物理下-10 -3電場線和定理

ch10例4求一均勻帶正電直線，長為，帶電量為q，線外一點(diǎn)P到直線的垂直距離為a，P點(diǎn)與直線段兩端的連線與x軸正方向的夾角分別為1、2。試求在P點(diǎn)的電場。Pch10解：取P點(diǎn)到直線段的垂足O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系。在帶電直線段上，距原點(diǎn)O為x處取線元dx，其上帶電量為設(shè)dx到P點(diǎn)的距離為r，則電荷元dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為：P方向如圖，與y軸夾角ch10由圖中幾何關(guān)系可知P

在坐標(biāo)軸上的投影：ch10P點(diǎn)的電場強(qiáng)度:P方向?yàn)椋捍笮椋篶h10當(dāng)直線長度無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)當(dāng)方向垂直帶電導(dǎo)體向外；當(dāng)方向垂直帶電導(dǎo)體向里。討論P(yáng)為形象描述電場分布情況，用一些假想的有方向的曲線——電場線代表電場強(qiáng)度的大小和方向。一、電場線（electricfieldlines）1、規(guī)定:電場線：BA⑴曲線上任一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)的場強(qiáng)方向；⑵垂直通過某點(diǎn)單位面積上的電場線數(shù)目代表該點(diǎn)場強(qiáng)的大小。dS§10-3靜電場的高斯定理穿過面元dS的電場線數(shù)目dN電場線的疏密程度可形象反映電場中電場強(qiáng)度大小的分布。2.電力線形狀正電荷負(fù)電荷一對等量異號(hào)電荷的電力線一對等量正點(diǎn)電荷的電力線一對異號(hào)不等量點(diǎn)電荷的電力線帶電平行板電容器的電場+++++++++起自正電荷（或無限遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或無限遠(yuǎn)處），無電荷處不中斷。3、電場線的特征：電場線不能形成閉合曲線。任何兩條電場線不會(huì)相交。電場線不是客觀存在的物質(zhì)，只是描述電場的輔助工具。電場線不是正電荷在場中的運(yùn)動(dòng)軌跡。注意S1.定義電場中通過某一曲面（平面）的電場線條數(shù)稱通過該曲面（平面）的電場強(qiáng)度通量。2.單位：N·m2/C3.均勻電場中垂直通過平面S的電通量二、電場強(qiáng)度通量（電通量electricflux）θS4.均勻電場中斜通過平面S的電通量:5.非均勻電場通過任意曲面S的電通量:θSSθ引入面積矢量，大小為面積S，方向?yàn)檎ň€方向。6.曲面法向規(guī)定:⑴對于非封閉曲面，曲面的法向正向可取任意一側(cè)。⑵對于封閉曲面，自內(nèi)向外為正法向。當(dāng)電場線從曲面內(nèi)向外穿出是正值；當(dāng)電場線從曲面外向內(nèi)穿入是負(fù)值。電通量是標(biāo)量，但有正負(fù)。7.非均勻電場通過封閉曲面S的電通量:注意：電場線是連續(xù)的，通過封閉曲面S的電通量等于凈穿出該封閉曲面的電場線總條數(shù)。高斯+q三、靜電場的高斯定理(Gausstheorem)當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)可見，電通量與所選取球面半徑無關(guān)。由閉合面內(nèi)為點(diǎn)電荷系的情況：即使點(diǎn)電荷不在球面中的中心，即使球面畸變，這一結(jié)果仍是一樣的，這由圖也可看出。此時(shí)通過閉合面的電通量是：閉合面內(nèi)無電荷的情形：q1.當(dāng)點(diǎn)電荷在球心時(shí)2.任一閉合曲面S包圍該電荷3.閉合曲面S不包圍該電荷4.閉合曲面S包圍多個(gè)電荷q1～qk，同時(shí)面外也有多個(gè)電荷qk+1～

qn綜合以上討論，可得如下的結(jié)論：1.當(dāng)閉合曲面內(nèi)凈電荷為正時(shí),ΦE>0,表示有電場線從曲面內(nèi)穿出,正電荷稱為靜電場的源頭；2.當(dāng)閉合曲面內(nèi)凈電荷為負(fù)時(shí),ΦE<0,表示有電場線從曲面外穿進(jìn),負(fù)電荷稱為靜電場的尾閭，當(dāng)曲面內(nèi)無凈電荷時(shí),ΦE=0。故靜電場是有源場。說明：高斯定理:真空中任意靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，在數(shù)值上等于該閉合曲面內(nèi)包圍電量的代數(shù)和乘以。3.電通量只與閉合面內(nèi)電荷有關(guān)，而閉合面上任一點(diǎn)電場是面內(nèi)、面外所有電荷所激發(fā)的總電場。4.庫侖定律把場強(qiáng)和電荷直接聯(lián)系起來,在電荷分布已知的情況下由庫侖定律可以求出場強(qiáng)的分布。而高斯定律將場強(qiáng)的通量和某一區(qū)域內(nèi)的電荷聯(lián)系在一起，在電場分布已知的情況下，由高斯定律能夠求出任意區(qū)域內(nèi)的電荷。5.庫侖定律只適用于靜電場,而高斯定律不但適用于靜電場和靜止電荷,也適用于運(yùn)動(dòng)電荷和迅速變化的電磁場。四、高斯定理的應(yīng)用（求解電場強(qiáng)度）條件：電荷分布具有較高的空間對稱性1.分析帶電體的電荷分布和電場分布的特點(diǎn)，以便依據(jù)其對稱特點(diǎn)選取合適的閉合面（高斯面）。應(yīng)用高斯定律求解電場強(qiáng)度的一般步驟：2.閉合面（高斯面）選取類型：a.面上各點(diǎn)電場強(qiáng)度與面垂直，大小處處相等；b.面上一部分各點(diǎn)電場強(qiáng)度處處相等且與面垂直，另外部分電場強(qiáng)度與面處處平行。

常見的高對稱電荷分布有：（1）球?qū)ΨQ性：均勻帶電的球體、球面和點(diǎn)電荷。（2）軸對稱性：均勻帶電的無限長柱體、柱面和帶電直線。（3）平面對稱性：均勻帶電的無限大平板和平面。++++++++++++++++q例題1

求電荷呈球?qū)ΨQ分布時(shí)所激發(fā)的電場強(qiáng)度rR時(shí)，高斯面內(nèi)無電荷，解：高斯面電荷及場分布特點(diǎn):球?qū)ΨQ,設(shè)球半徑R,電荷量為q。高斯面:半徑為r的球面。由高斯定律:(1)電荷均勻分布在球面+++++++++++++++++++++r>R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球面上的全部電荷，與全部電荷都集中在球心的點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場完全相同。r0RE均勻帶電球面電場強(qiáng)度曲線如圖：++++++++++++++++q高斯面+++++++++++++++++++++++++++++++++++++qr>R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場與電荷均勻分布在球面上時(shí)球面外電場完全相同。高斯面+++++r<R時(shí)，設(shè)電荷體密度為（2）電荷分布在整個(gè)球體內(nèi)可見，球體內(nèi)場強(qiáng)隨r線性增加。均勻帶電球體電場強(qiáng)度曲線如圖。r0RE++++++++++++++++q高斯面+++++

由球體外應(yīng)用：鈾核可視為帶有92e的均勻帶電球體，半徑為7.4×10-15m，求其表面的電場強(qiáng)度。解：或球體內(nèi)EσE例題2

均勻帶電無限大平面的電場。電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。解：高斯面:作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。σESE圓柱形高斯面內(nèi)電荷由高斯定理得可見，無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場強(qiáng)度與離面的距離無關(guān)，即面的兩側(cè)形成勻強(qiáng)電場。矢量式為：σESE例題3

求電荷呈無限長圓柱形軸對稱均勻分布時(shí)所激發(fā)的電場。圓柱半徑為R，沿軸線方向單位長度帶電量為。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉合面，高為l，半徑為r。

電荷及場分布：軸對稱性，場方向沿徑向。由高斯定理知解：l（1）當(dāng)r<R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量為矢量式為lr（2）當(dāng)r>R時(shí)，均勻帶電圓柱面的電場分布E?r

關(guān)系曲線REr0矢量式為解：應(yīng)用：輸電線上均勻帶電，線電荷密度為4.2×10-9C/m，

求距電線0.50m處的電場強(qiáng)度。例題4

均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為R，在球內(nèi)挖去一個(gè)半徑為r（r