第4章 費(fèi)率厘定

4.1基本術(shù)語(yǔ)危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位(exposureunit)：風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量的基本單位，不同的險(xiǎn)種有不同的風(fēng)險(xiǎn)單位；承保（到期）危險(xiǎn)(writtenexposures)：指一定時(shí)期內(nèi)保險(xiǎn)人已經(jīng)簽訂了保險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)；承擔(dān)危險(xiǎn)(earnedexposures)：指各個(gè)相應(yīng)時(shí)間內(nèi)已經(jīng)承擔(dān)責(zé)任的危險(xiǎn)單位數(shù)量；有效危險(xiǎn)(in-forceexposures)：指在一個(gè)給定的時(shí)刻危險(xiǎn)單位數(shù)量。索賠索賠(Claim)：是指保險(xiǎn)事故發(fā)生后，索賠人(claimant)根據(jù)保險(xiǎn)合同的條款提出的賠付要求。事故日期(Accidentdate)：引起索賠的事故發(fā)生日期。報(bào)告日期(reportdate)：保險(xiǎn)人收到索賠通知的日期。報(bào)告延遲(reportinglag)：從發(fā)生到發(fā)現(xiàn)并報(bào)告所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。理算延遲(settlementlag)：在非壽險(xiǎn)事故報(bào)告后，往往不能立即認(rèn)定責(zé)任達(dá)成賠付協(xié)議，期間所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。結(jié)案延遲：對(duì)一次性賠付的案件來(lái)說(shuō)，理算完畢即可結(jié)案。對(duì)多次定期賠付的案件來(lái)說(shuō)，理算完畢和結(jié)案之間的延遲會(huì)很長(zhǎng)。索賠頻率索賠頻率(frequency)：F為索賠頻率；C為索賠總次數(shù)；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)2001年有5,750個(gè)車(chē)年的承擔(dān)危險(xiǎn)，并且有287個(gè)事故日期在2001年的索賠，那么索賠頻率為多少？損失和損失調(diào)整費(fèi)用損失(losses)：已付和應(yīng)付給索賠人的數(shù)額。已付損失(paidlosses)：在一個(gè)特定時(shí)期實(shí)際已經(jīng)支付給索賠人的損失。個(gè)案準(zhǔn)備金(casereserve)：對(duì)每一個(gè)在預(yù)期的未來(lái)將有支付發(fā)生情形的索賠，未來(lái)支付數(shù)額的估計(jì)。已發(fā)生損失(case-incurredlosses)：某個(gè)事故年(accidentyear)所有已付損失和個(gè)案準(zhǔn)備金的總和。最終損失(ultimateincurredlosses)：包括在計(jì)算已發(fā)生損失時(shí)還沒(méi)有報(bào)告到保險(xiǎn)公司的損失。事故年年齡(accidentyearage)：事故年年齡一般以月為單位。按慣例，到某事故年的最后一天,該事故年具有12個(gè)月的年齡。如在6/1/2001對(duì)事故年2000年已發(fā)生損失的評(píng)估被稱(chēng)為事故年2000年已發(fā)生損失在年齡18個(gè)月時(shí)的評(píng)估。損失調(diào)整費(fèi)用(lossadjustmentexpense)分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(allocatedlossadjustmentexpense)：與索賠直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。非分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(unallocatedlossadjustmentexpense)：與索賠不直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。索賠強(qiáng)度：每個(gè)索賠的平均損失S為索賠強(qiáng)度；L為損失；C為索賠總次數(shù)。純保費(fèi)(purepremium)：每危險(xiǎn)單位的平均損失P為純保費(fèi)；L為損失；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)。純保費(fèi)也可以表示為每危險(xiǎn)單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積：費(fèi)率厘定的數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱(chēng)為發(fā)生年度數(shù)據(jù)。報(bào)告由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。例：發(fā)生年度數(shù)據(jù)發(fā)生年進(jìn)展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,445$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,765

19962,743,6574,051,9504,593,4724,797,194

19973,130,2624,589,4305,230,437

19983,625,4185,380,617

19993,919,522

保單年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱(chēng)為保單年度數(shù)據(jù)。

例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設(shè)所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)生日期中點(diǎn)是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點(diǎn)）

保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。

費(fèi)用、利潤(rùn)與安全負(fù)荷厘定費(fèi)率需要考慮的因素：純保費(fèi)(purepremium)可變費(fèi)用(variableexpenses)：隨保單價(jià)格的變化而變化的費(fèi)用。固定費(fèi)用(fixedexpenses)：和保單的價(jià)格無(wú)關(guān)的費(fèi)用。利潤(rùn)為什么保費(fèi)大于純保費(fèi)對(duì)于保險(xiǎn)人從風(fēng)險(xiǎn)理論中可以知道,保費(fèi)大于純保費(fèi)使保險(xiǎn)人不至于破產(chǎn)。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公式的營(yíng)業(yè)費(fèi)用和合理的利潤(rùn)都要在收取的保費(fèi)中加以考慮。對(duì)于投保人－效用角度假定某投保人擁有價(jià)值為100單位的財(cái)產(chǎn)，但這筆財(cái)產(chǎn)將面臨某種損失，這一風(fēng)險(xiǎn)被表示為隨機(jī)變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機(jī)變量。假設(shè)此人的效用函數(shù)為其中X是他的財(cái)富。問(wèn)他應(yīng)付出多大一筆保費(fèi)G去全額投保這筆財(cái)產(chǎn)？解答：由隨機(jī)損失的概率密度函數(shù)得到。保險(xiǎn)人將收取大于18的保費(fèi)如果投保人購(gòu)買(mǎi)了保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是確定的，即100－G，效用為。如果他不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是隨機(jī)變量100－Y，那么他剩余財(cái)富的期望效用可以計(jì)算如下解答（續(xù)）投保人愿意支付的保費(fèi)G應(yīng)該使得不管他購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)與否其剩余財(cái)富的期望效用值相等。因此，我們通過(guò)解得到G＝18.33。投保人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)最高愿意支付18.33，這超過(guò)了他的期望損失18。如果保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)小于18.33。這個(gè)投保人就會(huì)購(gòu)買(mǎi)該保險(xiǎn)。費(fèi)率厘定每個(gè)危險(xiǎn)單位的費(fèi)率:R為每危險(xiǎn)單位的費(fèi)率；P為純保費(fèi)；F為每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用；V為可變費(fèi)用因子；Q為利潤(rùn)因子。因此有：RV為可變費(fèi)用；RQ為利潤(rùn)。假設(shè)：純保費(fèi)為75.00，每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用因子為17.5%，利潤(rùn)因子為5.00%，則費(fèi)率為該費(fèi)率的各個(gè)組成部分如下：純保費(fèi)為75.00，固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用為19.76，利潤(rùn)為5.64，總計(jì)為112.90保費(fèi)(premium)上面的例子中，假設(shè)危險(xiǎn)單位是一輛保險(xiǎn)期為1年的商用汽車(chē)。如果某份保單有15輛商用汽車(chē)，則其保費(fèi)為：112.90×15=1693.50承保保費(fèi)(writtenpremium)、承擔(dān)保費(fèi)(earnedpremium)和有效保費(fèi)(in-forcepremium)。如果上面所討論的保單是從7/1/2000開(kāi)始，承保時(shí)間為12個(gè)月，那么到12/31/2000為止，這份保單的上述幾種保費(fèi)如下所示：

2000日歷年承保保費(fèi)1693.502000日歷年承擔(dān)保費(fèi)846.7512/31/2000有效保費(fèi)1693.50損失率（賠付率）損失率(lossratio)是在保險(xiǎn)損失分析中最廣泛使用統(tǒng)計(jì)量中的一個(gè)。它等于損失除以保費(fèi)。損失率可以基于純損失而不包括各種損失調(diào)整費(fèi)用，也可包括分?jǐn)偟幕蚩偟膿p失調(diào)整費(fèi)用。損失可以是已付的，已發(fā)生的，或者預(yù)測(cè)的最終損失。保費(fèi)可以是承?；虺袚?dān)保費(fèi)。費(fèi)率厘定的目標(biāo)供足夠的資金去支付預(yù)期的損失和費(fèi)用，并且能給投資者產(chǎn)生一個(gè)合理的回報(bào)提供足夠的準(zhǔn)備金，以應(yīng)付突發(fā)事件和不利的偏差。費(fèi)率一般要經(jīng)過(guò)監(jiān)管機(jī)構(gòu)的審核。審核通常是基于這樣一個(gè)監(jiān)管標(biāo)準(zhǔn)，即類(lèi)型和特性相似的風(fēng)險(xiǎn)，他們之間的費(fèi)率不應(yīng)該有不適當(dāng)，過(guò)分，或不公平的差別。費(fèi)率厘定系統(tǒng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)(ratingplan)：在為某個(gè)危險(xiǎn)單位厘定費(fèi)率時(shí)，綜合所考慮的各種因素而形成的結(jié)構(gòu)。其中的各個(gè)因素通常稱(chēng)為費(fèi)率因子(ratingfactor)。沒(méi)有被考慮對(duì)損失有影響的費(fèi)率因子將導(dǎo)致的兩種不同情況：當(dāng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)沒(méi)有考慮某個(gè)含有傾向于減少損失趨勢(shì)有利特征的費(fèi)率因子，厘定的費(fèi)率太高了。如果沒(méi)有考慮某個(gè)含有不利特征的費(fèi)率因子，將導(dǎo)致使用過(guò)低的費(fèi)率。費(fèi)率因子的風(fēng)險(xiǎn)特征：主要影響索賠頻率的特征和主要影響索賠強(qiáng)度的特征。4.2費(fèi)率厘定過(guò)程費(fèi)率厘定所根據(jù)的保費(fèi)計(jì)算原理有許多。這里的方法是基于期望值原理的費(fèi)率厘定的兩個(gè)基本的方法：（1）純保費(fèi)法（2）損失率法（1）純保費(fèi)法純保費(fèi)法確定的費(fèi)率預(yù)期能夠滿(mǎn)足期望損失與費(fèi)用的需要，并提供預(yù)期的利潤(rùn)水平。，這里的損失L除了保險(xiǎn)公司已付和應(yīng)付給索賠人的損失外，還要加上損失調(diào)整費(fèi)用。(2)損失率法損失率法來(lái)源于純保費(fèi)法,純保費(fèi)法厘定費(fèi)率為EF剛好是在經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用,記G=EF/L,它表示經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用與損失之比。令R0為當(dāng)前費(fèi)率，則ER0是經(jīng)驗(yàn)期里總的承擔(dān)保費(fèi),則令：經(jīng)驗(yàn)損失率。目標(biāo)損失率：公司希望得到的目標(biāo)保費(fèi)損失損失率法由下面的公式厘定費(fèi)率：：調(diào)整因子，經(jīng)驗(yàn)損失率/目標(biāo)損失率損失率法直接來(lái)源于純保費(fèi)法，它們只是表現(xiàn)的形式不同。損失率方法得到的公式實(shí)際上給出了一個(gè)逐步改進(jìn)的費(fèi)率估計(jì)公式。（3）如何選擇合適的方法純保費(fèi)法是建立在每個(gè)危險(xiǎn)單位的損失基礎(chǔ)上的，它需要嚴(yán)格定義的危險(xiǎn)單位。若危險(xiǎn)單位不知道或各危險(xiǎn)單位間有差異，比如在火災(zāi)險(xiǎn)的情形，則純保費(fèi)法不適用。因?yàn)閾p失率法得到的是當(dāng)前費(fèi)率的變化，所以它需要當(dāng)前的費(fèi)率和保費(fèi)的歷史記錄。而新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定，我們只能利用相關(guān)公司或相關(guān)險(xiǎn)種的損失數(shù)據(jù)，沒(méi)有歷史記錄，那么只能使用純保費(fèi)法。損失率法不適用于新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定。當(dāng)然，如果沒(méi)有任何的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可用，則這兩種方法都不適用。損失率法需要的是當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，所以在當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)難以計(jì)算時(shí)，純保費(fèi)法更為適用。在某些險(xiǎn)種中，對(duì)保單需要進(jìn)行個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)率調(diào)整，此時(shí)就很難確定損失率法中需要的當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，在這種情況下若采用純保費(fèi)法更為合適。關(guān)于歷史數(shù)據(jù)中的不同費(fèi)率調(diào)整到一個(gè)統(tǒng)一費(fèi)率的問(wèn)題，下面會(huì)專(zhuān)門(mén)論述。注意事項(xiàng)（1）經(jīng)驗(yàn)期的選擇使用可以獲得的最近期的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而同時(shí)這樣的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)很可能比成熟期（指具有較多的已經(jīng)結(jié)案的保單的經(jīng)驗(yàn)期）包含了更高比例的未付損失，因此更有可能會(huì)在對(duì)損失進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)帶來(lái)誤差。當(dāng)所涉及的業(yè)務(wù)會(huì)有災(zāi)害性的損失時(shí)，比如在易出現(xiàn)龍卷風(fēng)地區(qū)的風(fēng)暴險(xiǎn)項(xiàng)目，經(jīng)驗(yàn)期必須足夠長(zhǎng)，以致于能代表災(zāi)害的平均發(fā)生率。經(jīng)驗(yàn)期必須包含足夠的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)以使最后的結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)的可信性。（2）再保險(xiǎn)的影響費(fèi)率的分析要基于再保險(xiǎn)之前的保費(fèi)和損失數(shù)據(jù)。當(dāng)再保險(xiǎn)的成本很大時(shí)，再保險(xiǎn)費(fèi)經(jīng)常作為費(fèi)用準(zhǔn)備的一個(gè)獨(dú)立的部分。（3）保險(xiǎn)項(xiàng)目的差異一個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中各個(gè)主要的保險(xiǎn)項(xiàng)目應(yīng)該分別處理。不僅各項(xiàng)目的經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)要分開(kāi)考察，而且保費(fèi)和危險(xiǎn)單位數(shù)據(jù)也要分離。（4）提高限額時(shí)的處理方法限額(Limit)：當(dāng)索賠發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司的賠付不超過(guò)限額。保險(xiǎn)公司的賠付為Min(X,u)，費(fèi)率為E[Min(X,u)]。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公司通常會(huì)對(duì)同樣的標(biāo)的提供不同的限額，供投保人選擇。最低的限額叫基本限額(BasicLimit)，其他限額叫提高限額(IncreasedLimit)。責(zé)任險(xiǎn)費(fèi)率的厘定首先確定基本責(zé)任限額的費(fèi)率，然后厘定出提高限額因子。更高的限額的費(fèi)率等于基本限額費(fèi)率乘以提高限額因子(IncreasedLimitFactor)。例如，某保險(xiǎn)公司提供兩種限額，u1和u2，u1<u2，u1稱(chēng)為基本限額，而u2稱(chēng)為提高限額，基本責(zé)任限額的費(fèi)率為E[Min(X,u1)]，而提高限額的費(fèi)率為E[Min(X,u2)]。若記提高限額因子為IFL，則有所以，若基礎(chǔ)限額的費(fèi)率為R1，則提高限額的費(fèi)率為R2=R1×IFL。這些提高限額因子會(huì)隨時(shí)間變化。另外，當(dāng)通貨膨脹影響購(gòu)買(mǎi)力時(shí)，投保人一般會(huì)傾向于購(gòu)買(mǎi)有更高限額的保險(xiǎn)產(chǎn)品。在費(fèi)率厘定過(guò)程中，應(yīng)該將不同限額下的保費(fèi)和損失調(diào)整到基本限額的基礎(chǔ)上。(5)均衡保費(fèi)均衡保費(fèi)(On-levelPremium)：根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率水平算得的保費(fèi)稱(chēng)為均衡保費(fèi)。危險(xiǎn)擴(kuò)展法（ExtensionofExposureTechnique）：如果時(shí)間和能力上允許，我們可以對(duì)每份保單都使用當(dāng)前費(fèi)率重新計(jì)算。(5)均衡保費(fèi)平行四邊形法：假定危險(xiǎn)單位在經(jīng)驗(yàn)期內(nèi)均勻分布。假設(shè)考察的損失經(jīng)驗(yàn)期包括2000年、2001年、2002年，并假定各個(gè)保單的保險(xiǎn)期限為12個(gè)月，最后設(shè)費(fèi)率增長(zhǎng)情況如下：經(jīng)驗(yàn)期的第一年（2000）的承擔(dān)危險(xiǎn)：有1997/7/1費(fèi)率水平上承保的，有的是1999/7/1費(fèi)率水平上承保的。若假設(shè)7/1/1997費(fèi)率水平相對(duì)值為1.000，則7/1/1999費(fèi)率水平相對(duì)值是1.125，7/1/2001費(fèi)率水平的相對(duì)值為1.1251.100=1.2375。圖4.2.1提供了一種平行四邊形法下的數(shù)據(jù)表示。X—軸代表保單生效日，Y—軸表示承擔(dān)危險(xiǎn)比例。圖4.2.1圖4.2.2：對(duì)2000年的承擔(dān)危險(xiǎn)進(jìn)行這種處理的結(jié)果。圖4.2.22000年中分別在1.000和1.125相對(duì)水平上承保的承擔(dān)危險(xiǎn)的比例，如圖4.2.3所示。圖4.2.3根據(jù)平行四邊形模型，2000的承擔(dān)危險(xiǎn)中的0.125（=0.5×0.5/2，即圖4.2.3中A的面積）是在1/1/1999和7/1/1999之間承保的。它們的相對(duì)費(fèi)率水平是1.000。而承擔(dān)危險(xiǎn)中的0.875(=1-0.125，即圖4.2.3中B的面積)是在1.125的相對(duì)費(fèi)率水平上承保的。2000年相對(duì)費(fèi)率的平均水平為:（0.1251.000）+（0.8751.125）=1.1094。等費(fèi)率因子（均衡保費(fèi)因子，On-levelfactor）：1.2375/1.1094=1.1155對(duì)2001年和2002年重復(fù)上述方法計(jì)算，可得如下結(jié)果：各年的等費(fèi)率因子分別乘以各日歷年的承擔(dān)保費(fèi)就可近似得到當(dāng)前等費(fèi)率承擔(dān)保費(fèi)，即均衡保費(fèi)4.3最終損失的預(yù)測(cè)及其趨勢(shì)分析4.3.1最終損失(L)的預(yù)測(cè)—損失進(jìn)展法損失進(jìn)展法：假設(shè)賠案發(fā)生之后，索賠以某種模式經(jīng)歷“未報(bào)告已報(bào)告未賠付賠付完畢”這一過(guò)程，并且這樣的模式是平穩(wěn)的,和賠案何時(shí)發(fā)生沒(méi)有關(guān)系。流量三角形：將觀測(cè)數(shù)據(jù)中的索賠次數(shù)或索賠損失都分別按事故年（或報(bào)告年，或其他原則）與事故年年齡（進(jìn)展年）排列。損失進(jìn)展的預(yù)測(cè)－流量三角形法步驟：（1）建立流量三角形；（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子；（3）選定相鄰年的進(jìn)展因子；（4）將各發(fā)生年的選定進(jìn)展因子連乘得到最終進(jìn)展因子;（5）將最終進(jìn)展因子乘以最近一個(gè)評(píng)價(jià)日記錄已發(fā)生的賠款可得到各發(fā)生年的最終索賠預(yù)測(cè)值。

（1）建立流量三角形表4.3.1流量三角形橫向運(yùn)動(dòng)：表示同一個(gè)事故年發(fā)生的賠案已報(bào)告索賠次數(shù)的進(jìn)展情況。流量三角形縱向運(yùn)動(dòng)：代表同一個(gè)事故年年齡的已報(bào)告索賠次數(shù)的變化情況。由左下至右上的對(duì)角線則代表了同一個(gè)會(huì)計(jì)年度末的記錄。最下面的對(duì)角線代表最近一個(gè)會(huì)計(jì)年度末，即12/31/2002各個(gè)事故年的累積索賠次數(shù)的情況。12/31/2002各個(gè)事故年的累積索賠次數(shù)索賠次數(shù)流量三角形的一般形式：下表（表4.3.2）的事故年年齡以12個(gè)月，即以年為單位。Ni,j：發(fā)生在第i個(gè)事故年的賠案，事故年年齡j年底（即在第i+j–1年年底）累積已報(bào)告的索賠次數(shù)。最終損失的預(yù)測(cè)：填滿(mǎn)表4.3.2的右下角的空白部分令nij表示發(fā)生在第i個(gè)事故年的賠案，事故年年齡j年間（即在第i+j–1年間）已報(bào)告的索賠次數(shù)，則有假設(shè)可以分離事故年以及事故年年齡對(duì)nij的影響，存在αi和βj，使得nij的均值為：E(nij)=αiβj。假設(shè)nij~Poisson(αiβj)，則從而有：流量三角形橫向自左向右每一步增加的比例，都僅和事故年年齡j有關(guān)，而和賠案發(fā)生在哪一年沒(méi)有關(guān)系，即與事故年i沒(méi)有關(guān)系。模式是平穩(wěn)的：流量三角形橫向自左向右增加的比例和賠案在哪一年發(fā)生沒(méi)有關(guān)系。記為相鄰年齡（j—（j+1））進(jìn)展因子：在時(shí)，我們有如果所有的進(jìn)展因子都被估計(jì)出來(lái)了，其估計(jì)分別為（），則我們?nèi)∥磥?lái)的索賠次數(shù),的估計(jì)為相鄰進(jìn)展因子的估計(jì)：極大似然估計(jì)法似然函數(shù)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)：對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：似然方程組：該似然方程組共有2k個(gè)方程，它們分別為求解上述方程組，得相鄰年(j—(j+1))的進(jìn)展因子的估計(jì)為*事故年年齡j+1列前k-j個(gè)數(shù)的和除以事故年年齡j+1列前k-j個(gè)數(shù)的和。（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子

接表4.3.1為例：將表4.3.1自第2列起的每一個(gè)數(shù)分別除以同一個(gè)事故年的前一個(gè)數(shù)。得到的比值稱(chēng)為同一個(gè)事故年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子。（3）預(yù)測(cè)最終損失（索賠數(shù)）的值

最終年齡的進(jìn)展因子的估計(jì)值：將相鄰年齡進(jìn)展因子的估計(jì)值連乘例如，年齡（2—6）進(jìn)展因子的估計(jì)值為1.0979=1.0544×1.0413×1×1（3）預(yù)測(cè)最終損失（索賠數(shù)）的值

最終損失（索賠）的預(yù)測(cè)值表4.3.34.3.2趨勢(shì)的識(shí)別新費(fèi)率將什么時(shí)候開(kāi)始實(shí)施？該費(fèi)率預(yù)計(jì)將應(yīng)用多長(zhǎng)時(shí)間？在新費(fèi)率實(shí)施之和，預(yù)計(jì)從何時(shí)開(kāi)始將發(fā)生索賠？索賠經(jīng)驗(yàn)中是否存在一定趨勢(shì)？4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別表4.3.3最終索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)值分別表示在1997、1998，…，2002年發(fā)生的損失。各事故年的索賠頻率預(yù)測(cè)值=最終索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)值/各年的承保危險(xiǎn)索賠強(qiáng)度=損失/最終索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)值如果這些預(yù)測(cè)值具有隨時(shí)間（事故年）發(fā)展的趨勢(shì)，那么根據(jù)此潛在的趨勢(shì)可以預(yù)測(cè)未來(lái)事故年的損失。——有助于新費(fèi)率的厘定。4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別分析基于2000事故年的損失數(shù)據(jù)新的費(fèi)率在1/7/2003開(kāi)始使用，假定新費(fèi)率有效期為12個(gè)月（1/7/2003——6/30/2004），并且假定保險(xiǎn)期限為一年。新費(fèi)率保單的平均有效期從1/1/2004（1/7/2003承保的保單）到12/31/2004（31/6/2004承保的保單）。則新費(fèi)率保單損失發(fā)生的中點(diǎn)是1/7/2004?；?000事故年數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最終損失僅代表了大約到1/7/2000（事故年中點(diǎn)）為止的損失，而根據(jù)新費(fèi)率收的保費(fèi)必須覆蓋大約到1/7/2004為止的損失。如果損失數(shù)據(jù)有可識(shí)別的趨勢(shì)，則那些趨勢(shì)的影響一定會(huì)在從1/7/2000到1/7/2004的48個(gè)月中被反映出來(lái)。4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別1/1/200031/12/20001/7/2003新費(fèi)率生效30/6/2004經(jīng)驗(yàn)期31/6/20051/1/200412/31/2004經(jīng)驗(yàn)期計(jì)算日期新費(fèi)率生效日期期望有效期4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別索賠強(qiáng)度的趨勢(shì)變化顯著影響費(fèi)率厘定：索賠強(qiáng)度會(huì)隨時(shí)間而增加（通貨膨脹、訴訟費(fèi)的增加以及醫(yī)療費(fèi)用的上漲等）。索賠頻率也會(huì)具有某種趨勢(shì)。索賠頻率和索賠強(qiáng)度的趨勢(shì)常是分開(kāi)分析的，但有時(shí)也寧可考察純保費(fèi)的變化趨勢(shì),即將索賠頻率與索賠強(qiáng)度的影響結(jié)合起來(lái)考慮。例：考察下面事故年索賠強(qiáng)度的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)：

其中x＝發(fā)生年－1994用下面曲線去擬合4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別延長(zhǎng)x軸發(fā)現(xiàn)，盡管此三次多項(xiàng)式對(duì)觀察數(shù)據(jù)擬合得非常好，但它并不是預(yù)測(cè)索賠強(qiáng)度趨勢(shì)變化的合理的模型。4.3.2趨勢(shì)的識(shí)別常用的兩種模型：線性模型：指數(shù)模型：由于指數(shù)模型能表示成：故作變換和，從而得：幾點(diǎn)注意索賠頻率和索賠強(qiáng)度的趨勢(shì)常是分開(kāi)分析。模型的選擇對(duì)線性模型來(lái)說(shuō)，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測(cè)值y將增加一個(gè)常量a。對(duì)指數(shù)模型來(lái)說(shuō)，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測(cè)值y將增加一個(gè)常數(shù)倍，預(yù)測(cè)值是它前面的一個(gè)預(yù)測(cè)值的ea－1倍。我們所預(yù)測(cè)的趨勢(shì)化的最終索賠強(qiáng)度就是損失率法和純保費(fèi)法中經(jīng)驗(yàn)損失。例：假設(shè)已知發(fā)生年1994－1999年的最終賠款損失、最終索賠數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，如表3。假設(shè)新修訂的保單費(fèi)率將從2000年1月1日開(kāi)始施行。請(qǐng)用趨勢(shì)預(yù)測(cè)事故平均發(fā)生日期為2001年7月1日的最終賠款損失。發(fā)生年最終賠款損失最終索賠數(shù)承保風(fēng)險(xiǎn)單位19943,928,8052,41637,84619954,425,5402,55239,77119965,081,6682,64642,13519975,790,0942,84445,23119986,760,2073,06848,58319997,288,3513,06652,267首先我們對(duì)索賠強(qiáng)度進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)。采用一元線性回歸方程，x＝發(fā)生年－1993進(jìn)行擬合，應(yīng)用最小二乘法得到

a＝1455.13，b＝150.77，從而得到各發(fā)生年的索賠強(qiáng)度的線性擬合值如下。發(fā)生年索賠強(qiáng)度索賠強(qiáng)度的線性擬合值19941,6261,605.9019951,7341,756.6819961,9211,907.4519972,0362,058.2219982,2032,208.9919992,3772,359.76表4對(duì)此回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的值829.26，大于1％的顯著水平，說(shuō)明方程整體顯著。再將1999年的擬合值2359.91除以1998年的擬合值2209.1得到索賠強(qiáng)度的趨勢(shì)因子為1.0683。

類(lèi)似的，使用模型，x＝發(fā)生年－1993對(duì)索賠頻率進(jìn)行擬合得到索賠頻率的趨勢(shì)因子等于0.0605÷0.0613＝0.9869.將索賠強(qiáng)度和索賠頻率的趨勢(shì)因子相乘就得到相鄰發(fā)生年的最終損失的趨勢(shì)因子，表5給出了2001年最終損失的趨勢(shì)化預(yù)測(cè)值。

發(fā)生年最終損失（元）平均事故日期索賠強(qiáng)度趨勢(shì)因子索賠頻率趨勢(shì)因子2001年的趨勢(shì)化最終損失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.21920.96067,917,30819997,288,3517/1/991.14130.97358,097,763例如，如果用1997年的最終損失預(yù)測(cè)得到2001年趨勢(shì)化最終損失等于最后將1997、1998、1999年計(jì)算得到的預(yù)測(cè)值取平均即得2001年的趨勢(shì)化最終損失的預(yù)測(cè)值。

4.4費(fèi)用分析假設(shè)在過(guò)去一年里，某個(gè)險(xiǎn)種的收入和支出的費(fèi)用如下——損失率法當(dāng)前正在使用的費(fèi)率是否合適？目標(biāo)損失率：T=(1-V-Q)/(1+G)V：與保費(fèi)相關(guān)的費(fèi)用因子V的計(jì)算方法：傭金與承保保費(fèi)的比1731/11540=0.1500稅收、執(zhí)照費(fèi)用與承保保費(fèi)的比260/11540=0.0225其他承保費(fèi)用與承保保費(fèi)的之比646/11540=0.0560一般管理費(fèi)用承擔(dān)保費(fèi)的之比737/10832=0.0680與保費(fèi)有關(guān)的費(fèi)用因子合計(jì)V=0.2965G：與保費(fèi)無(wú)關(guān)的費(fèi)用與損失之比G=484/7538=0.0624Q：利潤(rùn)因子,利潤(rùn)因子為0目標(biāo)損失率為：4.5利潤(rùn)與安全附加保險(xiǎn)利潤(rùn)的來(lái)源：保險(xiǎn)利潤(rùn)來(lái)源于承保利潤(rùn)和投資利潤(rùn)。費(fèi)率中的利潤(rùn)分析：宏觀環(huán)境的變化，保險(xiǎn)公司比以往更加重視從財(cái)務(wù)分析其經(jīng)營(yíng)決策，從而下調(diào)了傳統(tǒng)的5%的利潤(rùn)因子。風(fēng)險(xiǎn)因素:利潤(rùn)因子中的一部分是用來(lái)為不利偏差做準(zhǔn)備的，稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)附加。在費(fèi)率厘定的過(guò)程中有兩個(gè)不同類(lèi)型的風(fēng)險(xiǎn)，被稱(chēng)為參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)和過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)。他們都可能產(chǎn)生不利偏差。參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)是與參數(shù)的選擇相聯(lián)系的風(fēng)險(xiǎn),這些參數(shù)用來(lái)構(gòu)成費(fèi)率厘定過(guò)程中使用的模型。過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)是與對(duì)未來(lái)的隨機(jī)事件，例如損失的預(yù)測(cè)相聯(lián)系的風(fēng)險(xiǎn)。過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在著的。保費(fèi)計(jì)算原理期望值原理方差原理

標(biāo)準(zhǔn)差原理

零效用原理R為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金P為承保隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)S所要求的保費(fèi)。U(.)為保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)4.6分類(lèi)費(fèi)率在為某個(gè)危險(xiǎn)單位厘定費(fèi)率時(shí)，我們必須考慮各種因素，甚至考慮該危險(xiǎn)單位所在的區(qū)域位置。不同水平的因素和不同的地域位置，通常有不同的費(fèi)率水平，這種情況稱(chēng)為費(fèi)率分類(lèi)。本節(jié)將說(shuō)明費(fèi)率中的兩個(gè)基本問(wèn)題，基礎(chǔ)費(fèi)率問(wèn)題和其它類(lèi)別的費(fèi)率關(guān)于基礎(chǔ)費(fèi)率的相對(duì)程度的度量問(wèn)題。4.6分類(lèi)費(fèi)率費(fèi)率因子(ratingfactor)：對(duì)個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分類(lèi)的特征。如汽車(chē)保險(xiǎn)中被保險(xiǎn)人的性別、年齡、駕齡和索賠經(jīng)驗(yàn)等。風(fēng)險(xiǎn)因子(riskfactor)：對(duì)索賠頻率或索賠強(qiáng)度有直接影響，但有時(shí)不易度量，通常用費(fèi)率因子代替。如交通密度，可用保單持有人的地址或汽車(chē)的用途來(lái)代替。在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)體系中，各個(gè)類(lèi)別的費(fèi)率通常被表示為相對(duì)關(guān)系的形式，包括相加關(guān)系（假設(shè)基礎(chǔ)類(lèi)別費(fèi)率為0）和相乘關(guān)系（假設(shè)基礎(chǔ)類(lèi)別費(fèi)率為1）。4.6分類(lèi)費(fèi)率假設(shè)只有兩個(gè)費(fèi)率因子（AandB)，其中A有I個(gè)水平Ai(i=1,….,I),其對(duì)應(yīng)的相對(duì)費(fèi)率為；費(fèi)率因子B有J個(gè)水平Bj(j=1,….,J)，其對(duì)應(yīng)的相對(duì)費(fèi)率分別表示為。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別，用表示該類(lèi)別的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，用表示每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的損失，用表示每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的純保費(fèi)（期望損失），則乘法模型：加法模型：估計(jì)上述參數(shù)的方法：?jiǎn)雾?xiàng)分類(lèi)法、迭代法、廣義線性模型。4.6.1單項(xiàng)分析法單項(xiàng)分析法(one-wayanalysis)：每次僅計(jì)算一個(gè)分類(lèi)變量的不同水平所對(duì)應(yīng)的相對(duì)費(fèi)率。假設(shè)一組汽車(chē)保單根據(jù)車(chē)型和地區(qū)兩個(gè)變量進(jìn)行分類(lèi)，每個(gè)類(lèi)別的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)和賠付率如表6-1。表6-1應(yīng)用單項(xiàng)分類(lèi)法計(jì)算的相對(duì)費(fèi)率分析：地區(qū)相對(duì)賠付率，以地區(qū)A為基礎(chǔ)費(fèi)率，則地區(qū)B的相對(duì)賠付率。車(chē)型相對(duì)賠付率，以車(chē)型1為基礎(chǔ)費(fèi)率，則車(chē)型2的相對(duì)賠付率為。表6-2單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用1、賠付率法例1：假設(shè)汽車(chē)保險(xiǎn)中使用兩個(gè)分類(lèi)變量，即車(chē)型和地區(qū)，其中車(chē)型分為A,B和C三個(gè)水平，地區(qū)分為甲和乙兩個(gè)水平。根據(jù)車(chē)型進(jìn)行分析：可獲得數(shù)據(jù)為過(guò)去兩年的已賺保費(fèi)和最終賠款。有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表6-3.表6-3車(chē)型的相對(duì)費(fèi)率單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用（1）對(duì)過(guò)去兩年的已賺保費(fèi)按當(dāng)前費(fèi)率水平進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)（表6-3的（7））和經(jīng)驗(yàn)賠付率（表6-3的（10））（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)賠付率計(jì)算初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)，等于各車(chē)型的經(jīng)驗(yàn)賠付率除以所有車(chē)型平均的經(jīng)驗(yàn)賠付率。（3）計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度（平方根原則計(jì)算，表6-3的（12）），并應(yīng)用可信度對(duì)上述的調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正（表6-3的（13）），例:對(duì)于車(chē)型B，初步調(diào)整系數(shù)表面費(fèi)率應(yīng)提高2.93%，但可信度為0.2171，因此經(jīng)可信度修正后的提高幅度為0.2171*0.0293=0.64%，即可信度調(diào)整系數(shù)應(yīng)為1.0064.單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用（4）對(duì)可信調(diào)整系數(shù)進(jìn)行平衡處理，以保證當(dāng)前費(fèi)率總水平保持不變（表6-3的（15）行）。（5）用平衡處理以后的可信調(diào)整系數(shù)乘以當(dāng)前的相對(duì)費(fèi)率（（16）行），再把車(chē)型A的相對(duì)費(fèi)率調(diào)整為1，即可得到新的相對(duì)費(fèi)率（（18）行）。同理，可以根據(jù)地區(qū)對(duì)該例進(jìn)行分析，參加表6-4.經(jīng)過(guò)調(diào)整后，各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別的相對(duì)費(fèi)率為表6-5：獲得調(diào)整以后的相對(duì)費(fèi)率后，即可計(jì)算各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別的實(shí)際費(fèi)率。例：如需將總平均保費(fèi)水平上調(diào)5%，首先應(yīng)用調(diào)整后的相對(duì)費(fèi)率（表6-3，6-4中第（17）行）把基礎(chǔ)類(lèi)別的費(fèi)率從當(dāng)前的130調(diào)整為130*0.9984*1.038=134.7241，然后再上調(diào)5%為：134.7241*1.05=141.4603.其它類(lèi)別的新費(fèi)率可根據(jù)表6-5得到，如車(chē)型A在乙地區(qū)的費(fèi)率為141.4603*1.0093=142.7759.單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用表6-5單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用賠付率的應(yīng)用步驟：預(yù)測(cè)經(jīng)驗(yàn)期的最終賠款，并計(jì)算經(jīng)驗(yàn)期在當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)賠付率，等于最終賠款與當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)之比。計(jì)算初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)，等于各類(lèi)別的經(jīng)驗(yàn)賠付率除以總水平的經(jīng)驗(yàn)賠付率。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度。用可信度對(duì)初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正。進(jìn)行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)對(duì)當(dāng)前的相對(duì)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整，得到新的相對(duì)費(fèi)率。如果需要調(diào)整保費(fèi)的總體水平，則只需要調(diào)整基礎(chǔ)類(lèi)別的費(fèi)率水平即可。單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用2、純保費(fèi)法賠付率法基于最終賠款與已賺保費(fèi)之比計(jì)算相對(duì)費(fèi)率，而純保費(fèi)法基于最終賠款與風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)之比計(jì)算相對(duì)率?；撅L(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)：保險(xiǎn)公司承保的自然風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)（如車(chē)年數(shù)）乘以每個(gè)分類(lèi)變量的相對(duì)費(fèi)率?！龢I(yè)務(wù)構(gòu)成的影響，從而為純保費(fèi)在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上進(jìn)行比較創(chuàng)造條件。賠付率法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)賠付率的相對(duì)大小確定的；純保費(fèi)法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)純保費(fèi)的相對(duì)大小確定的，純保費(fèi)是最終賠款與基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)的比率。單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用表6-7和表6-8是用純保費(fèi)法對(duì)車(chē)型和地區(qū)的相對(duì)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整的結(jié)果。在純保費(fèi)法中，如果用第一次迭代求得的相對(duì)費(fèi)率代替當(dāng)前的相對(duì)費(fèi)率，并重新計(jì)算基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，則可獲得有一個(gè)新的相對(duì)費(fèi)率。不斷重復(fù)上述過(guò)程，最終可得一個(gè)收斂的相對(duì)費(fèi)率，與第一次迭代獲得的結(jié)果相比這個(gè)相對(duì)費(fèi)率將是一個(gè)更加精確的結(jié)果。如此不斷交叉進(jìn)行，初步的調(diào)整系數(shù)、可信調(diào)整系數(shù)和平衡后的可信調(diào)整系數(shù)都將接近于1——調(diào)整后的相對(duì)費(fèi)率最終將收斂于一個(gè)確定值。單項(xiàng)分類(lèi)法的應(yīng)用純保費(fèi)法的應(yīng)用過(guò)程：預(yù)測(cè)經(jīng)驗(yàn)期的最終賠款，并計(jì)算經(jīng)驗(yàn)期的基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)純保費(fèi)，等于最終賠款與基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)之比。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度用可信度對(duì)初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)用可信度對(duì)初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)。進(jìn)行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)對(duì)當(dāng)前的相對(duì)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整，得到新的相對(duì)費(fèi)率。如果需要調(diào)整保費(fèi)的總體水平，則只需要調(diào)整基礎(chǔ)類(lèi)別的費(fèi)率水平即可。4.6.2迭代法各個(gè)類(lèi)別間的相對(duì)關(guān)系：相乘關(guān)系、相加關(guān)系相乘關(guān)系：假設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)類(lèi)別的費(fèi)率為1，其他類(lèi)別的費(fèi)率是基礎(chǔ)類(lèi)別的若干倍?！朔Ｐ拖嗉雨P(guān)系：假設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)類(lèi)別的費(fèi)率為0，其他類(lèi)別的費(fèi)率在此基礎(chǔ)上增加一定數(shù)量。——加法模型分類(lèi)費(fèi)率（相對(duì)費(fèi)率）可以使得費(fèi)率的表現(xiàn)形式更加簡(jiǎn)潔。如汽車(chē)保險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人可以根據(jù)地區(qū)（10個(gè)水平）和車(chē)型（10個(gè)）分成100類(lèi)，如果給每個(gè)類(lèi)別厘定保費(fèi)需要制定100各不同的費(fèi)率，但通過(guò)基礎(chǔ)費(fèi)率和相對(duì)費(fèi)率的形式，只需要確定一個(gè)基礎(chǔ)費(fèi)率和20各相對(duì)費(fèi)率即可（2各費(fèi)率因子，每個(gè)因子有10個(gè)水平，給每個(gè)水平確定一個(gè)相對(duì)費(fèi)率），從而大大簡(jiǎn)化了費(fèi)率的表現(xiàn)形式。4.6.2迭代法假設(shè)只有兩個(gè)費(fèi)率因子（分別用A和B表示)，其中費(fèi)率因子A有I個(gè)水平Ai(i=1,2,.......,I)，其對(duì)應(yīng)的相對(duì)費(fèi)率分布表示為

；費(fèi)率因子B有I個(gè)水平Bj(j=1,2,.......,J)，其對(duì)應(yīng)的相對(duì)費(fèi)率分布表示為

。

：風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別

的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。

：每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的損失。

：每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的純保費(fèi)。乘法模型：加法模型：Majorissue：估計(jì)模型中的參數(shù)。4.6.2迭代法迭代法(iterationmethod)：最早由RobertBailey和LeRoySimon于1960年提出，當(dāng)時(shí)被稱(chēng)作最小偏差法(minimumbiasmethod)，用于同時(shí)確定兩個(gè)或兩個(gè)以上分類(lèi)變量的相對(duì)費(fèi)率。這種方法后來(lái)有了各種變形和發(fā)展，形成了一類(lèi)特定的分類(lèi)費(fèi)率厘定方法。這類(lèi)方法的一個(gè)共同特點(diǎn)是通過(guò)迭代公式求解相對(duì)費(fèi)率。確定迭代公式：平衡法（邊際總和法）、最小二乘法、最小χ2法和極大似然法。4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：根據(jù)保費(fèi)和賠款的邊際總和相等的原則厘定相對(duì)費(fèi)率的方法。也稱(chēng)為平衡法(balanceprinciplemethod)。

：各個(gè)類(lèi)別的經(jīng)驗(yàn)賠款各個(gè)類(lèi)別的經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)：各個(gè)類(lèi)別的純保費(fèi)（期望賠款）：4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：（1）（2）由迭代公式（1）（2）估計(jì)參數(shù)的過(guò)程：令一個(gè)分類(lèi)變量的初始值為1，如，并將其帶入（2）求解。把得到的代入（1），可以求得一組新的。重復(fù)前面兩步，如此不斷循環(huán)直到收斂，便可得到參數(shù)的估計(jì)。（2）

最小χ2法最小χ2法在下述目標(biāo)函數(shù)最小化的條件下估計(jì)相對(duì)費(fèi)率：上述目標(biāo)函數(shù)與χ2

統(tǒng)計(jì)量具有完全相同的形式。上式關(guān)于參數(shù)分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即得：（3）

最小二乘法最小二乘法在下述目標(biāo)函數(shù)最小化的條件下估計(jì)相對(duì)費(fèi)率：使上述目標(biāo)函數(shù)得到最小的參數(shù)估計(jì)為：（4）

極大似然法極大似然法的參數(shù)估計(jì)取決于具體的分布假設(shè)，因此沒(méi)有一般形式的迭代公式。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別（i,j）的損失服從指數(shù)分布，均值為似然函數(shù)：求解得：4.6.3廣義線性模型單項(xiàng)法：會(huì)產(chǎn)生較大偏差，且缺乏統(tǒng)計(jì)理論的支持。最小偏差法：比單項(xiàng)法有了很大進(jìn)步，但仍然不能提供一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)分析框架。20世紀(jì)末開(kāi)始，廣義線性模型在分類(lèi)費(fèi)率厘定中的應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，在某些國(guó)家已經(jīng)成為厘定分類(lèi)費(fèi)率的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，尤其是在個(gè)人保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，廣義線性模型得到了精算師的廣泛認(rèn)可和接受。4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型

：表示為其均值和一個(gè)隨機(jī)變量之和，即古典線性回歸模型的假設(shè)：4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型假設(shè)汽車(chē)保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)分類(lèi)系統(tǒng)包括兩個(gè)變量：行駛區(qū)域和駕駛員性別。行駛區(qū)域取值為城市和鄉(xiāng)村兩個(gè)水平，駕駛員性別的取值為男和女兩個(gè)水平。假設(shè)實(shí)際觀察到的索賠次數(shù)如表4-21所示。表4-21索賠次數(shù)的觀察值4.6.3廣義線性模型四個(gè)解釋變量：男性、女性、城市、鄉(xiāng)村，取值為1或0.古典線性回歸模型：該模型存在線性關(guān)系：因此，可以刪除一個(gè)變量，改寫(xiě)為：4.6.3廣義線性模型將表4-21中的觀測(cè)數(shù)據(jù)帶入模型得：最小二乘法可得：索賠次數(shù)的擬合值：表4-22（1）古典線性回歸模型是建立在下列假設(shè)之上：因變量的每個(gè)觀測(cè)值相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布解釋變量的一個(gè)線性組合可以估計(jì)因變量的期望值精算應(yīng)用中，上述假設(shè)很難得到滿(mǎn)足：要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現(xiàn)實(shí)的.在保險(xiǎn)實(shí)際中，因變量的取值通常是非負(fù)的。如果因變量是嚴(yán)格非負(fù)的，那么從直觀上看，當(dāng)因變量的均值趨于零時(shí)，其方差也應(yīng)該趨于零。（因變量是均值的函數(shù)）古典線性模型中，假設(shè)解釋變量通過(guò)加法關(guān)系對(duì)因變量產(chǎn)生影響，但在某些情況下，解釋變量之間可能存在乘法關(guān)系。4.6.3廣義線性模型（2）廣義線性模型(Generalizedlinearmodels,GLM)簡(jiǎn)介GLM假設(shè)因變量來(lái)自指數(shù)分布族，其方差隨著均值而變化，解釋變量通過(guò)線性相加關(guān)系對(duì)因變量的期望值的某種變換產(chǎn)生影響。GLM的假設(shè)可以歸納如下：隨機(jī)成分，即因變量或誤差項(xiàng)的概率分布屬于指數(shù)分布族。系統(tǒng)成分，即解釋變量的線性組合表示為聯(lián)結(jié)函數(shù)：

或4.6.3廣義線性模型指數(shù)分布族：其概率密度函數(shù)可以表示為

為已知函數(shù)，且

大于零，且為聯(lián)系函數(shù)，通常的形式為。

的二階導(dǎo)數(shù)存在且大于零，且。

與參數(shù)無(wú)關(guān)。

：自然參數(shù)(naturalparameter)，與均值有關(guān)；

：離散參數(shù)(dispersionparameter)，與方差有關(guān)，其方差為常見(jiàn)的指數(shù)分布族：正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布、伽馬分布、逆高斯分布。常見(jiàn)的聯(lián)結(jié)函數(shù)：恒等：對(duì)數(shù)：倒數(shù)：Logit：非壽險(xiǎn)精算中，常用的聯(lián)結(jié)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)、Logit函數(shù)和倒數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)：

即認(rèn)為解釋變量對(duì)因變量的影響不是簡(jiǎn)單的線性相加關(guān)系，而是相乘關(guān)系。Logit函數(shù)：因變量的預(yù)測(cè)值落在0~1之間，適合續(xù)保率或新單簽約率的擬合。倒數(shù)函數(shù)可以表示成一種比例關(guān)系：保險(xiǎn)費(fèi)通常表示為每年多少元，因此其倒數(shù)的含義就是美元的保險(xiǎn)費(fèi)可以承保多長(zhǎng)時(shí)間。4.6.3廣義線性模型（3）典型廣義線性模型廣義線性模型的應(yīng)用中，可以根據(jù)保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息選擇誤差項(xiàng)的分布類(lèi)型。如：如果因變量的方差為常數(shù)，可以選擇正態(tài)分布；如果因變量的方差等于其均值，可以選擇泊松分布；如果因變量的方差等于其均值的平方，可以選擇伽馬分布；如果因變量的