2022版高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式課件新人教A版選修4-5

3.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1.了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式.2.會(huì)應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式解決簡(jiǎn)單問題.1212歸納總結(jié)從不等式的式子構(gòu)造入手,拼湊出所需形式是解決此類問題的突破點(diǎn).12121.三個(gè)正數(shù)或三個(gè)以上正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的應(yīng)用條件

“二定〞:包含兩類求最值問題,一是n個(gè)正數(shù)的和為定值(即a1+a2+…+an為定值),求其積a1a2…an的最大值;二是乘積a1a2…an為定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.“三相等〞:取等號(hào)的條件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一局部相等.不等式a2+b2≥2ab與a3+b3+c3≥3abc的運(yùn)用條件不一樣,前者要求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意區(qū)別.122.靈活使用根本不等式中的變形與拼湊方法題型一題型二題型三題型四【例1】0<x<1,求函數(shù)y=x(1-x2)的最大值.題型一題型二題型三題型四反思式子拼湊,以便能利用算術(shù)-幾何平均不等式求最值,是必須掌握的一種解題方法,但拼湊要合理,且要符適宜用的條件,對(duì)于此題,有的學(xué)生可能這樣去拼湊:雖然其中的拼湊過程保證了三個(gè)數(shù)的和為定值,但忽略了取等號(hào)的條件,顯然x=2-2x=1+x無解,即無法取等號(hào),也就是說,這種拼湊法是不正確的.這就要求平時(shí)多積累一些拼湊方法,同時(shí)注意算術(shù)-幾何平均不等式的使用條件,三個(gè)缺一不可.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四分析：先觀察求證式子的構(gòu)造,再通過變形轉(zhuǎn)化為用算術(shù)-幾何平均不等式證明.證明：∵a,b,c>0,題型一題型二題型三題型四反思三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式定理,是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的,因此,但凡可以利用該定理證明的不等式,一般都可以直接應(yīng)用比較法證明,只是在具備條件時(shí),直接應(yīng)用該定理會(huì)更簡(jiǎn)便.假設(shè)不直接具備“一正、二定、三相等〞的條件,要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明.連續(xù)屢次使用算術(shù)-幾何平均不等式定理時(shí)要注意前后等號(hào)成立的條件是否保持一致.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四【例3】

如圖,在一張半徑是2m的圓桌的正中央上空掛一盞電燈.大家知道,燈掛得太高了,桌子邊緣處的亮度就小;掛得太低,桌子的邊緣處仍然是不亮的.由物理學(xué)可知,桌子邊緣一點(diǎn)處的亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角θ的正弦成正比,而和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比,題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思處理此類求最值的實(shí)際問題,應(yīng)正確地找到各變量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式,把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,并將關(guān)系式配湊成可以用算術(shù)-幾何平均不等式的形式,假設(shè)符合條件“一正、二定、三相等〞即可直接求解.題型一題型二題型三題型四