D1-5極限存在準(zhǔn)則課件

二、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限第一章三、無窮小的比較柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)

(P22)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),有一、極限存在準(zhǔn)則

例設(shè)有數(shù)列則若證：由于當(dāng)再由柯西收斂準(zhǔn)則:令收斂，則也收斂。對(duì)于一切自然數(shù)收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，時(shí)，收斂。數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則

(P19)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故例證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由例若證:(1)由于

由夾逼定理有由不等式且則因?yàn)樗?2)則由不等式和及由夾逼定理有單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(P21)(證明略)設(shè)為單調(diào)數(shù)列，則解:為單調(diào)有界數(shù)列才能保證數(shù)列收斂，所以前三個(gè)結(jié)論都不對(duì)。比如單調(diào)但無界不收斂，單調(diào)有界收斂。但不論數(shù)列是否有界都收斂。單調(diào)有界，收斂。單調(diào)無界，收斂于0。(06-07,一(2))例例已知數(shù)列求解:用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)即首先證明存在。單調(diào)增加。于是成立。單調(diào)增加。由定理知數(shù)列由知有極限，不妨設(shè)對(duì)等式的兩邊分別取極限，得即解得根據(jù)收斂數(shù)列的保號(hào)性的推論:所以還是有界的?？芍狝非負(fù)例求證為正整數(shù)。證:設(shè)于是所以當(dāng)即即數(shù)列從某項(xiàng)以后為單調(diào)遞減.充分大時(shí)，又有下界，因此設(shè)其極限為對(duì)等式兩邊取極限得所以即收斂，故極限存在，例設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故在數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（子列）。例如數(shù)列中，第一個(gè)選取第二個(gè)選取第三個(gè)選取如此無休止地抽取下去，得到一個(gè)數(shù)列這個(gè)數(shù)列為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列。注意：子數(shù)列中的一般項(xiàng)是第k項(xiàng)，是原數(shù)列的第項(xiàng)。顯然而收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.說明:函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理.且(利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理(P27)及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證)設(shè)對(duì)任意的總有不等式且則（）D(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)一定不存在(D)不一定存在解:若和都存在，則由極限性質(zhì)和夾逼定理知一定存在若和不存在，例如則但不存在(09-10,二.2)例例

證明

證:當(dāng)由夾逼定理即所以

時(shí)的極限，可以限定由于討論的是時(shí)，圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有例

求解:例求解:令則因此原式說明:計(jì)算中注意利用例例例例求解:不存在。證:首先考慮取正整數(shù)值時(shí)，存在，即考慮數(shù)列的收斂性。由二項(xiàng)式公式同理,顯然為單調(diào)遞增的數(shù)列。又有上界。存在，記其值為即當(dāng)時(shí),設(shè)則當(dāng)則從而有故說明:此極限也可寫為時(shí),令例求解:令則說明

：若利用則原式兩個(gè)重要極限或注:代表相同的表達(dá)式例例例例例確定使解:例則解:(08-09,一.1)一般的對(duì)于形如的冪指函數(shù)，如果則例求解:原式=三、無窮小比較都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.定義.若則稱是比高階的無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱是比低階的無窮小;則稱是的同階無窮小;則稱是關(guān)于的k階無窮小;則稱是

的等價(jià)無窮小,記作例下面結(jié)論正確的是（）兩個(gè)無窮小量均可以比較階的大小(A)若(B)為無窮小量，則為無窮大量若(C)則一定比高階無窮小有界變量未必是無窮大量(D)(05-06,二(11))例如

,當(dāng)～時(shí)～～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且例當(dāng)時(shí)，是的無窮小解:同階(09-10,一(2))例

證明:當(dāng)時(shí),～證:～例求解:原式例求解:令則原式說明:由此可見當(dāng)時(shí),有常用的幾組等價(jià)關(guān)系～～定理證:即即例如,～～故定理設(shè)且存在,則證:例如,例如例如設(shè)對(duì)同一變化過程,,為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若=o(),(2)和差代替規(guī)則:例如,例如,(見下頁例子)

(3)因式代替規(guī)則:界,則例如,例求解:原式解:例求例若解:由題則的取值范圍為則即可(08-09,一(1))例證明:當(dāng)時(shí),證:利用和差代替與取大規(guī)則已知?jiǎng)t各式正確的是解:令則令則易證(06-07,一(3))例例求解:原式說明:若則有例已知當(dāng)是等價(jià)無窮小，求解:由題時(shí)，與內(nèi)容小結(jié)極限存在的準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則無窮小的比較設(shè),對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價(jià)無窮小是的k階無窮小等價(jià)無窮小替換定理常用等價(jià)無窮小作業(yè)

P50

16(2),17(2),18,

19,25(2),28(6)(11)(12)(13)(14),30,31(6)(8)

思考與練習(xí)填空題

(1～4)例已知圓內(nèi)接正n邊形面積為證明:證:例

證明:證:因此即有等價(jià)關(guān)系:說明:上述證明過程也給出了等價(jià)關(guān)系:2.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.3.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)

(P22)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有

例設(shè)若證:由得由于由于當(dāng)對(duì)一切自然數(shù)所以是單調(diào)減數(shù)列，收斂，則設(shè)單調(diào)減，收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則：時(shí)，于是當(dāng)于是取當(dāng)即有時(shí)，時(shí)，*********************收斂數(shù)