第3章 綜合指標分析

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分析：成績（分）x人數(shù)（人）f甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權衡輕重的作用決定平均數(shù)的變動范圍.

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表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數(shù)列中各組標志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔者，反映了各組的標志值對平均數(shù)的影響程度。對平均數(shù)的大小有權衡輕重的作用。（能反映各x的重要性）

權數(shù)絕對權數(shù)相對權數(shù)權數(shù)的實質：其權衡輕重作用真正體現(xiàn)在頻率上。.

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當各組單位數(shù)（頻率）相等時，加權算術平均數(shù)等于簡單算術平均數(shù)即；當

f1=

f2=

f3=…=

fn

=

A，時加權算術平均數(shù)簡單算術平均數(shù).

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⒈變量值與其算術平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：（三）算術平均數(shù)的主要數(shù)學性質⒉變量值與其算術平均數(shù)的離差平方和為最小，即：.

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離差的概念12345678-1-1-213.

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【例】

設X=（2，4，6，8），則其調和平均數(shù)可由定義計算如下：⒉再求算術平均數(shù)：⒈求各標志值的倒數(shù)：⒊再求倒數(shù)：是總體各單位標志值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)三、調和平均數(shù)H.

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——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：H

為調和平均數(shù);n為變量值的個數(shù)；xi

為第i個變量值。1.簡單調和平均數(shù).

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2.加權調和平均數(shù)——適用于總體資料經過分組整理形成變量數(shù)列的情況m=xf式中：H

為調和平均數(shù);mi為第i組的標志總量；xi

為第i組的變量值。.

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——當己知各組變量值和標志總量時，調和平均數(shù)作為算術平均數(shù)的變形使用。加權調和平均數(shù)加權算術平均數(shù)調和平均數(shù)是算術平均數(shù)的變形。算術平均數(shù)和調和平均數(shù)的計算，沒有根本的區(qū)別，只是由于所掌握的資料不同，而采取了不同的計算方法而已。

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日產量（件）各組工人日總產量（件）10111213147001100456019501400合計9710【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。.

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即該企業(yè)該日全部工人的平均日產量為12.1375件。解：.

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某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據蔬菜名稱批發(fā)價格(元)

xi成交額(元)xifi=m甲乙丙1.200.500.8018000125006400合計—36900【例】某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交數(shù)據如表，計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格。.

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當自變量表現(xiàn)為比值時，求解其平均數(shù)的方法：由于比值（平均數(shù)或相對數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時，需將其還原為構成比值的分子、分母原值總計進行對比。設比值

分子變量分母變量則有：當標志值（x）表現(xiàn)為相對數(shù)或平均數(shù)時，次數(shù)f不一定是正確的權數(shù)。正確的權數(shù)應該滿足兩個條件：①它是標志值的直接承擔者；②它與標志值相乘有明確的經濟意義或能體現(xiàn)標志總量。

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已知m、f，采用基本平均數(shù)公式己知x、f，采用加權算術平均數(shù)公式己知x、m，采用加權調和平均數(shù)公式比值.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度的平均計劃完成程度。.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：應采用加權算術平均數(shù)公式計算.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下（按計劃完成程度分組）：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個）實際產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合計—1826175計算該公司該季度的平均計劃完成程度。.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下（按計劃完成程度分組）：計劃完成程度（﹪）企業(yè)數(shù)（個）組中值（﹪）實際產值（萬元）90以下90～100100～110110以上2310385951051156802375180605060合計18—26175計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：應采用加權調和平均數(shù)公式計算.

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是n項變量值連乘積的開n次方根用于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應用：各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負值。應用的前提條件：四、幾何平均數(shù)G.

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1.簡單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經分組整理尚為原始資料的情況式中，G：幾何平均數(shù)；

x

：各單位標志值；

n：標志值的個數(shù)；

∏：連乘符號。.

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【例】某流水生產線有前后銜接的五道工序。某日各工序產品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產線產品的平均合格率。分析：設最初投產100A個單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95×0.92）；

……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；.

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因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計算。解.

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思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產線，而是五個獨立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。.

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因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；

……

第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80分析：.

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不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。又因為應采用加權算術平均數(shù)公式計算，即.

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2.加權幾何平均數(shù)——適用于總體資料經過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：f—各組標志值的次數(shù).

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【例】某金融機構以復利計息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎第12年的計息基礎.

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則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計算平均年本利率應采用幾何平均法。解：.

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利用計算器計算幾何平均數(shù)：例：求10的5次方根。105=2ndF.

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思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應得利息為：第2年末的應得利息為：第12年末的應得利息為：…………設本金為V，則各年末應得利息為：.

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則該筆本金12年應得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。因為假定本金為V.

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所以，應采用加權算術平均數(shù)公式計算平均年利息率，即：解：.

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是否為比率或速度各個比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計算公式的選用順序指標.

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指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達到的一般水平。五、眾數(shù)一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。不受極端值的影響。一組數(shù)據可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)。用于分類數(shù)據，也可用于順序數(shù)據和數(shù)值型數(shù)據。.

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日產量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計800【例】已知某企業(yè)某日工人的日產量資料如下:1.單項式數(shù)列確定眾數(shù)－－出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值就是眾數(shù)。如果出現(xiàn)次數(shù)最多的標志有兩個，稱為復眾數(shù)。

計算該企業(yè)該日全部工人日產量的眾數(shù)。.

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2.組距式數(shù)列確定眾數(shù)先確定眾數(shù)組，即次數(shù)最多的一組，而后計算眾數(shù)的近似值。式中：L：眾數(shù)所在組的下限；△1：眾數(shù)組頻數(shù)與其前一組頻數(shù)之差；△2：眾數(shù)組頻數(shù)與其后一組頻數(shù)之差；d：眾數(shù)所在組的組距。.

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【例】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數(shù)。.

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當數(shù)據分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)；當數(shù)據分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。眾數(shù)的原理及應用.

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出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個年份413名學生出生時間分布直方圖（無眾數(shù)）.

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192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學生的身高分布直方圖（雙眾數(shù)）當數(shù)據分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)或多眾數(shù)時，可以斷定這些數(shù)據來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心.

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六、中位數(shù)和分位數(shù)

（一）中位數(shù)（Median）：

將數(shù)據依其大小順序排列，位于中間位置的數(shù)據稱為中位數(shù)（Me）。

中位數(shù)的數(shù)學性質:是變量值與其中位數(shù)的絕對離差的總和是一個最小值。即：∑|x－Me|＝最小值中位數(shù)是一種位置平均數(shù)，不受極端標志值或開口組的影響。Me50%50%.

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中位數(shù)的位次為：即第3個單位的標志值就是中位數(shù)【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則（1）未分組資料.

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中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應為第3和第4個單位標志值的算術平均數(shù)，即【例】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則.

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⑵由分組（組距）數(shù)列確定中位數(shù)。①確定中位數(shù)所在組（采用向上或向下累計的方法）；②根據下列公式確定中位數(shù)的近似值：式中L：中位數(shù)所在組的下限；∑f：數(shù)列的頻數(shù)總和；

fm：中位數(shù)所在組的頻數(shù)；Sm-1：中位數(shù)所在組之前組的向上累計頻數(shù)；

∑f/2：中位數(shù)的位次。U：中位數(shù)所在組的上限；Sm+1：中位數(shù)所在組之前組向下累計頻數(shù)；

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【例】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的中位數(shù)。.

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（組距數(shù)列）共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數(shù)組組距為d共個單位假定該組內的單位呈均勻分布共有單位數(shù)

中位數(shù)下限公式為

該段長度應為.

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排序后處于25%和75%位置上的值。不受極端值的影響。主要用于順序數(shù)據，也可用于數(shù)值型數(shù)據。QLQMQU25%25%25%25%（二）四分位數(shù)(quartile)十分位數(shù)和百分位數(shù)分別是將數(shù)據分成十等分和一百等分的數(shù)值。.

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算術平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的關系：對稱分布左偏分布右偏分布三者的關系與數(shù)據分布是否偏斜有關。對同一資料用三種方法計算，其結果是算術平均數(shù)最大，幾何平均數(shù)次之，調和平均數(shù)最小。只有當所有變量值都相同時，三者結果才相等。

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第三節(jié)分布的離中趨勢特征

一、標志變異指標的概念、作用和種類

二、極差和分位差

三、平均差四、方差和標準差五、標志變異系數(shù)六、分布的偏度和峰度.

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課程學生語文數(shù)學英語總成績平均成績甲乙丙606555656565706575195195195656565單位：分某班三名同學三門課程的成績如下：請比較三名同學學習成績的差異。.

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離中趨勢數(shù)據分布的另一個重要特征；反映各變量值遠離其中心值的程度（離散程度）；從另一個側面說明了集中趨勢測度值的代表程度；

離散程度越大，平均數(shù)的代表性越小。.

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集中趨勢弱、離中趨勢強集中趨勢強、離中趨勢弱.

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一、變異指標的概念和作用變異指標是反映統(tǒng)計數(shù)據差異程度的綜合指標。

平均指標是說明數(shù)據一般水平的綜合指標，反映了數(shù)據分布的集中趨勢。變異指標從相反的角度研究數(shù)據的差異狀況和分布的離散程度。變異指標越大，反映數(shù)據的差異程度越大。(一）變異指標的概念.

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（二）標志變異指標的作用用來衡量和比較平均數(shù)代表性的大小；用來反映社會經濟活動過程的均衡性和節(jié)奏性；用來測定變量數(shù)列次數(shù)分布較正態(tài)分布的偏離程度。

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描述變量值差異程度的指標描述分布差異程度的指標偏度峰度（三）標志變異指標的種類全距分位差平均差標準差變異系數(shù).

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二、極差和分位差（一）極差(Range)又稱全距：是數(shù)據中最大值與最小值之差，說明數(shù)據的變動范圍。極差（R）＝最高組的上限－最低組的下限極差（R）＝max(x)－min(x)（未分組數(shù)列）（分組數(shù)列）【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度計劃完成程度的全距。.

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優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；缺點:易受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標志值差異大小及分布狀況，準確程度差往往應用于生產過程的質量控制中全距的特點.

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（二）四分位差(quartiledeviation)也稱為內距或四分間距，上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=QU

–QL反映了中間50%數(shù)據的離散程度不受極端值的影響.

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平均差彌補了全距的不足，考慮了所有的數(shù)據，能較好地反映各數(shù)據相對于均值的平均差異（離散）程度，能全面反映數(shù)據的離散程度。三、平均差：是數(shù)據與其均值之間離差絕對值的平均數(shù)。（適用未分組數(shù)列）（適用分組數(shù)列）.

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平均差的計算方法:.

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【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元。.

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所以，A組學生的考分比B

組學生的考分離散程度更大。學生序號考分（分）

xAxB

甲乙丙丁戊

65707580856870768081

合計375375

∵MADA＞MADB離差離差離差絕對值離差絕對值-10-50510—-7-5-156—105051075156解：=753024A、B

兩組那一組學生的成績的離散程度更大？.

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優(yōu)點:不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數(shù)離差的正負值問題，不便于作數(shù)學處理和參與統(tǒng)計分析運算。平均差的特點一般情況下都是通過計算另一種標志變異指標——標準差，來反映總體內部各單位標志值的差異狀況.

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四、方差(variance)和標準差(standarddeviation)數(shù)據離散程度的最常用測度值；反映了各變量值與均值的平均差異；方差是標準差的平方。.

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（一）數(shù)量標志的方差、標準差

標準差是測定數(shù)據變異程度最常用的指標，其意義與平均差基本相同，但在數(shù)學處理方法上不同。標準差的計算方法（適用未分組數(shù)列）（適用分組數(shù)列）標準差（用σ表示）是各數(shù)據與其算術平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的方根。又叫均方差。而σ2

稱為方差。.

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【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標準差。解（比較：其銷售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷售額的標準差為109.62元。.

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所以，A組學生的考分比B

組學生的考分差異更大?！擀褹＞σB學生序號考分（分）

xAxB

甲乙丙丁戊

65707580856870768081

合計375375

試問A、B

兩組那一組學生的考分差異更大？解離差離差離差平方離差平方-10-50510—10025025100250-7-5-156—492512536136.

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【例】計算下表中某公司職工月工資的標準差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計—2000.

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解（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標準差為167.9元。.

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標準差的特點不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標志值與算術平均數(shù)離差的正負值問題，可方便地用于數(shù)學處理和統(tǒng)計分析運算..

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分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性10合計—為研究是非標志總體的數(shù)量特征，令是非標志：指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現(xiàn)形式的標志，又叫交替標志（二）是非標志的方差、標準差合格不合格（是）（非）.

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具有某種標志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重成數(shù).

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均值標準差.

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方差標準差系數(shù).

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【例】某廠某月份生產了400件產品，其中合格品380件，不合格品20件。求產品質量分布的集中趨勢與離中趨勢。解.

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全距、平均差和標準差都是以絕對數(shù)、平均數(shù)形式反映標志值數(shù)據的差異程度，且?guī)в杏嬃繂挝?，其?shù)值大小不但取決于數(shù)據的差異程度，而且受數(shù)列平均水平高低的影響。

因此，如果兩組數(shù)據平均水平不同或計量單位不同時，要比較兩者數(shù)據的變異程度（或比較數(shù)列平均數(shù)的代表性）大小，需消除平均水平不同或計量單位不同的影響，計算變異系數(shù)（離散系數(shù)）。成年組

65666767686869707173幼兒組

11121313141415161719兩組體重數(shù)據（公斤）：五、標志變異系數(shù).

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可比變異系數(shù)指標.

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身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比.

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變異系數(shù)，是數(shù)列中變異指標與其平均數(shù)之比，以反映標志值差異的相對水平。常用的離散系數(shù)為標準差系數(shù)：在上例中，成年組:幼兒組：V1<V2

，所以成年組的體重差異較小。

在比較平均水平不同或計量單位不同數(shù)列間變異程度大?。ɑ蚱骄鶖?shù)代表性大?。r，需計算標準差系數(shù)進行比較。.

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【例】某年級一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標準差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。解一班成績的標準差系數(shù)為：二班成績的標準差系數(shù)為：因為，所以一班平均成績的代表性比二班大。.

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六、分布的偏度與峰度

1.偏度(skewness)：描述統(tǒng)計數(shù)據分布偏斜程度的統(tǒng)計量。統(tǒng)計學家Pearson于1895年首次提出。偏度用偏度系數(shù)來描述：左偏分布右偏分布V1=0為正態(tài)分布；V1>0為右偏分布；V1<0為左偏分布。.

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2.峰度(kurtosis)

描述數(shù)據分布扁平程度的測度，統(tǒng)計學家Pearson于1905年首次提出峰度度用峰度系數(shù)來描述：扁平分布尖峰分布V2=3為標志正態(tài)分布；V2>3圖形趨于陡峭；V2<3圖形趨于平緩。.

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一、思考題

1.什么是總量指標？2.總體單位總量和總體標志總量、時期指標與時點指標如何區(qū)別？3.結構相對指標、比例相對指標和比較相對指標有什么不同特點？強度相對指標和其它相對指標主要區(qū)別何在？4.如何理解權數(shù)的意義？5.加權算術平均數(shù)與加權調和平均數(shù)之間的關系如何？6.什么是標志變異指標？它有什么作用？7.為什么計算變異系數(shù)？變異系數(shù)的應用條件是什么？.

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二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中選出一個正確的答案，并將正確答案的號碼填在題干后的括號內）

1、某企業(yè)計劃產值比上年提高10％，實際比上年提高15％，則其計劃完成程度為（）A、150％B、5％C、4.56％D、104.55％

2、在分配數(shù)列中，當標志值較小而其權數(shù)較大時，計算出來的算術平均數(shù)（）A、接近于標志值大的一方B、接近于標志值小的一方C、接近于大小合適的標志值D、不受權數(shù)的影響A、強度相對指標 B、結構相對指標 C、比較相對指標 D、平均指標

3、人均糧食產量是一個（）.

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4、某廠生產了三批產品，第一批產品的廢品率為1％，第二批產品的廢品率為1.5％，第三批產品的廢品率為2％；第一批產品數(shù)量占這三批產品總數(shù)的25％，第二批產品數(shù)量占這三批產品總數(shù)的30％，則這三批產品的廢品率為（）

A、1.5％B、1.6％C、4.5％ D、1.48％5、成數(shù)方差的特點是，成數(shù)()

A、愈接近于1方差愈大B、愈接近于0方差愈大

C、愈接近于0.5方差愈大D、無論如何變化方差均不受影響6、兩個數(shù)值對比若分母數(shù)值比分子數(shù)值大很多時，常用的相對數(shù)形式是（）A、倍數(shù)B、百分數(shù)C、系數(shù)D