計算方法之插值

1

實(shí)際應(yīng)用中的函數(shù)y=f(x)可能存在如下問題： （1）函數(shù)無解析表達(dá)式，由表格給出5.674.563.452.341.23yi0.500.00-0.50-1.50-2.00xi

（2）函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，難以進(jìn)行數(shù)學(xué)處理

解決辦法是用一個函數(shù)P(x)近似替代

f(x)，即有P(x)f(x)。P(x)應(yīng)具有以個特點(diǎn)： （1）在給定點(diǎn)xi處滿足某些等式如P(xi)=f(xi)或不等式關(guān)系；2

（2）P(x)結(jié)構(gòu)簡單，易于計算函數(shù)值；

（3）P(x)

由一組基函數(shù)i(x)線性組合而成：

其中ai為系數(shù)；基函數(shù)一般是簡單常見的初等函數(shù)，如多項式，三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)等。

函數(shù)近似替代的種類（要求掌握）： （1）函數(shù)插值；（本章） （2）曲線擬合；（下一章）3實(shí)際問題：關(guān)于某函數(shù)y=f(x)，有如下測量結(jié)果要求解決： 如何由此求解函數(shù)的解析表達(dá)式？ 或者求解函數(shù)在任何其它點(diǎn)處的函數(shù)值？解決辦法：采用函數(shù)近似替代—插值。xix0x1x2……xnyif(x0)f(x1)f(x2)……f(xn)插值的基本概念4插值問題： 已知函數(shù)y=f(x)在[a,b]區(qū)間上的n+1個互異點(diǎn)x0，x1，…，xn處的函數(shù)值yi=f(xi)，(i=0,1,…,n)求f(x)的一個近似函數(shù)P(x)，使?jié)M足P(xi)=f(xi)。

P(xi)=f(xi) —— 稱基本插值條件；

P(x) —— 稱插值函數(shù)；

f(x) —— 稱被插值函數(shù)；

xi —— 稱插值節(jié)點(diǎn)；

R(x)=P(x)-f(x) —— 稱插值余項。5

滿足同一插值條件的插值函數(shù)有很多類型。

最常用的類型： 多項式類型； 或分段多項式類型

多項式插值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)： 計算簡單，具有良好的分析性質(zhì) 當(dāng)插值函數(shù)為多項式時，稱為代數(shù)插值（或多項式插值）。 代數(shù)插值函數(shù)P(x)可表示為如下的形式：6

故任一多項式可看成是簡單的基函數(shù)的線性組合，求插值函數(shù)最終歸結(jié)為對基函數(shù)的選擇。

將插值多項式函數(shù)P(x)寫成如下形式：

按基本插值條件： P(xi)=f(xi)=yi

可得如下關(guān)于待求系數(shù)ai的線性方程組：7

該方程組： （1）m>n時，有無窮多組解； （2）m<n時，可能無解； （3）m=n時，有唯一解。

對n+1個插值點(diǎn)，一般選取n次多項式為插值函數(shù)，使m=n

，以保證插值多項式的唯一性。8

則上述方程組的系數(shù)行列式為

因插值節(jié)點(diǎn)互異，故det(A)0，故方程組有唯一解，于是有下面的結(jié)論：結(jié)論：

存在唯一滿足插值條件P(xi)=f(xi),(i=0,1,…,n)的n次插值多項式。9

Lagrange插值屬n次多項式插值，其成功之處在于用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法解決了求n次多項式插值函數(shù)的問題。

將待求n次多項式插值函數(shù)Ln(x)預(yù)先設(shè)置成另一種包含待定系數(shù)的形式，再利用插值條件來確定其中的待定系數(shù)，從而求出插值多項式。

其中l(wèi)i(x) —— 待定系數(shù)，即插值基函數(shù)。拉格朗日插值10 1、插值條件

設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在[a,b]區(qū)間且滿足在互異的兩點(diǎn)x0，x1處的函數(shù)值分別為y0=f(x0)，y1=f(x1) 2、構(gòu)造方法

用過兩點(diǎn)的直線近似替代曲線f(x)，此直線即可作為通過已知兩點(diǎn)的插值函數(shù)，稱為線性插值。oy=P1(x)y=f(x)yxy1y0x1x0ba11

設(shè)線性插值函數(shù)為：

由解析幾何關(guān)于直線的兩點(diǎn)式方程：

式2即為：1次拉格朗日插值多項式。

式1與式2比較可得：

其中l(wèi)0(x)和l1(x)—— 插值基函數(shù)，并有：12

即對l0(x)來說，x1是它的零點(diǎn)；對l1(x)來說，x0是它的零點(diǎn)。

1、

插值條件 設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在[a,b]區(qū)間且滿足在互不相同的三點(diǎn)x0，x1，x2處的函數(shù)值分別是y0=f(x0)，y1=f(x1)，y2=f(x2)13

P2(x)曲線為一條拋物線，用以近似替代f(x)，即為拋物線插值（或二次拉格朗日插值）。

平面三點(diǎn)確定一條2次曲線，表示為：x2x1x0bay=f(x)y=P2(x)y0y1y2yox14

此法缺點(diǎn)：計算量很大，不實(shí)用。

一種求系數(shù)ai

的辦法是用插值條件得方程組： 2、構(gòu)造方法 也從插值基函數(shù)著手，將待求多項式改寫成如下形式，并與線性插值作類似討論：15

其中A、B、C為待定系數(shù)。則待求多項式為

（1）對l0(x)來說，x1、x2是其零點(diǎn)，故有

（2）對l1(x)來說，x0、x2是其零點(diǎn)，故有

（3）對l2(x)來說，x0、x1是其零點(diǎn)，故有16

由上式及插值條件L2(xi)=f(xi)=yi

可得：

從而求出二次拉格朗日插值多項式：

[例]

已知在30o，45o，60o處的正弦值

分別用一、二次插值求sin(50o)

的近似值。17

[解]

（1）線性插值： 取x0=45o和x1=60o兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，x=50o為內(nèi)點(diǎn)，則有

得一次多項式：

代入x=50o

得：18

（2）二次插值

得二次插值多項式：

代入x=50o

得：19

同理，由4個插值點(diǎn)可構(gòu)成3次多項式，由n+1個插值點(diǎn)可構(gòu)成n次多項式，其基函數(shù)為：拉格朗日插值實(shí)用算法

1、待解問題： 已知某函數(shù)y=f(x)在給定n+1個插值點(diǎn)xi，（i=0,1,…,n）上的函數(shù)值yi=f(xi)，用拉格朗日插值公式計算指定插值點(diǎn)t處的函數(shù)近似值z=f(t)20 2、算法要求： 若插值節(jié)點(diǎn)較多（n+18），則在n+1個節(jié)點(diǎn)中自動選取8個插值節(jié)點(diǎn)來構(gòu)造7次多項式，且使指定的待求插值點(diǎn)t位于這8個插值節(jié)點(diǎn)的中間。

實(shí)例：已知y=f(x)的數(shù)據(jù)表如下，求t=0.63處的函數(shù)值z=f(t)

。ixiyiixiyi10.100.90483760.570.56552520.150.86070870.700.49658530.250.77880180.850.42741540.400.67032090.930.39455450.500.606531101.000.36787921 3、算法描述： 一）數(shù)據(jù)說明

1）數(shù)組x[]、y[]表示插值節(jié)點(diǎn)xi和函數(shù)值yi

2）t表示待求插值點(diǎn)、s表基函數(shù)值、z表f(t)

3）n表示插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。22

二）操作步驟

Step1

輸入數(shù)組x[]、y[]各元素和t、n

Step2

z=0.0; /*為z賦初值為零*/

/*選取8個插值點(diǎn)并保證t大致處于它們的中間部位*/

Step3

t_pos=0

/* t_pos記錄t的位置*/

While

x[t_pos]<t

And

t_pos<n

Do

t_pos=t_pos+1

EndWhile23/*確定所選節(jié)點(diǎn)的起點(diǎn)下標(biāo)start和終點(diǎn)下標(biāo)end*/

Step4

start=t_pos-4;end=t_pos+3

If

start<0

Then

/*t落入較小數(shù)區(qū)域*/ start=0

end=start+7

EndIf If

end>n-1

Then /*t落入較大數(shù)區(qū)域*/ end=n-1 start=end-7

EndIf

24 /*用所選插值點(diǎn)作拉格朗日插值多項式的運(yùn)算

*/ Step5

For

i=start

To

end

Do

s=1.0

/*插值基函數(shù)值賦初值為1*/

For

j=start

To

end

Do

If

j<>i

Then

s=s*(t-x[j])/(x[i]-x[j])

EndFor

j

z=z+s*y[i]

EndFor

i

Step6 Output(z)

Stop25 1、關(guān)于線性插值的誤差，有如下定理：

定理

設(shè)L1(x)是以(x0,y0)，(x1,y1)為插值點(diǎn)構(gòu)造的插值函數(shù)，而且有y0=f(x0)，y1=f(x1)。設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，二階導(dǎo)數(shù)在(a,b)上存在，則對任意給定的x[a,b]，總存在一點(diǎn)[a,b]，使

證明如下：26

令R(x)=f(x)-L1(x)，因R(x0)=R(x1)=0，故可設(shè)R(x)=k(x)(x-x0)(x-x1)

對任一固定點(diǎn)x，引進(jìn)輔助函數(shù)(t)

：(t)=f(t)-L1(t)-k(x)(t-x0)(t-x1)

則有(xi)=0，i=0，1

又由(t)的定義，知(x)=0，故(t)至少有3個零點(diǎn)，不失一般性，假定x0<x<x1。 分別在[x0,x]和[x

,x1]上應(yīng)用洛爾定理，可知27

再對導(dǎo)函數(shù)’(t)

在[1,1]上應(yīng)用洛爾定理有

現(xiàn)對(t)

求二階導(dǎo)數(shù)，并考慮L1(t)為線性，有

向上式代入后可得：

由R(x)

的定義可得：

證畢！28

2、同理可得n

次插值多項式的誤差： 3、插值多項式的誤差估計方法 實(shí)用中為估計點(diǎn)x處的插值余項上界，常令：

則有：

（1）等距插值節(jié)點(diǎn)的誤差估計 取節(jié)點(diǎn)間距 h=xi+1-xi，稱為步長29

則任一插值節(jié)點(diǎn)表示為：xi=x0+ih

(i=0,1,…,n) I—線性插值誤差估計（n=1)

插值節(jié)點(diǎn)x0、x1，待求點(diǎn)x，且x0<x<x1，即：

而max[(1-)]=1/4，故有30 II—拋物線插值誤差估計（n=2） 插值節(jié)點(diǎn)x0<x1<x2，待求點(diǎn)x，則有

而

故31

[例]

以f(x)=sin(x)為被插函數(shù)，估計h=0.02弧度時的誤差：（1）線性插值 （2）二次插值

解：（A）線性插值（精度較低） 因

故有：

（B）二次插值（精度較高）

因

故有：

特點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)值并不隨插值次數(shù)增加而顯著增大32

（2）事后誤差估計法 一般適用場合：被插函數(shù)f(x)表達(dá)式未知，即無法計算其導(dǎo)數(shù)絕對值上限Mn+1

。 方法：將n+2插值節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn，xn+1分成兩組節(jié)點(diǎn)：

I） x0，x1，…，xn

II） x1，x2，…，xn，xn+1

分別構(gòu)造兩個n次插值多項式

則分別有插值余項為：33

設(shè)f(n+1)(x)在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)且變化不大，即

則

即

于是得

即34

在現(xiàn)有基礎(chǔ)上增加新的插值點(diǎn)時必須重新計算多項式的值，已有計算結(jié)果只有丟棄。故其最大缺點(diǎn)是：計算結(jié)果沒有承襲性。

為此引入具有承襲性插值方法—牛頓插值。 1、一階差商 對函數(shù)y=f(x)，記差商與牛頓插值35稱為函數(shù)f(x)關(guān)于x0

,x1兩點(diǎn)的一階差商。 記f[x0]=f(x0)

—

稱為函數(shù)關(guān)于x0點(diǎn)的零階差商 2、二階差商 對函數(shù)y=f(x)，記稱為函數(shù)f(x)關(guān)于x0

,x1

,x2三點(diǎn)的二階差商 3、k階差商 對函數(shù)y=f(x)，記稱為函數(shù)f(x)關(guān)于x0

,x1

,…,xk點(diǎn)的k階差商36 4、差商的性質(zhì)（掌握兩條）

性質(zhì)1：k階差商是函數(shù)值的線性組合：

性質(zhì)2：差商只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)37

其插值條件與拉格朗日插值相同。也采用n次多項式插值形式，即將待求的n次插值多項式（用Nn(x)表示）預(yù)設(shè)成如下形式：

然后利用已知的插值條件Nn(xi)=yi=f(xi)來確定其待定系數(shù)a0

,a1

,...,an

：

當(dāng)x=x0時，得Nn(x0)=a0=f(x0)

——即零階差商

當(dāng)x=x1時，得Nn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f(x1)，則有38

a1

——即函數(shù)f(x)關(guān)于x0

,x1兩點(diǎn)的一階差商

當(dāng)x=x2時，得

故有：39

a2

——即f(x)關(guān)于x0

,x1,x2三點(diǎn)的二階差商

同理可依次求得所有待定系數(shù)。且ak為函數(shù)f(x)關(guān)于x0

,x1,…,xk三點(diǎn)的k階差商。

給定n+1個互異插值點(diǎn) ，將各階差商表示的待定系數(shù)代入牛頓插值多項式即得

總結(jié)：牛頓插值的主要任務(wù)即根據(jù)給定插值點(diǎn)的函數(shù)值計算函數(shù)的各階差商，然后可得被插函數(shù)y=f(x)的近似多項式函數(shù)Nn(x)。40

為方便牛頓插值多項式的構(gòu)造，可建立下表所示各階差商計算表。xif(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3,

]………………xnf(xn)f[xn-1,xn]f[xn-2,xn-1,xn]f[xn-3,…,xn]…f[x0,x1,…,xn]41

或者按如下關(guān)于y=sin(x)的形式構(gòu)造差商表：x0.70.91.11.31.51.7sin(x)0.64420.78330.89120.96360.99750.9917 1階差商：0階差商0.64420.78330.89120.96360.99750.99171階差商0.69550.53950.36200.1695-0.02902階差商-0.3900-0.4438-0.4812-0.49623階差商-0.0897-0.0623-0.02504階差商0.034250.046625階差商0.0123742 [例] 已知函數(shù)表如上，分別用兩點(diǎn)、三點(diǎn)牛頓插值多項式計算sin1.0的近似值2階差商：

解：（1）兩點(diǎn) — 取x0=0.9，x1=1.1構(gòu)造一次Newton插值多項式

則有：43

（2）三點(diǎn) — 取x0=0.9，x1=1.1，x2=1.3構(gòu)造一次Newton插值多項式：則

牛頓插值的承襲性

即對差商的計算具有承襲性：增加新插值點(diǎn)，已有差商值并不棄之不用，而是在此基礎(chǔ)上增加更高級差商的計算。44

設(shè)x[a,b]，且是異于x0,x1,...,xn的任一點(diǎn)，那么由這n+2個插值點(diǎn)可構(gòu)成n+1次牛頓插值多項式

由插值條件，當(dāng)t=x時有Nn+1(x)=f(x)，故有：

所以45

由n+1個插值點(diǎn)構(gòu)成n次插值多項式的唯一性可知牛頓插值與拉格朗日插值本質(zhì)上相同，即：Ln(x)Nn(x)

其誤差函數(shù)也應(yīng)該相等，即

由此可得差商的另一表示形式：46牛頓插值算法描述一、數(shù)據(jù)描述

x[]、y[]—分別表示插值點(diǎn)xi及對應(yīng)函數(shù)值yi

f[][]—表示各階差商；第2維下標(biāo)為階數(shù)

b[]—表示各次牛頓插值多項式的值

t、ft—

表示待求插值點(diǎn)、f(t)

n—

表示已知插值點(diǎn)的數(shù)量二、算法要求 為避免高次插值，程序應(yīng)能自動選取8個插值點(diǎn)以構(gòu)造<=7次多項式（參考拉格朗日插值）47二、操作步驟

Step1

輸入數(shù)組x[]和y[]

各元素、t、n

Step2

For

i=0

To

n

Do

/*計算0階差商

*/

f[i][0]=y[i]

EndFor

i Step3 For

i=1To

n

Do /*計算各階差商

*/

For

j=1To

i

Do EndForj EndFori48

Step4

b[n]=f[n][n]

/*累加計算牛頓多項式

*/ Step5 For

k=n

Downto1Do

b[k-1]=f[k-1][k-1]+b[k](t-x[k-1]) EndFork Step6 ft=b[0] Step7 Output(ft)

Stop

編程題：用牛頓插值計算拉格朗日插值實(shí)例49一、高次插值多項式的缺陷：

在構(gòu)造拉格朗日插值和牛頓插值多項式時，得到二者的插值余項（誤差表達(dá)式）為：

表面看來，似乎所采用的插值節(jié)點(diǎn)越多，誤差越小，函數(shù)的逼近效果越好。事實(shí)并非如此。分段插值50 [例] 給定函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)，x[-1,1]，構(gòu)造10次等距插值多項式L10(x)做近似計算。

解：取h=0.2，則xi=-1+0.2i，分別計算L10(xi)和f(xi)，并繪制圖形如下：L10(x)f(x)1-121o51

由上例可知：隨插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，誤差可能不僅不減小，反而不斷增大。----龍格現(xiàn)象。二、出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的原因： 插值節(jié)點(diǎn)數(shù)n較大時，對應(yīng)的插值多項式是高次多項式，此時的數(shù)值計算中的舍入誤差的積累“淹沒”了增加節(jié)點(diǎn)所減少的誤差。

為此引入克服龍格現(xiàn)象的插值方法：

分段插值（分段線性插值、三次樣條插值）52一、定義： 設(shè)有n+1個節(jié)點(diǎn)：a=x0<x1<x2<...<xn=b，將區(qū)間[a,b]分成若干段，且已知函數(shù)值f(xi)（i=0,...,n）。 如果存在函數(shù)P(x)滿足：

（1）P(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）P(xi)=f(xi)；

（3）P(x)在每個小區(qū)間[xi

,xi+q]上是m次插值多項式（i=0,...,n-1,q=1,2…）； 則稱P(x)為f(x)在[a,b]上的分段m次插值多項式。53二、分段線性插值的構(gòu)造方法： 將被插函數(shù)f(x)的插值節(jié)點(diǎn)由小到大排序，使a=x0<x1<x2<...<xn=b，在每對相鄰的兩個節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)的小區(qū)間[xi,xi+1]上用一次多項式去近似f(x)。54一、分段線性插值的優(yōu)缺點(diǎn)：

1、優(yōu)點(diǎn)： 計算簡單、插值曲線連續(xù)，更能逼近函數(shù)；

2、缺點(diǎn)：

各分段的連接處如分段線性插值在連接處常有“尖點(diǎn)”。二、問題：能否找到這樣一種分段插值方法： 只用節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和一些較少的條件就可以構(gòu)造出更具有良好幾何特性（連續(xù)、光滑）的分段多項式函數(shù)。（三次樣條插值即滿足要求）55三、什么是樣條（spline） 樣條原意：一種細(xì)長、有彈性的軟木條（或鋼條），作為工程設(shè)計中的繪圖工具，用來連接一些指定點(diǎn)(xi,

f(xi))，以繪出一條光滑的曲線。 曲線在節(jié)點(diǎn)處很光滑，將它進(jìn)行數(shù)學(xué)描述就得到如下三次樣條函數(shù)的定義：四、三次樣條函數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù)S(x)定義在區(qū)間[a,b]上，且區(qū)間[a,b]由n+1個節(jié)點(diǎn)分劃成n個小區(qū)間并滿足a=x0<x1<x2<...<xn=b

若函數(shù)S(x)滿足下列條件：56

（1）S(x)在[a,b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

（2）S(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]（i=0,1,...,n-1）上至多是一個三次多項式； 則稱S(x)是f(x)在[a,b]上關(guān)于給定分劃的三次樣條插值函數(shù)。

五、三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法 由定義，S(x)在[xi,xi+1]上都是三次多項式Si(x)=aix3+bix2+cix+di

必須確定4個待定系數(shù)。 區(qū)間被分劃成n個小區(qū)間，故S(x)共有4n個待定系數(shù)要確定，就必須找到4n個已知條件。57

最終的樣條插值函數(shù)的分段形式：

1、4n個已知條件如何得到？

（1）由基本插值條件S(xi)=f(xi)，（i=0,1,...,n）提供n+1個條件；

（2）由S(x)在[a,b]上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，即在[a,b]的現(xiàn)有分劃上的每個內(nèi)點(diǎn)上滿足：58

S(xi+0)=S(xi-0)

S’(xi+0)=S’(xi-0) (i=1,2,...,n-1)

S”(xi+0)=S”(xi-0)

共計n-1個內(nèi)點(diǎn)，這樣又得到3(n-1)個條件；

（3）再加上2個邊界條件 共計n+1+3(n-1)+2=4n個已知條件。

2、三類邊界條件：

I）給定兩個端點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)值f”(x0)=M0，f”(xn)=Mn，并令S”(x0)=f”(x0)，S”(xn)=f”(xn)。 特別地，當(dāng)M0=Mn=0時，稱自然邊界條件；59

II）給定在兩個端點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)值 f’(x0)=m0

,f’(xn)=mn,

并令S’(x0)=f’(x0)，S’(xn)=f’(xn)；

III）給定

S(x0)=S(xn)，S’(x0)=S’(xn)，S”(x0)=S”(xn)

稱為“周期性邊界條件”，專用于f(x)是以xn-x0為周期的函數(shù)的樣條插值（不討論）。3、構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)S(x)的兩種方法（1）利用內(nèi)節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的大M方法；（2）利用內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的小m方法；60大M方法 考慮任一小區(qū)間[xi,xi+1]，設(shè)hi=xi+1-xi，Mi=S”(xi)，求出S(x)在[xi

,xi+1]上的表達(dá)式。 <1>由定義，S(x)為三次多項式，則S”(x)為一次多項式，可用一次拉格朗日插值多項式表示：

對上式求兩次積分，并利用基本插值條件S(xi)=f(xi)，S(xi+1)=f(xi+1)

則有如下結(jié)果：61

第一次積分：

第二次積分：

<2>將cx+d改寫成等價的多項式形式：C(xi+1-x)+D(x-xi)則可得S(x)的表達(dá)式如下所示：62

<3>再將已知條件S(xi)=f(xi)，S(xi+1)=f(xi+1)代入上式，即可解出系數(shù)C和D：63

將C和D回代到S(x)

（第二次積分式），得

<4>又由于S(x)在[a,b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)曲線連續(xù)光滑，故有：S’(xi-0)=S’(xi+0)

即在點(diǎn)xi處左右導(dǎo)數(shù)相等。64

在區(qū)間[xi

,xi+1]上S(x)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)為：

而在區(qū)間[xi-1,xi]上S(x)的表達(dá)式為：65

那么在區(qū)間[xi-1,xi]上S(x)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)為：

由

及66

由二者相等可得：67

可得

其中68

<5>再按不同的邊界條件進(jìn)行討論： （1）第I類邊界條件（例如自然邊界條件）：

f”(x0)=f”(xn)，即M0=Mn=0，則上式可改寫為n-1階的線性方程組：

69（2）第II類邊界條件： 給定f’(x0)=S’(x0)=m0，f’(xn)=S’(xn)=mn，將m0和mn依次代入S’(x)在區(qū)間[x0,x1]和[xn-1,xn]中的表達(dá)式，則可得到：

于是得到n+1次線性方程組：70 4、總結(jié) 三次樣條插值的主要任務(wù)是：根據(jù)給定的插值條件和邊界條件，構(gòu)造出大M關(guān)系式（關(guān)于Mi的線性方程組）。而方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)項矩陣各元素由已知插值條件和邊界條件計算而出。71

[例]

給定離散數(shù)值表如下，取M0=M3=0構(gòu)成三次樣條插值的M關(guān)系式，并計算f(1.25)：

xi1.11.21.41.5yi0.40000.80001.65001.8000

解：由題中(xi

,yi)的數(shù)值可得：

h0=0.1，h1=0.2，h2=0.1，

由M0=M3=0的邊界條件，得 72

解得：M1=13.125，M2=-31.875。 將M0=0、M1、M2、M3=0代入?yún)^(qū)間[xi,xi+1]上的S(x)：

特別地：f(1.25)S(1.25)=1.043673一、問題埃爾米特插值

對于被插值函數(shù)y=f(x)，已知如下表所示條件：xix0x1……xnf(xi)f(x0)f(x1)……f(xn)…………

求解插值函數(shù)P(x)，使?jié)M足：

（1）P(xi)=f(xi)

（2）P’(xi)=f’(xi) 74

（3）

P”(xi)=f”(xi) ……

——此即埃爾米特（Hermite）插值二、三次埃爾米特插值H3(x)

對于函數(shù)y=f(x)，已知xix0x1yi=f(xi)y0=f(x0)y1=f(x1)

構(gòu)造三次多項式H3(x)，使?jié)M足插值條件75

方法——將三次多項式H3(x)預(yù)設(shè)為

由插值條件76

由插值條件77

（1）構(gòu)造

令：即能滿足

再由：78

將A、B回代到，其中

同理可得：，其中79

（2）構(gòu)造

令：即能滿足

再由

同理可得：總結(jié)80

例題—用H3(x)近似計算f(x)=lnx在0.60處的函數(shù)值f(0.6)，插值節(jié)點(diǎn)與對應(yīng)函數(shù)值如下表xix0=0.40x1=0.70yi=f(xi)y0=-0.916291y1=-0.356675mi=f’(xi)m0=2.5m1=1.42857

解：81

再將x=0.60代入上式計算即可。

代入下式，即得三次埃爾米特插值多項式：82三、2n+1次埃爾米特插值多項式H2n+1(x)

對于函數(shù)y=f(x)，已知xix0x1……xnyi=f(xi)y0=f(x0)y1=f(x1)……yn=f(xn)……

按下式構(gòu)造2n+1次埃爾米特插值多項式H2n+1(x)83習(xí)題選講習(xí)題1.2求絕對誤差限、相對誤差限及有效數(shù)字 定義（有效數(shù)字與絕對誤差限）： 設(shè)有近似數(shù)x=10k0.a1a2…an或x=10k0.a1a2…,若有|e|=|x*-x|0.510k-n，稱x具有n位有效數(shù)字。

定理（有效數(shù)字與相對誤差限）：若設(shè)有近似數(shù)x=10k0.a1a2…an，若有n位有效數(shù)字，則（相對誤差限）84 1） 0.3012=0.3012100：k=0，有效數(shù)字位數(shù)n=4，則絕對誤差限|e|=|x*-x|0.510k-n=0.510-4

a=3，相對誤差限： 2） 30.12=0.3012102：k=2，有效數(shù)字位數(shù)n=4，則絕對誤差限|e|=|x*-x|0.510k-n=0.510-2 a=3，相對誤差限：85 3） 30.120=0.30120102：k=2，有效數(shù)字位數(shù)n=5，則絕對誤差限|e|=|x*-x|0.510k-n=0.510-3

a=3，相對誤差限： 4） 30120=0.30120105：k=5，有效數(shù)字位數(shù)n=5，則絕對誤差限|e|=|x*-x|