高中數(shù)學《橢圓的簡單幾何性質》教案2

高中數(shù)學教案 第8章圓錐曲線方程（第 4課時）課 題：8．2橢圓的簡潔幾何性質（一）教學目的：

1．嫻熟把握橢圓的范疇,對稱性,頂點等簡潔幾何性質2．把握標準方程中a,b,c的幾何意義,以及a,b,c,e的相互關系 3．懂得、把握坐標法中依據(jù)曲線的方程爭辯曲線的幾何性質的一般方法

教學重點：橢圓的幾何性質

教學難點：如何貫徹數(shù)形結合思想,運用曲線方程爭辯幾何性質

授課類型：新授課

課時支配：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

依據(jù)曲線的方程,爭辯曲線的幾何性質,并正確地畫出它的圖形,是解析幾何的基本問題之一,依據(jù)曲線的條件列出方程,假如說是解析幾何的手段,

那么依據(jù)曲線的方程爭辯它的性質、畫圖就是解析幾何的目的 怎樣用代數(shù)的方法來爭辯曲線原性質呢？本節(jié)內容為系統(tǒng)地依據(jù)方程來爭辯曲線的幾何性質

供應了一個范例,因此,本節(jié)內容在解析幾何中占有特殊重要的位置

通過本節(jié)的學習,使同學把握應從哪些方面來爭辯一般曲線的幾何性質,從而對曲線的方程和方程的曲線彼此之間的相輔相成的辯證關系,對解析幾何的基本思想有更深的明白通過對橢圓幾種畫法的學習,能深化對橢圓定義的熟識,提高畫圖才能；通過幾何性質的簡潔的應用,明白到如何應用幾何性質去解決實際問題,提高同學用數(shù)學學問解決實際問題的才能

本節(jié)內容的重點是橢圓的幾何性質――范疇、對稱性、頂點、離心率、準線方程；依據(jù)方程爭辯曲線的幾何性質的思路與方法；橢圓的幾種畫法；難點是橢圓的離心率、準線方程及橢圓的其次定義的懂得,關鍵是把握橢圓的標準方程與橢圓圖形的對應關系,懂得關把握兩種橢圓的定義的等價性依據(jù)教學大綱的支配,本節(jié)內容分4個課時進行教學,本節(jié)內容的課時分配作如下設計： 第一課時,橢圓的范疇、對稱性、頂點坐標、離心率、橢圓的畫法；其次課時,橢圓的其次定義、橢圓的準線方程； 第三課時,焦半徑公式與橢圓的標準方程； 第四課時,橢圓的參數(shù)方程及應用

教學過程：

一、復習引入：

1．橢圓定義：在平面內,到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡2．標準方程：x2y21,y2x21（ab0）a2b2a2b2第1頁（共5頁）高中數(shù)學教案第8章圓錐曲線方程（第4課時）3．問題：

（1）橢圓曲線的幾何意義是什么？（2）“范疇”是方程中變量的取值范疇,是曲線所在的位置的范疇,橢圓的標準方程中的x,y取值范疇是什么？其圖形位置是怎樣的？（3）標準形式的方程所表示的橢圓,其對稱性是怎樣的？（4）橢圓的頂點是怎樣的點？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是多少？a,b,c的幾何意義各是什么？ （5）橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范疇如何？在這個范疇內,它的變化對橢圓有什么影響？（6）畫橢圓草圖的方法是怎樣的？二、講解新課：2y21〔ab0〕研P′yB2PA2x由橢圓方程x

a2b2究橢圓的性質.〔利用方程爭辯,說明結論與由圖形觀看一樣〕A1F1OF2〔1〕范疇:從標準方程得出x21,y21,即有QB1P″a2b2axa,byb,可知橢圓落在xa,yb組成的矩形中．〔2〕對稱性:把方程中的x換成x方程不變,圖象關于y軸對稱．y換成y方程不變,圖象關于x軸對稱．把x,y同時換成x,y方程也不變,圖象關于原點對稱．假如曲線具有關于x軸對稱,關于y軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種,就它確定具有第三種對稱

原點叫橢圓的對稱中心,簡稱中心．x軸、y軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范疇,對稱的截距

（3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點在橢圓x20〕,y21的方程里,令y20得x1a,因此橢圓和x軸有兩a2b2個交點A〔a,A2a0,〕,它們是橢圓xy2的頂點a2b2第2頁（共5頁）高中數(shù)學教案第8章圓錐曲線方程（第4課時）〕,令x0,得yb,因此橢圓和y軸有兩個交B〔0,b〕,B2〔0,b它們也是橢圓x2y21的頂點因此橢圓共有四個頂點：a2b2A〔a,0〕,A2a,0〕,B〔0,b〕,B2〔0,b〕加兩焦點F1〔c,0〕,F2〔c,0〕共有六個特殊點.A1A2叫橢圓的長軸,B1B2叫橢圓的短軸．長分別為2a2ba,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長.橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點. 至此我們從橢圓的方程中直接可以看出它的范疇而只需少量描點就可以較正確的作圖了．〔4〕離心率:

發(fā)覺長軸相等,短軸不同,扁圓程度不同這種扁平性質由什么來準備呢？概念：橢圓焦距與長軸長之比定義式：ece1〔b2〕aa,對稱性,頂點．因范疇：0e1A1yB2A2x考察橢圓形狀與e的關系：e0c0,橢圓變圓,直至成為極限位置圓,此時也可認為圓為橢圓在e0時的特例Oe1,ca,橢圓變扁,直至成為極限位置線B1段F1F2,此時也可認為圓為橢圓在e1時的特例三、講解范例：例1求橢圓16x225y2400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標,并用描點法畫出它的圖形．

解：把已知方程化成標準方程第3頁（共5頁）高中數(shù)學教案第8章圓錐曲線方程（第4課時）5

0x2y215242所以,a,5b4,c52423,因此,橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a102,b8,離心率ec3,兩個焦點分別為F1〔30,〕,F2〔,30〕,橢圓的四個頂點是a5A〔5,0〕,A2〔5,0〕,B〔0,4〕,B2〔04,〕將已知方程變形為y425x2,依據(jù)y425x2,在550x5的范疇內算出幾個點的坐標〔x,y〕：x01234y43.93.73.22.4先描點畫出橢圓的一部分,再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓： y

4-5O5x-4例2在同一坐標系中畫出以下橢圓的簡圖：（1）x2y21（2）x2y212516259答：簡圖如下：-54y5x3O-3-4例3分別在兩個坐標系中,畫出以下橢圓的簡圖：（1）x2y21（2）x2y21944936第4頁（共5頁）高中數(shù)學教案第8章圓錐曲線方程（第4課時）答：簡圖如下：-32y3x-76y7xO-2O-6四、課堂練習：1．已知橢圓的一個焦點將長軸分為3:2兩段,求其離心率26BA2x解：由題意,〔ac〕:〔ac〕=3:2,即1e3,解得e51e22．如圖,求橢圓x2y21,〔ab0〕內接正方形ABCD的面積a2b2y解由橢圓和正方形的中心對稱性知,正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點橫縱坐標相等,故設B（t,〕,代入橢圓方程求得t2aa2b2