高等數(shù)學(xué)第十一章第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

第四節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)

第十一章解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.3.和函數(shù):(定義域是?)2.收斂點(diǎn)與收斂域:二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域是收斂區(qū)間與收斂端點(diǎn)的并集.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.證明由比值審斂法,定理證畢.例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域::解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槔⒃趦缂?jí)數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,說(shuō)明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立由有：?jiǎn)栴}的提出問(wèn)題:三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積以上結(jié)論可用部分和的極限證明.(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):（在其收斂域上連續(xù)）(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)由有：解兩邊積分得由冪函數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性可知,這個(gè)和函數(shù)s(x)在x=0處是連續(xù)的,事實(shí)上有解收斂區(qū)間(-1,1),四、小結(jié)2.冪級(jí)數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:思考題

冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是練習(xí)題練習(xí)題答案阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問(wèn)題,他還研究了更廣的一并稱(chēng)之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開(kāi)拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類(lèi)代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說(shuō):阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類(lèi)交換群,備用題

求極限其中解:

令作冪級(jí)數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為1,則常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)說(shuō)明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收