單自由度系統(tǒng)的自由振動(研)

第1章

單自由度系統(tǒng)的自由振動機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言

振動是一種運(yùn)動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。MechanicalandStructuralVibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。運(yùn)動微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。振動問題的共同特點(diǎn)

振動問題的研究方法：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運(yùn)動；分析受力；選擇合適的動力學(xué)定理；建立運(yùn)動微分方程；求解運(yùn)動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。引言MechanicalandStructuralVibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動

振動系統(tǒng)一般可分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱為連續(xù)彈性體系統(tǒng)。彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，它的振動規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動方程是偏微分方程。在一般情況下，要對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，用適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮”成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動方程是常微分方程。由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱為多自由度系統(tǒng)。機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言按系統(tǒng)的自由度劃分：振動問題的分類單自由度振動－一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動。多自由度振動－兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的振動。

連續(xù)系統(tǒng)振動－連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng)具有無窮多個(gè)自由度。機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言按系統(tǒng)特性或運(yùn)動微分方程類型劃分：振動問題的分類線性振動－系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為線性方程的振動。非線性振動－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言

線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

線性振動的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。非線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。

非線性振動的疊加原理不成立。

機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言按激勵(lì)特性劃分：振動問題的分類自由振動－沒有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動。受迫振動－系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動的影響。自激振動－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動。參激振動－激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動。機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動MechanicalandStructuralVibration引言

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動目錄MechanicalandStructuralVibration

1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動

1.2計(jì)算固有頻率的能量法

1.3瑞利法

1.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動

1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動天津大學(xué)關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動的概念典型的單自由度系統(tǒng):彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)

梁上固定一臺電動機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)MechanicalandStructuralVibration

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動1.1.1自由振動方程當(dāng)物塊偏離平衡位置為x距離時(shí)，物塊的運(yùn)動微分方程為其中取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到無阻尼自由振動微分方程

彈簧的靜變形固有圓頻率MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動其通解為：其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，可解1.1.1自由振動方程MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱自由振動。另一種形式無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動

初相位角

振幅1.1.1自由振動方程MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動1.1.2振幅、初相位和頻率系統(tǒng)振動的周期系統(tǒng)振動的頻率系統(tǒng)振動的圓頻率為圓頻率pn

是物塊在自由振動中每2秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、

pn只與振動系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量m有關(guān)，而與運(yùn)動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f稱為固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動用彈簧靜變形量dst表示固有圓頻率的計(jì)算公式

物塊靜平衡位置時(shí)固有圓頻率1.1.2振幅、初相位和頻率MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動1.1.3等效剛度系數(shù)單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程等效的概念這一方程，可以等效為廣義坐標(biāo)的形式MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度例在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是dst，而彈性力分別是

系統(tǒng)平衡方程是1.1.3等效剛度系數(shù)MechanicalandStructuralVibration1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。系統(tǒng)的固有頻率1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，它的靜位移dst等于每根彈簧的靜變形之和，即

dst=d1st+d2st

由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration組合彈簧的等效剛度例質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。C1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。C設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力為此力使B彈簧k2產(chǎn)生變形，而此變形使C點(diǎn)發(fā)生的變形為

得到作用在C處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù)1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibrationC物塊的自由振動頻率為與彈簧k1串聯(lián)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration彈性梁的等效剛度例一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從h的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率。1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡化成彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形則求出系統(tǒng)的固有頻率MechanicalandStructuralVibration由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為求出系統(tǒng)的固有頻率為中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為1.1.3等效剛度系數(shù)1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration1.1.4扭轉(zhuǎn)振動等效系統(tǒng)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。扭振系統(tǒng)稱為扭擺。OA為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為IO。在研究扭擺的運(yùn)動規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角來決定，稱扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程扭振的運(yùn)動規(guī)律對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動形式均不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。

固有圓頻率1.1.4扭轉(zhuǎn)振動1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration圖(a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)1.1.4扭轉(zhuǎn)振動1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration

1.2計(jì)算固有頻率的能量法

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。常量式中T是動能，V是勢能。如果取平衡位置O為勢能的零點(diǎn)，系統(tǒng)在任一位置1.2計(jì)算固有頻率的能量法MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，x=0,速度為最大，勢能為零，動能具有最大值Tmax；當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值Vmax。由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒用能量法計(jì)算固有頻率的公式

1.2計(jì)算固有頻率的能量法MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)例船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿BD對于支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動慣量為IE,求重物P在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是k。解：這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平衡位置量起的角來決定。系統(tǒng)的動能設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，則其運(yùn)動方程角速度為系統(tǒng)的最大動能為1.2計(jì)算固有頻率的能量法MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長量為dst

。此時(shí)，彈性力Fst=kdst,方向向上。

該系統(tǒng)的勢能1.2計(jì)算固有頻率的能量法MechanicalandStructuralVibration

1.3瑞利法

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計(jì)入系統(tǒng)的總動能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法。應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動位形。等效質(zhì)量

l對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動過程中任一瞬時(shí)的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為

1.3瑞利法MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)例

在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。左端距離為

的截面的位移為，則d

彈簧的動能為l

d

解：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量m的位移。

1.3瑞利法MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)彈簧的總動能系統(tǒng)的總動能為系統(tǒng)的勢能為固有頻率為設(shè)l

d

1.3瑞利法MechanicalandStructuralVibration

1.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動

第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運(yùn)動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系c－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)。它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓·米/秒(N·s/m)。

1.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動MechanicalandStructuralVibration運(yùn)動微分方程圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動微分方程特征方程特征根

1.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s)MechanicalandStructuralVibration1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動特征根與運(yùn)動微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān)強(qiáng)阻尼（n>pn）情形臨界阻尼(n=pn

)情形阻尼對自由振動的影響特征根運(yùn)動微分方程MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運(yùn)動的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于z=n/pn=1，即z阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z稱為阻尼比的原因。

cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動強(qiáng)阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形下，運(yùn)動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減引入阻尼比＝1>1OtxMechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動弱阻尼(<1)情形（n<pn）

特征根其中其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，可解C1=x0

MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動另一種形式初相位角

振幅這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動。衰減運(yùn)動的頻率為p

d，衰減速度取決于p

n，二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。MechanicalandStructuralVibration天津大學(xué)1.4單自由度系統(tǒng)的衰減振動衰減振動:物塊在平衡位置附近作具有振動性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。有阻尼的自由振動視為準(zhǔn)周期振動。

MechanicalandStructuralVibrationT=2p/pn為無阻尼自由振動的周期。欠阻尼自由振動的周期Td：物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)