間x（分鐘）成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃．

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時，須停止操作，

那么從開始加熱到停

止操作，共經(jīng)歷了多

少時間？

20．下面的方格紙中，畫出了一個“小豬”的圖案，已知每個小正方形的邊長為1．

（１）“小豬”所占的面積為多少？

（２）在上面的方格紙中作出“小豬”關(guān)于直線DE對稱的圖案（只畫圖，不寫作法）；

（３）以G為原點，GE所在直線為x軸，GB所在直線為y軸，小正方形的邊長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，可得點A的坐標(biāo)是（_____，_____）．

19．下表是某市2004年城市居民收支情況抽樣調(diào)查表，閱讀表內(nèi)信息，完成以下問題：

項目2004年（元）2003年（元）同比增長（%）可支配收入工薪收入8077.856349.4127.2經(jīng)營性收入289.77222.5330.2財產(chǎn)性收入110.9259.9385.1轉(zhuǎn)移性收入3118.973353.76-7.0小計11597.519985.63

消費支出食品3595.123060.3417.5衣著800.72699.1414.5家庭設(shè)備用品及服務(wù)484.00419.9515.3醫(yī)療保健715.17689.223.8交通和通訊936.31708.3232.2教育文化娛樂服務(wù)1099.441094.920.4居住623.13732.98-15.0雜項商品和服務(wù)417.87355.0317.7小計8671.767759.90

（１）說明該市城市居民可支配收入的主要來源是什么收入？

（２）該市城市居民可支配收入中同比增長最快的是哪項收入？

（３）從該市城市居民在消費支出方面的信息，你能得出哪些結(jié)論？試寫出其中的兩條．

5．突出對學(xué)生思維判斷能力的考核，突出對探索能力的考核

整個試卷，我們都注意突出了在初中生能力范圍內(nèi)對學(xué)生探索能力的考核。如

15．如圖是一個數(shù)表，現(xiàn)用一個矩形在數(shù)表中任意框出

4個數(shù),則

（1）a

、c的關(guān)系是：

；

（2）當(dāng)a＋b＋c＋d

＝32時，a

＝

．

５．用一水管向圖中所示容器內(nèi)持續(xù)注水，若單位時間內(nèi)注入的水量保持不變，則在注滿容器的過程中，容器內(nèi)水面升高的速度

(A)保持不變；

(B)越來越慢；

(C)越來越快；

(D)快慢交替變化．18．右圖是一個正方體的展開圖，標(biāo)注了字母A的面是正面，如果正方體的左面與右面所標(biāo)注

代數(shù)式的值相等，

求x的值．25．如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，F(xiàn)G＝4cm，EG＝3cm，且點B、F、C、G在直線l上，△EFG由F、C重合的位置開始，

以1cm/秒的速度沿直線

l按箭頭所表示的方向作

勻速直線運動．

（1）當(dāng)△EFG運動時，求點E分別運動到CD上和AB上的時間；

（2）設(shè)x（秒）后，△EFG與正方形ABCD重合部分的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在下面的直角坐標(biāo)系中，畫出0≤x≤2時（2）中函數(shù)的大致圖象；如果以O(shè)為圓心的圓與該圖象交于點P()，與x軸交于點A、B（A在B的左側(cè)），求∠PAB的度數(shù)．

對探索題，我們不贊成簡單的將高中的有關(guān)結(jié)論作為探索題放在初中學(xué)業(yè)試卷中讓學(xué)生探索，一是因為意義不大，二是容易造成初中補充大量的高中相關(guān)結(jié)論，不利于初中的有序教學(xué)。

5、問題探討（１）不符合考試說明在考查內(nèi)容上看，作為初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試的性質(zhì)決定了考查內(nèi)容必須限定在《課程標(biāo)準》與《考試說明》對學(xué)業(yè)考試的基本要求之內(nèi)，但有個別試卷做得不好，使試卷內(nèi)出現(xiàn)了超出要求的題目。例1在tan46°,sin46°,cos46°中最小的是

。答案：cos46°。評析：本題比較非特殊角的三角函數(shù)值的大小，如果用邏輯推理來比較，是超課標(biāo)要求的，如果用計算器來求解，題目應(yīng)明確給出“用計算器比較”的要求，但用計算器比較此題意義就不大了，同時沒有計算器的學(xué)生無法求解，是不公平的．我們認為，類似題目最好不出。（2）試題的科學(xué)性、合理性存在問題例1找出下列所給出數(shù)的規(guī)律，在橫線上填出后續(xù)的兩個數(shù)：2013、4102、3014、5104、4015、

、

。答案：6104、5016。評析：本題作為考察學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，僅表現(xiàn)在數(shù)字的位置變化上，無法考查學(xué)生真正的數(shù)學(xué)推理與歸納猜想等能力，數(shù)學(xué)意義不大，同時，有限個數(shù)反映出來的規(guī)律是很多的，并不唯一，出這類題目一般應(yīng)在題干中加上“找出一個規(guī)律”等字眼，以排除答案的唯一性，但這樣又失去了本題考察的意義，所以在編制這類題目時應(yīng)慎重。例2如圖是學(xué)生小明自制的一個無底圓錐形紙帽的示意圖，圍成這個紙帽的紙的面積（不計接縫）是____________________cm2（π取3.14，結(jié)果精確到十位）．答案：630。評析：本題原意為考查學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中對數(shù)學(xué)知識的理解，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，本是一個好題，但是在最后要求“結(jié)果精確到十位”，主觀上希望進一步綜合近似數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，但從結(jié)果來看，卻為學(xué)生設(shè)置了一道障礙，

例3同學(xué)們的數(shù)學(xué)課本，介紹了著名數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤、高斯等，從這些數(shù)學(xué)家身上，我們可以看到，學(xué)好數(shù)學(xué)要對數(shù)學(xué)有興趣，要有刻苦鉆研的精神，要善于獨立思考，善于發(fā)現(xiàn)、提出和解決

。答案：問題。評析：本題意圖考查學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，但有些牽強；同時作為數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試試題的形式與內(nèi)涵如何整合、和諧，是大家應(yīng)認真探討。同時本題答案也是開放的。例4如圖，有一圓錐性糧堆，其主視圖是邊長為6m的正三角形ABC，母線AC的中點P處有一老鼠在正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是

m。（結(jié)果不取近似數(shù)）答案：3。評析：本題意在考查學(xué)生對于展開圖的理解和計算，但此題有人為編造的嫌疑。一方面一般情況下老鼠不會舍近求遠跑到中間偷吃，另一方面小貓在B處看不見P處的老鼠，同時小貓在糧食堆上跑不出直線段。類似這種問題在其他一些試卷中也或多

例5甲、乙二人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績?nèi)鐖D所示，經(jīng)計算得：（）。（A）甲、乙的總環(huán)數(shù)相等（B）甲的成績穩(wěn)定（C）甲、乙的眾數(shù)相同（D）乙的發(fā)展?jié)摿Ω蟠鸢福海ǎ茫Ｔu析：本題考查學(xué)生的統(tǒng)計知識和根據(jù)數(shù)據(jù)決策的能力，但是在數(shù)學(xué)表達中出現(xiàn)了用數(shù)學(xué)思想回答非數(shù)學(xué)問題，無法讓人信服。選項（Ｄ）“乙的發(fā)展?jié)摿Ω蟆币饬x不明確，“潛力”指什么潛力這里不清楚；同時僅從一次比賽的結(jié)果就確定發(fā)展?jié)摿σ踩狈φf服力，影響一次比賽的因素是多方面的，可能有身體因素，可能有心情因素，可能有環(huán)境因素等，故此題存在爭議。數(shù)學(xué)語言的正確性、精確性和無歧意，是命題中十分重要的環(huán)節(jié)，也是命題者需要認真學(xué)習(xí)與反復(fù)錘煉的重要任務(wù)。尤其是在聯(lián)系生活實際問題編制數(shù)學(xué)試題時，需要認真思考，咬文嚼字，充分思考數(shù)學(xué)語言的特性。例6

現(xiàn)有一項資助貧困生的公益活動由你來主持，每位參與者需交贊助費5元，活動規(guī)則如下：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成6個相等的扇形，參與者轉(zhuǎn)動這兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各自指向一個數(shù)字，（若指針在分格線上，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止），若指針最后所指的數(shù)字之和為12，則獲得一等獎，獎金20元；數(shù)字之和為9，則獲得二等獎，獎金10元；數(shù)字之和為7，則獲得三等獎，獎金為5元；其余均不得獎；此次活動所集到的贊助費除支付獲獎人員的獎金外，其余全部用于資助貧困生的學(xué)習(xí)和生活；（1）分別求出此次活動中獲得一等獎、二等獎、三等獎的概率；（6分）（2）若此次活動有2000人參加，活動結(jié)束后至少有多少贊助費用于資助貧困生；（6分）

新課程學(xué)業(yè)考試題的命制，是一個新的值得探討和研究的題目，如何才能很好地反映新課程的理念，如何才能更好地保證高中招生制度的改革，還有待我們一起去努力，我們還有很多的困惑，在實踐中也感到有很多困難，希望多學(xué)習(xí)其他經(jīng)驗，努力作到為初中課程改革導(dǎo)好向，為高中招生服好務(wù)。

三、命題技術(shù)的應(yīng)用（一）改編試題的常見方法（二）創(chuàng)新試題的主要方法（一）改編試題的常見方法1、設(shè)置新的問題情景數(shù)學(xué)問題＋新的問題情景

新的試題【原型】正方體側(cè)面展開圖

我愛偉大祖國（第10題）ACOB（第11題）【例1】（2006眉山）10．如圖，是正方體的一個平面展開圖，在這個正方體中，與“愛”字所在面相對的面上的漢字是

．[例2】（2006南充）10．如圖，是一個正方體的平面展開圖，當(dāng)把它折成一個正方體后，與空白面相對的字應(yīng)該是（）Ａ．北 Ｂ．京 Ｃ．歡 Ｄ．迎

北京歡迎你【例3】（2005雅安）18．右圖是一個正方體的展開圖，標(biāo)注了字母A的面是正面，如果正方體的左面與右面所標(biāo)注代數(shù)式的值相等，求x的值．

【原型】用科學(xué)計數(shù)法表示數(shù)?！纠?】（2005瀘州）2．瀘縣是全省人口大縣之一，約為1030000人，用科學(xué)記數(shù)法表示為（A）1.03×105人（B）1.03×106人（C）1.03×107人（D）1.03×108人【例5】（2006眉山）13．已知空氣的密度是克／厘米，用科學(xué)記數(shù)法表示是

克／厘米．【例6】（2006貴陽）11．一枚一角硬幣的直徑約為0.022，用科學(xué)計數(shù)法表示為

（

）(A)(B)(C)(D)

【例7】（2006成都）2．2007年中國月球探測工程的“嫦娥一號”衛(wèi)星將發(fā)射升空飛向月球．已知地球距離月球表面約為384000千米，那么這個距離用科學(xué)記數(shù)法（保留三個有效數(shù)字）表示應(yīng)為（）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米2、轉(zhuǎn)換題型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題剖析條件1，條件2，條件3等結(jié)論1，結(jié)論2，結(jié)論3等現(xiàn)有題型的考查重點確立新的考查重點重新改造、組合條件與結(jié)論新的設(shè)問形式（選擇、填空、解答題）新的試題【原型】計算：5－7＝

【例8】（2005雅安）１．甲地的海拔高度為5米，乙地比甲地低7米，乙地的海拔高度為

(A)－7米；(B)－2米；(C)2米；(D)7米．【原型】利用相似三角形的有關(guān)知識測量高度（北師大八下126－129，華師大八下80頁）

【例9】（2006成都）13．如圖，小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學(xué)幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米．已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為

米．【例10】改編原題（1）如圖①，請根據(jù)給出的一部分圖案（陰影部分所示），借助網(wǎng)格線畫出圖案的剩余部分，使之構(gòu)成一個中心對稱的圖案。（2）在圖②中請設(shè)計一個以已知虛線為對稱軸的軸對稱圖案，并且滿足該圖案與圖①中的中心對稱圖案的面積相等。(說明：用鉛筆填充圖案內(nèi)部)（2）借助圖9之⑤的網(wǎng)格，請設(shè)計一個新的圖案，使該圖案同時具有你在解答（1）中所寫出的兩個共同特征．（注意：①新圖案與圖9的①～④的圖案不能重合；②

只答第（2）問而沒有答第（1）問的解答不得分）

（1）觀察圖9的①～④中陰影部分構(gòu)成的圖案，請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征．改編之后正稿（2005廣州）本題主要考查考生對圖形進行觀察、分析、概括的能力，并運用建立的模型解決相關(guān)問題。難度：0.74。3、重新組合所有的知識點＋新的問題載體增加或刪減考查的知識點新的表達方式新的試題【例11】（2005長春第13題）圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是

．答案：（5，2）．【例12】（2005雅安）25．如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，F(xiàn)G＝4cm，EG＝3cm，且點B、F、C、G在直線l上，△EFG由F、C重合的位置開始，

以1cm/秒的速度沿直線

l按箭頭所表示的方向作

勻速直線運動．

（1）當(dāng)△EFG運動時，求點E分別運動到CD上和AB上的時間；

（2）設(shè)x（秒）后，△EFG與正方形ABCD重合部分的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

如圖12，已知正方形ABCD．

（2）若正方形ABCD的面積為S，求四邊形A1B1C1D1的面積；（3）若將條件中的正方形ABCD改為一般四邊形ABCD，由本小題(2)中算出的結(jié)論是否還成立？為什么？

BCDA圖12（1）求作：四邊形A1B1C1D1，使得點A1和點A關(guān)于點B對稱，點B1和點B關(guān)于點C對稱，點C1和點C關(guān)于點D對稱,點D1和點D關(guān)于點A對稱；（只畫出圖形，不寫作法）

【例13】（2005廣州）（第25題，原稿）（過程稿）BCDA圖12

如圖12，已知正方形ABCD的面積為S．（1）求作：四邊形A1B1C1D1，使得點A1和點A關(guān)于點B對稱，點B1和點B關(guān)于點C對稱，點C1和點C關(guān)于點D對稱,點D1和點D關(guān)于點A對稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）（3）若將條件中的正方形改為任意四邊形，則按（1）做出的圖形是否還具有(2)中算出的結(jié)論？為什么？

（2）求（1）中作出的四邊形A1B1C1D1的面積；BCDA圖12如圖12，已知正方形ABCD的面積為S．

（1）

求作：四邊形A1B1C1D1，使得點A1和點A關(guān)于點B對稱，點B1和點B關(guān)于點C對稱，點C1和點C關(guān)于點D對稱,點D1和點D關(guān)于點A對稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）

（2）用S表示（1）中作出的四邊形A1B1C1D1的面積S1；

（3）若將條件中的正方形改為任意四邊形，面積仍為S，則按（1）的要求做出一個新的四邊形，面積為S2，則S1與S2是否相等?為什么？

（改后正稿）本題屬于幾何類探索性問題，本題考生人人均可入手，3個小問題使問題層層深入，能區(qū)分出不同層次的考生，優(yōu)生表現(xiàn)出較強的思維能力、分析問題解決問題能力以及良好的思維與書寫習(xí)慣，是一道較好的壓軸題。但本題解法不多，不能讓不同思維特點的考生均有較多的發(fā)揮空間。難度：0.29。

18．有若干張如圖所示的正方形和長方形卡片，如果要拼一個長為，寬為的矩形，則需要類卡片

張，類卡片

張，類卡片

張．

ＡＢＣ請你在右下角的大矩形中畫出一種拼法．【例14】（2006眉山）4、改變立意（1）單純對運算技能的考查轉(zhuǎn)化為對應(yīng)用能力的考查（2）單純的對數(shù)或形的知識內(nèi)容的考查轉(zhuǎn)化為對數(shù)形結(jié)合能力的考查（3）單純的推理為體轉(zhuǎn)化為實驗操作能力、歸納探究能力的考查(二)創(chuàng)新試題的主要方法（1）從生活中提煉新穎的素材，創(chuàng)新試題（2）化靜為動，利用變換創(chuàng)新試題（3）利用折、拼、剪、擺、疊、畫等操作性活動構(gòu)造試題

第三部分義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（修改稿）情況介紹

實驗稿課標(biāo)目錄修改稿課標(biāo)目錄第一部分前言前言一、基本理念第一部分設(shè)計理念二、設(shè)計思路一、基本理念第二部分課程目標(biāo)二、設(shè)計思路一、總體目標(biāo)第二部分課程目標(biāo)二、學(xué)段目標(biāo)一、總體目標(biāo)第三部分內(nèi)容標(biāo)準二、學(xué)段目標(biāo)（分三個學(xué)段）第三部分內(nèi)容標(biāo)準（分三個學(xué)段）第四部分課程實施建議用“案例”、“說明”的方式融入第三部分（分三個學(xué)段）變化：空間與圖形圖形與幾何實踐活動、綜合應(yīng)用、課題學(xué)習(xí)綜合與實踐目前正在進行的修改稿有以下一些變化：目錄

增加了前言，而將原“第一部分前言”改為“設(shè)計理念”；第三部分內(nèi)容標(biāo)準將“二、空間與圖形”三個學(xué)段都改為“圖形與幾何”；原來的“四、”三個學(xué)段分別是“實踐活動”、“綜合應(yīng)用”、“課題學(xué)習(xí)”，現(xiàn)統(tǒng)一改為“綜合與實踐”．前言新增加前言，而將原前言改為“設(shè)計理念”，對標(biāo)準本身的使用范圍、根據(jù)、內(nèi)容及要求作了說明：

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(修改稿)》(以下簡稱《標(biāo)準》)是針對我國義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育制定的．根據(jù)《義務(wù)教育法》、《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》的要求，《標(biāo)準》以全面推進素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為宗旨，明確數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)和地位，闡述數(shù)學(xué)課程的基本基本理念和設(shè)計思路，提出數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與內(nèi)容標(biāo)準，并對課程實施(教學(xué)、評價、教材編寫)提出建議．

《標(biāo)準》提出的數(shù)學(xué)課程理念和目標(biāo)對義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)具有指導(dǎo)作用，教學(xué)內(nèi)容的選擇和教學(xué)活動的組織應(yīng)當(dāng)遵循這些基本理念和目標(biāo)．《標(biāo)準》規(guī)定的課程目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準是義務(wù)教育階段的每一個學(xué)生應(yīng)當(dāng)達到的基本要求．《標(biāo)準》是教材編寫、教學(xué)、評估和考試命題的依據(jù)．在實施過程中，應(yīng)當(dāng)遵照《標(biāo)準》的要求，充分考慮學(xué)生發(fā)展和在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出的個性差異，因材施教．為使教師更好地理解和把握有關(guān)的目標(biāo)和內(nèi)容，以利于教學(xué)活動的設(shè)計和組織，《標(biāo)準》提供了一些有針對性的案例，供教師在實施過程中參考．

第一部分設(shè)計理念（原來的前言部分）數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)與人類的活動息息相關(guān)，特別是隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會塵產(chǎn)和日常生活的各個方面．?dāng)?shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)浯言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在社會科學(xué)與人文科學(xué)中發(fā)揮著越來越大的作用．?dāng)?shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民所必備的基本素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)教育作為促進學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，一方面要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，一方面要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的科學(xué)推理和創(chuàng)新思維方面的功能．

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程具有公共基礎(chǔ)的地位，要著眼于學(xué)生整體素質(zhì)的提高，促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展．課程設(shè)計要滿足學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)的需要，使學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展學(xué)生仙象思維和推理能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在情感、態(tài)度與價值觀等方面都得到發(fā)展；要符合數(shù)學(xué)科學(xué)本身的特點、體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)的精神實質(zhì)；要符合學(xué)生的認知規(guī)律和心理特征、有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；要在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗從頭際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、得到結(jié)果、解決問題的過程．

為此，提出如下制定《標(biāo)準》的基本理念與設(shè)計思路．

一、基本理念1、數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性．義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．

2、課程內(nèi)容既要反映社會的需要、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認知規(guī)律．它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)結(jié)淪的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法．課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的生活，有利于學(xué)生體驗、思考與探索．內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，生活化、情境化與知識系統(tǒng)性的關(guān)系．課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣化，以滿足學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求．

3、教學(xué)活動是師生共同參與、交往互動的過程．有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者與引導(dǎo)者．

數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握有效的學(xué)習(xí)方法．學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流也是學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程．教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教，為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)活動的機會．要處理好教師講授和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，通過有效的措施，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵學(xué)生合作交流，使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．

4、學(xué)習(xí)評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進教師的教學(xué)．應(yīng)建立評價目標(biāo)多元、評價方法多樣的評價體系．評價要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注學(xué)習(xí)的過程；要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認識自我，建立信心．

5、信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響．?dāng)?shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機結(jié)合．要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響以及所具有的優(yōu)勢，大力開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信啟、技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去．二、設(shè)計思路．（一）關(guān)于學(xué)段．基本沒有變化，仍然是三個學(xué)段．（二）關(guān)于目標(biāo)．把目標(biāo)的四個方面中的“解決問題”變?yōu)椤皢栴}解決”；把認知目標(biāo)動詞“靈活運用”改為“運用”；(三)關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容在各個學(xué)段中，《標(biāo)準》安排了四個方面的內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計與概率”，“綜合與實踐”．

數(shù)與代數(shù)“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運算，數(shù)量的估計：字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運算：·方程、方程組、不等式、函數(shù)等．在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運算能力，樹立模型思想．?dāng)?shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運算結(jié)果的估計等方面的直觀感覺．建立“數(shù)感”有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系．符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律：知道使用符號可以進行一般性的運算和推理．建立“符號意識”有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式．

運算是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，運算是基于法則進行的，通常運算滿足一定的運算律．學(xué)習(xí)這些內(nèi)容有助于理解運算律，培養(yǎng)運算能力．模型也是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，方程、方程組、不等式、函數(shù)等都是基本的數(shù)學(xué)模型．從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，是建立模型的出發(fā)點：用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是建立模型的過程：求出模型的結(jié)果、并討論結(jié)果的意義，是求解模型的過程．這些內(nèi)容有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)建模的過程，樹立模型思想．圖形與幾何“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面的基本圖形，圖形的性質(zhì)和分類；平面圖形基本性質(zhì)的證明；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；運用坐標(biāo)描述圖形的位置和圖形的運動．在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念．空間觀念是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體：能夠想象出空間物體的方位和相互之間的位置關(guān)系：根據(jù)語言描述或通過想象畫出圖形等．

直觀與推理是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中的兩個重要方面．幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果．在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象．幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)；軍著不可替代的作用，并且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，因此，與直觀一樣，推理也貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．推理一般包括合情推理和演繹推理．合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果，是由特殊到一般的過程．演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)出發(fā)，按照規(guī)定的法則，(包括邏輯和運算)驗證結(jié)論，是由一般到特殊的過程．在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論：演繹推理用于驗證結(jié)論的正確性．

統(tǒng)計與概率“統(tǒng)計與概率”主要內(nèi)容有：收集、整理和描述故據(jù)，包括簡單抽樣、記錄調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等：處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單的推斷．簡單隨機事件及其發(fā)生的概率．

在“統(tǒng)計與概率”中，幫助學(xué)生逐漸建立起數(shù)據(jù)分析的觀念是重要的．?dāng)?shù)據(jù)分析包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊涵著信息的：體驗數(shù)據(jù)是隨機的和有規(guī)律的，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法．在概率的學(xué)習(xí)中，所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的．“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，必須結(jié)合具體案例組織教學(xué)．

綜合與實踐“綜合與實踐”是一類以問題為載體，學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)活動，是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要途徑．針對問題情境，學(xué)生借助所學(xué)的知識和生活經(jīng)驗，獨立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實際之間及其他學(xué)科的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解．這種類型的課程對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力、對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力是有益處的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神．合理地設(shè)計課程內(nèi)容以及教學(xué)方法是達到教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵，既要考慮學(xué)生的直接經(jīng)驗、能夠啟發(fā)學(xué)生思考，也要考慮問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．這種類型的課程對教師是一種挑戰(zhàn)，教師應(yīng)努力把握住問題的本質(zhì)，能夠引導(dǎo)學(xué)生思考，同時，教師又應(yīng)努力幫助學(xué)生整理清楚自己的思路，指導(dǎo)學(xué)生以不同的形式展示自己的成果或報告自己的工作．這種類型的課程應(yīng)當(dāng)貫徹“少而精”的原則，保證每學(xué)期至少一次．它可以在課堂上完成，也可以將課內(nèi)外相結(jié)合．(四)關(guān)于實施建議（基本沒有變化）

第二部分課程目標(biāo)一、總體目標(biāo)（變化不大）．二、學(xué)段目標(biāo)（第三學(xué)段）（較實驗稿簡化，并有少量變化，如刪去能對具體情境中較大的數(shù)字信息作出合理的解釋和推斷，體會證明的必要性等）第三部分內(nèi)容標(biāo)準修改稿沒有前面的簡要說明與內(nèi)容結(jié)構(gòu)表，直接給出具體目標(biāo)．第三學(xué)段一、數(shù)與代數(shù)刪去前面的說明性文字，直接給出具體目標(biāo)．

（一）數(shù)與式（番號按修改稿，刪去的按實驗稿）1．有理數(shù)刪去原⑥“能對含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷”．2．實數(shù)修改⑥實數(shù)的簡單四則運算，刪去不要求分母有理化，增加“了解最簡根式（僅在化簡時要求，在其余一般計算時不要求）”．4．整式與分式修改⑤，會進行簡單的分式加減乘除運算，增加“會將分式約化成最簡分式（僅在化簡時要求，在其余一般計算時不要求）”．

（二）方程與不等式1．方程與方程組將③“會解一元一次方程、簡單的一元二次方程組、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）”，分為兩條（3）“會解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）”；（4）“會解簡單的一元二次方程組，掌握代入法、消元法”．更加突出了思想方法．增加（6）“能用一元二次方程的根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”．增加（7）“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應(yīng)用這個關(guān)系解決其他問題）”．

（三）函數(shù)2．一次函數(shù)在（1）“根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)表達式”后增加（2）“會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式．”，突出方法．

4．二次函數(shù)在（1）“通過對實際問題的分析，確定二次函數(shù)的表達式”后，增加（2）“會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式．”，突出方法．將（3）“會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題”．強化為“會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此寫出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)、說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單的實際問題”．強調(diào)了配方法，提高了要求．

二、圖形與幾何（原為空間與圖形）刪去前面的說明性文字，直接給出具體目標(biāo)．將以前的“圖形的認識”、“圖形與變換”、“圖形與坐標(biāo)”、“圖形與證明”改為“圖形的性質(zhì)”、“圖形的變化”、“圖形與坐標(biāo)”．

（一）圖形的性質(zhì)（1）“點、線、面”與（2）“角”合為（1）“點、線、面、角”．對以前較為含混的要求明確化了．1．點、線、面、角⑴通過實物和具體模型，了解從物體外形抽象出來的幾何體、平面、直線和點等(參見例1)．

(2)會比較線段的大小，理解線段的和、差，以及線段中點的意義．(3)直觀地了解平面上兩條直線(不重合，下同)之間的關(guān)系：相交與不相交．(4)掌握基本事實：兩點確定一條直線．(5)掌握基本事實：兩點間直線段最短．(6)理解兩點間距離的意義，會度量兩點之間的距離．(7)理解角的概念，會比較角的大?。?8)認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，并計算角的和、差．

2．相交線與平行線(1)理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（等角)的余角相等，同角(等角)的補角相等的性質(zhì)(參見例2)．(2)理解垂線、垂線段等概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線．(3)了解點到直線的距離的意義，會度量點到直線的距離．

(4)掌握基本事實：過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線垂直．(5)會識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．(6)理解平行線概念：掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，則兩直線平行．(7)掌握基本事實：過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行．(8)掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等；了解定理的證明(參見例2)．(9)會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線．(10)進一步探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)，則兩直線平行；平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)．(11)知道平行于同一條直線的兩條直線平行．3．三角形(1)了解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線等概念，會按照邊長的關(guān)系和角的大小對三角形進行分類，了解三角形的穩(wěn)定性．(2)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理．掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，且大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角．會證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊．

(3)了解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角．(4)掌握基本事實：兩組對應(yīng)邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等(參見例4)．(5)掌握基本事實：兩組對應(yīng)角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(參見例4)．(6)掌握基本事實：三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等．

(7)理解角平分線的概念，會用量角器畫角的平分線．(8)探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等：反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．(9)理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．

(10)了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等：底邊上的高、中線及頂角平分線重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形．(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形．

(12)探索勾股定理及其逆定理，并會運用它們由直角三角形的己知兩邊求第三邊、由三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系判斷直角三角形，以及解決一些簡單的實際問題．(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理．(14)了解三角形重心的概念．

4．四邊形(1)理解多邊形的定義，多邊形的頂點，邊，內(nèi)角，外角，對角線等概念．探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式．(2)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系：了解四邊形的不穩(wěn)定性．(3)探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分，平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

(4)知道兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離．(5)探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)．了解梯形的概念(參見例5)．(6)探索并證明三角形的中位線定理．

5．圓(1)理解圓、弧、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念．探索并了解點與圓的位置關(guān)系．(2)探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧．(不用此定理證明其他命題)(3)探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，了解圓周角定理的證明及其推論：圓內(nèi)接四邊形的對角互補：直徑上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．(不用這些定理或推論證明其他命題)

(4)知道三角形的內(nèi)心和外心．(5)了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念．(6)探索切線與過切點的半徑的關(guān)系：切線垂直于過切，點的半徑：反之，過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．會用三角尺過圓上一點畫圓的切線．

(7)探索并了解切線長定理的證明：過圓外一點所畫葉圓的兩條切線的長相等(不用此定理證明其他命題)(參見例6)．(8)會計算圓周長和弧長；圓面積和扇形的面積．(9)了解正多邊形的概念．

(3)會利用基本作圖完成作圖：過不在同一直線上的三點作圓：作三角形的內(nèi)切圓：作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形．(4)在上述尺規(guī)作圖的問題中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．

7．定義、命題、定理(1)了解定義、命題、定理、推論的意義．會區(qū)分命題的條件和結(jié)論．(2)結(jié)合具體事例，了解原命題及其逆命題的概念．會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．(3)知道證明的意義和證明的必要性(參見例6和“綜合與實踐”例2)，知道證明要合乎邏輯(參見例7)，知道證明的過程可以有不同的表達形式，學(xué)會綜合法證明的格式(參見例8)．

(4)通過實例體會反證法的含義(參見例3)．了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的．

(二)圖形的變化1．圖形的軸對稱(1)通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：關(guān)于一條直線成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分(參見例9)．(2)給定對稱軸，能夠作出簡單平面圖形(點，線段，直線，三角形等)的軸對稱圖形．

(3)了解軸對稱圖形的概念．探索簡單的軸對稱圖形(等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓)的性質(zhì)．(4)認識和欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形．2．圖形的旋轉(zhuǎn)(1)通過具體實例(如正多邊形，圓等)認識平面圖形的旋轉(zhuǎn)．探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等(參見例9)．(2)了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：關(guān)于一個點成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．(3)探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性．(4)認識和欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形．3．圖形的平移(1)通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點的連線平行且相等(參見例9)(2)認識和欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用．(3)綜合運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖案設(shè)計．

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4．圖形的相似(1)了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割．(2)通過具體實例認識圖形的相以．了解對應(yīng)角分別相等、對應(yīng)邊分別成比例的多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比．(3)探索并了解相似三角形的下述判定定理：兩組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似：兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似：三組對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似(參見例10)；(4)了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方．(5)了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小．

(6)會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題(參見“綜合與實踐”例2)．(7)利用圖形的相似，探索直角三角形中的邊角關(guān)系．認識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值．(8)會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由己知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角．(9)能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題．

5．圖形的投影’(1)會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，會判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體．(2)了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作實物模型．(3)通過實例了解視圖與展開圖(球除外)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用．(4)通過背景奉富的實例，了解中心投影和平行投影的概念．

(三)圖形與坐標(biāo)1．坐標(biāo)與圖形的位置(1)結(jié)合豐富的實例進一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置(參見例12)．(2)理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，能畫出直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標(biāo)．(3)在實際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置(參見例11)．(4)能寫出簡單圖形(多邊形，矩形)的頂點坐標(biāo)，體會可以用坐標(biāo)刻畫一個簡單圖形．(5)在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置(參見例12)．2．坐標(biāo)與圖形的運動(1)在同一個直角坐標(biāo)系里，對于一個已知其頂點坐標(biāo)的直線形，能寫出它關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的圖形的頂點坐標(biāo)，知道對應(yīng)頂點坐標(biāo)之間的關(guān)系．(2)在同一個直角坐標(biāo)系里，對于一個已知其頂點坐標(biāo)的直線形，能寫出它沿坐標(biāo)軸方向平移后的圖形的頂點坐標(biāo)，體會圖形頂點坐標(biāo)的變化．

(3)探索并了解將一個直線形依次沿兩個坐標(biāo)軸平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān)系，體會圖形．頂點坐標(biāo)的變化．(4)探索將一個圖形(直線形)的頂點坐標(biāo)(有一個頂點為原點、有一個邊在橫坐標(biāo)軸上)分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的．

三、統(tǒng)計與概率這一部分顯得比實驗稿簡略，1．抽樣與數(shù)據(jù)分析(1)體會抽樣的必要性，了解隨機抽樣(參見例±)．(2)理解平均數(shù)的意義，會汁算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解數(shù)據(jù)的中心趨勢(參見例2)．(3)體會刻畫數(shù)據(jù)離中趨勢的意義，會計算方差(參見例3)．

(4)理解頻數(shù)、頻率．會畫頻數(shù)直方圖，會利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息(參見“綜合與實踐”例6)．(5)體會樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本特征推斷總體特征(參見例1)．(6)通過表格、折線圖等，了解隨機現(xiàn)象的變化趨勢(參見例4)．

2．事件發(fā)生的概率(1)能列出隨機現(xiàn)象所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，理解事件發(fā)生的概率(參看例5)．(2)知道通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率(參看例6)．

四、綜合與實踐在本學(xué)段中，學(xué)生將在教師的指導(dǎo)下，將所學(xué)過的知識有機地結(jié)合，增強對知識的理解；與實際問題有機地結(jié)合，進一步獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識．具體目標(biāo)1．通過對于問題的探討，了解所學(xué)過的關(guān)于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率知識之間的關(guān)聯(lián)．2．初步獲得發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的經(jīng)驗．3．結(jié)合實際背景，在給定目標(biāo)下，設(shè)計解決問題的方案，初步體驗分析問題和解決問題的過程．

案例例l代數(shù)式的幾何表達．適用于七、八年級．問題：利用幾何圖形解釋代數(shù)式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．[說明]這是利用幾何圖形直觀解釋代數(shù)式的例子，我國古代的數(shù)學(xué)家曾用這種方法有效地解釋了“勾股定理”．了解這些方法，對于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很有好處的．如下面左圖所示，用幾何圖形解釋第一個式子是比較容易的．但畫圖解釋第二個式子就很困難了，可以如下面右面一組圖所示，把圖形分解，推測如何拼湊可以說明第二個式子．例2直覺的誤導(dǎo)．適用于九年級．問題：一張8cm×8cm的正方形的面積是64cm2．把這張紙片按下面上圖所示剪開，把剪出的4個小塊按下面右圖所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65cm2．這是可能的嗎?[說明]這是一個經(jīng)驗與邏輯不符的例子，希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)體會到：對于數(shù)學(xué)的結(jié)論，完全憑借直觀判斷是不行的，還需要通過演繹推理來驗證．組織學(xué)生實際操作，一般來說，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是不會相信上面右圖中紙片的面積是65cm2，但又無法說明自己觀察的結(jié)果是錯誤的．進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：如果觀察是錯誤的，那么錯誤可能出在哪里呢?學(xué)生通過邏輯思考，可以推斷只有一個可能：上面右圖中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積．然后，可以引導(dǎo)學(xué)生實際測量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實不像是直角．可以告訴學(xué)生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個由合情推理到演繹推理的過程．

可以采用如下方法證明，在證明過程中加深對相似圖形的理解．如圖9，過D做AC的垂線交AC于F．用反證法來證明．假定上面右圖中的圖形是長方形，那么圖形