第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點

二、函數(shù)的間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

主要內容：1/15/202311-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點光陰荏苒，物換星移，老友故交相逢，往往慨嘆物是人非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后再見，卻不會發(fā)現(xiàn)彼此有什么變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。因為在較短的時間段內，人的相貌體形不會有太大的變化，因而不易觀察出來，只有當時間跨度較大時，變化才比較明顯。連續(xù)概念的引入??連續(xù)變化現(xiàn)象的幾何特點1/15/202321-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點氣溫隨時間連續(xù)變化的函數(shù)圖形一條連續(xù)的、不間斷的曲線1/15/202331-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

自然界現(xiàn)象中也存在變化不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴的音量、脈沖波電壓隨時間的變化等。反映這種不連續(xù)變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形是一條斷裂的曲線。

脈沖電壓隨時間變化的圖形1/15/202341-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

的圖形在處斷裂歸納:從圖形上分析函數(shù)在一點處連續(xù)和在一點處間斷的不同的數(shù)量特征,進而引出函數(shù)在一點處連續(xù)的定義:的圖形在處連續(xù)的數(shù)量特征:的數(shù)量特征:不存在1/15/202351-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)在一點處連續(xù)可見,函數(shù)在點(1)在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;1/15/202361-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例1證由定義知1/15/202371-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例2證由定義知1/15/202381-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例3證由定義知1/15/202391-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點單側連續(xù)1/15/2023101-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例4解右連續(xù)但不左連續(xù),1/15/2023111-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點設U是一個變量“變量的改變量”—又叫增量起始點終止點增量=1/15/2023121-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的增量1/15/2023131-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點對自變量的增量有函數(shù)的增量函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:（適用于不同題目）1/15/2023141-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點連續(xù)的等價定義1/15/2023151-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點左連續(xù)右連續(xù)當時,有函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:連續(xù)最核心定義（適用于不同題目）1/15/2023161-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點二、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在開區(qū)間內點點連續(xù)的函數(shù),稱為在開區(qū)間內的連續(xù)函數(shù);

在開區(qū)間內點點連續(xù)的函數(shù),且在區(qū)間的左上的連續(xù)函數(shù);端點右連續(xù),在右端點左連續(xù),稱為在閉區(qū)間(2)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.1/15/2023171-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有

基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)函數(shù)。1/15/2023181-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點在在三、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為不連續(xù)點或間斷點

.在無定義

;（題型：給出函數(shù)后，找出間斷點并判別類型）1/15/2023191-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.為間斷點.1/15/2023201-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx1/15/2023211-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第一類間斷點之可去間斷點

、均存在,且為間斷點

.為可去間斷點

.例如:1/15/2023221-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點顯然為其可去間斷點

.例如:1/15/2023231-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例解1/15/2023241-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點如上例中,注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.1/15/2023251-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第一類間斷點之跳躍間斷點

、均存在,且為間斷點.例如:為其跳躍間斷點

.1/15/2023261-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例解1/15/2023271-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第二類間斷點之無窮間斷點

、中至少一個不存在,為間斷點

.且其中有一個為為其無窮間斷點

.例如:1/15/2023281-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例解1/15/2023291-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第二類間斷點之振蕩間斷點

、中至少一個不存在,為間斷點.且其中有一個為振蕩，振蕩間斷點.例:解1/15/2023301-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點狄利克雷函數(shù)在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★注意：不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.1/15/2023311-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★1/15/2023321-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點判斷下列間斷點類型:1/15/2023331-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點例解1/15/2023341-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點解：且但反之不成立.例：但1/15/2023351-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點備用題

確定函數(shù)間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.1/15/2023361-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點作業(yè)

P653;4；61/15/2023371-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式1/15/2023381-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)在一點處的連續(xù)性的定義,強調三個等價的表達式:1/15/2023391-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點思考與練習1.

討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.

設時提示:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點,1/15/2023401-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點P65題5提示:1/15/2023411-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點練習題1/15/2023421-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（P65題4）（3）若既有無窮..x=0，又有可去..x=1