光學(xué) 衍射-光柵衍射

§13-5夫瑯禾費(fèi)多縫衍射

----平面光柵衍射目錄一、光柵衍射現(xiàn)象

1.光柵的概念

2.光柵衍射的圖樣

3.光柵衍射的光強(qiáng)分布

4.光柵衍射光強(qiáng)的討論二、光柵方程三、光柵光譜四、對光柵衍射圖樣的討論五、練習(xí)31.光柵的概念光柵常數(shù)

d=a+b透射光柵O大量等寬等間隔的平行狹縫,稱為光柵.一、光柵衍射現(xiàn)象縫寬—a間隔—bdabPf它反映光柵的空間周期性，其倒數(shù)表示每毫米內(nèi)有多少條狹縫，稱為光柵密度1/N，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)常用（600~1200）/mm的光柵。衍射角廣義地,任何具有空間周期性的結(jié)構(gòu),都可作為光柵.分類:透射光柵、反射光柵、階躍光柵、全息光柵…例如在一塊不透明的板上刻劃出一系列等寬度又等間距的平行狹縫。就是一種簡單的一維透射式光柵。

a透光

b不透光廣義地,任何具有空間周期性的結(jié)構(gòu),都可作為光柵.分類:透射光柵、反射光柵、階躍光柵、全息光柵…作用:色散(分光),光譜分析研究.2.光柵衍射圖樣的形成1）單縫衍射當(dāng)平行光來照射到一條細(xì)長狹縫上出現(xiàn)衍射圖樣時，其光強(qiáng)分布滿足下式：其中光屏上所有最大值和最小值的位置分布僅取決于相應(yīng)的衍射角，并不隨縫的位置的改變而改變。

衍射角相同的光線，會聚在接收屏的相同位置上。OaOa換句話說，單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，不隨縫的上下移動而變化。9

2）多縫干涉如果在平面上開了許多相互平行的同樣寬度的細(xì)長狹縫，則它們會給出與單縫同樣的相互重疊的衍射圖樣，各最大值都在原來位置得到相應(yīng)的加強(qiáng)。

同時，當(dāng)相鄰狹縫對應(yīng)點(diǎn)在衍射角方向上的光程差滿足：dsin

=k

k=0,±1,±2,±3···則它們相干加強(qiáng)，形成明條紋。狹縫越多，條紋就越明亮。ab

qd=a+b

qxf0屏衍射角dsinq10

2）多縫干涉多縫干涉明條紋也稱為主極大明條紋相鄰兩縫間的光程差：

光柵的衍射條紋是衍射和干涉的綜合效果明紋位置如果照射的光是復(fù)色光，則每一波長都將產(chǎn)生和它對應(yīng)的細(xì)窄亮條紋。通常稱為光譜線。11

3.光柵衍射的光強(qiáng)分布

屏

光強(qiáng)計算：波面分割，振幅與位相計算同單縫。面元dx在p點(diǎn)的振動：P點(diǎn)合振動，要完成N各縫的積分：P點(diǎn)合振幅：令稱為衍射因子稱為干涉因子光強(qiáng)：關(guān)于光強(qiáng)分析：I=I1I2——單縫衍射——多光束干涉可見光柵衍射的光強(qiáng)是單縫衍射圖樣和縫間干涉因子的乘積。單縫衍射因子對干涉主最大起調(diào)制作用。4.多縫衍射光強(qiáng)的討論4.1干涉因子(1)干涉主極大:即(光柵方程)在屏幕的中心光強(qiáng)取得極大值:（2）干涉極小對于干涉因子：光強(qiáng)為

其中：I0為一個單縫在上的光強(qiáng)。當(dāng)，而時,或因此極小的位置滿足兩個極小之間有一個次極大,在實(shí)際工作中,N是個很大的數(shù),干涉因子分子比分母變化得快得多,因此,當(dāng)N很大時,可近似認(rèn)為極大位于sinNv取極大值的那些點(diǎn).即＊(3)干涉次極大或因此,在兩個干涉主極大之間有(N-2)個干涉次極大.例如0和1級干涉主極大之間,次極大分別位于18

（4）次最大的角位置和數(shù)目次最大的角位置可由求得可以證明，各級次最大的光強(qiáng)遠(yuǎn)比主最大弱得多。其值不超過零級主最大的1/23，所以次最大和暗紋實(shí)際上混成一片，形成光強(qiáng)很弱的黑暗背景。對于總縫數(shù)N很大的光柵，次級大完全觀察不到。因?yàn)樵趦上噜徶髯畲笾g有N－1個暗紋，而相鄰兩零光強(qiáng)暗紋之間應(yīng)有一個次最大。因此，兩相鄰主最大之間必有N－2個次最大。4.2考慮衍射因子若在某衍射方向是n級衍射極小,又是m級干涉主極大,則有由于衍射因子由上面兩方程,得第m級干涉主極大被n級衍射極小調(diào)制掉,我們稱這種現(xiàn)象叫作缺級.例如則等級次被調(diào)制掉,條紋不出現(xiàn).4.3光柵光強(qiáng)分布曲線22k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6缺級：k=±3,±6,±9,...缺級光柵衍射第三級極大值位置單縫衍射第一級極小值位置4.4主極大缺級23綜上：光柵衍射圖樣是由來自每一個單縫上許多子波以及來自各單縫對應(yīng)的子波相干疊加而形成。因此，它是單縫衍射和多縫干涉的總效果。也即，光柵衍射圖樣是多光束干涉光強(qiáng)分布受單縫衍射光強(qiáng)分布調(diào)制的結(jié)果。4.5主極大的半角寬度m級主極大m級主極大旁第一個極?。╩’=1)上兩式相減：很?。?.6雙縫衍射縫間干涉因子楊氏雙縫干涉結(jié)果實(shí)際上，的條件很難滿足，所以雙縫干涉也必然受到單縫衍射的影響。如圖所示楊氏雙縫干涉結(jié)果4.7干涉和衍射的區(qū)別與聯(lián)系☆參與疊加的光束本身的傳播行為可近似認(rèn)為直線傳播時，屬純干涉問題。如不能用直線傳播描述時，即本身存在衍射，則首先考慮衍射☆衍射可以看做是無窮多次波的疊加，而干涉只是有限多光束的疊加。衍射是精細(xì)的，干涉是粗略的?！罡缮婧脱苌涠际遣ǖ寞B加。27二.光柵方程

—光柵方程1.平行光垂直入射時上式表示了衍射光柵所產(chǎn)生譜線的位置，j—譜線的級數(shù)。2.平行光傾斜入射時與0在法線同側(cè)時取“＋”；與0在法線異側(cè)時取“－”。28

如果入射光是包含幾種不同的波長的復(fù)色光，則除零級以外，各級主最大的位置各不相同。我們將可以看到在衍射圖樣中有幾組不同顏色的譜線，分別對應(yīng)于不同的波長。如果入射光中包含兩個十分接近的波長與’，由于色散,它們各有一套窄而亮的主極大。由光柵的主極大滿足光柵方程波長相差越大，級次越高,則分得越開。I

sin

0級

1級

2級

3級

’

三.光柵光譜29

如果是白光，則光柵光譜中除零級仍為一條白色亮線外，其它各色譜線都排列成連續(xù)的譜帶，第二、三級后可能發(fā)生重疊。如圖把波長不同的同級譜線集合起來構(gòu)成一組譜線，稱為光柵光譜。紫紅紫紫紫紫紫紅紅紅紅紅30四.對光柵衍射圖樣的幾點(diǎn)討論①條紋特點(diǎn):細(xì)銳、明亮.——光譜線.(I正比于N2;(N-1)個極小,(N-2)個次極大.)②光柵光譜——按波長排列的譜線.復(fù)色光入射,不同波長的主極大的角位置不同;每一k級都有一組.(無零級.)③光譜的重疊:當(dāng)兩波長的光同時滿足：在該衍射方向上兩波長對應(yīng)的和級重疊，稱為重級現(xiàn)象。31氫原子、汞原子、氦原子的發(fā)射光譜32xf0θ33xf0θ34xf0θ35xf0θ實(shí)驗(yàn)中常采用“缺級”的方法來克服重級現(xiàn)象。如420nm的第三級譜線與630nm的第二級譜線重疊，可用的光柵使其第二級譜線缺級，順利地對420nm的光譜進(jìn)行測量。也可用濾色片將630nm的光濾掉（即吸收），來避免重級。小結(jié)：光柵衍射（多縫衍射）光強(qiáng)公式(1)干涉主極大:(光柵方程)（2）干涉極小可見，在兩個主極大之間有N－1個極小。＊(3)干涉次極大因此,在兩個干涉主極大之間有(N-2)個干涉次極大.（4）缺級例如則等級次被調(diào)制掉,條紋不出現(xiàn).總之,光柵光強(qiáng)是多光束干涉被單縫衍射調(diào)制的結(jié)果.（5）主極大的半角寬度P41819題4344例題1.某單色光垂直入射到一每厘米刻有6000條縫的光柵上,如果第一級譜線的偏角為20°,試問入射光的波長如何？它的笫二級譜線將在何處？解:由光柵方程得再由得45例題2使波長為480nm的單色光垂直入射到每毫米刻有250條狹縫的光柵上，光柵常量為一條縫寬的3倍.求:(1)第一級譜線的角位置;(2)總共可以觀察到幾條光譜線?解:(1)根據(jù)光柵方程,取k=1,(2)可見k的最大可能值對應(yīng)sinθ=1.K只能取整數(shù)，故取k=8，總共可有2k+1=17條明紋.（加1是指中央明紋）再考慮缺級,d=3a,故±3,±6將缺級.實(shí)際將觀察到17-4=13條光譜線.46解：設(shè)紫光波長為λ=400nm,紅光波長λ′=760nm.按光柵方程dsinθ=kλ,對第k級光譜，角位置從θk到θ′k

，要產(chǎn)生完整的光譜，即要求λ（短）的第(k+1)級條紋在λ′（長）的第k級條紋之后（外側(cè)），亦即由例題3利用一個每厘米刻有4000條縫的光柵，在白光垂直照射下，可以產(chǎn)生多少條完整的光譜？問哪一級光譜中的哪個波長的光開始與其它譜線重合？47得或代入數(shù)據(jù)只有k=1才滿足上式，即只能產(chǎn)生一級完整光譜，而第二級和第三級光譜即有重疊現(xiàn)象出現(xiàn).設(shè)第二級光譜中波長為λ′′（長）的光和第三級光譜開始重疊，即與第三級中λ（短）的紫光開始重疊，則有得48

例題4已知平面透射光柵夾縫的寬度a=1.582*10-3nm,若以波長的氦氖激光垂直入射在這個光柵上，發(fā)現(xiàn)第四級缺級，會聚透鏡的焦距為1.5m,試求：（1）屏幕上第一級亮條紋與第二級亮條紋的距離。（2）屏幕上所呈現(xiàn)的全部亮條紋數(shù)。解：（1）設(shè)光柵中相鄰兩縫間不透明部分的寬度均等于b，光柵常數(shù)d=a+b，由第四級缺級。則有d=4a=1.58×4×10-3=6.328×10-3mm

且±4，±8，±12，…的級次都缺級。49

由光柵方程可知，第一級亮條紋和第二級亮條紋的角位置為：

若會聚透鏡的焦距為f,則它們距中央亮條紋的中心位置的距離為：

50

因此二者之間距為：當(dāng)很小時，51

若考慮到j(luò)=±4，±8缺級，而j＝10實(shí)際上看不到。則屏幕上呈現(xiàn)的全部亮條紋數(shù)為

（2）由光柵方程：當(dāng)sin＝1時，j最大，則52例5.

用每毫米刻有500條柵紋的光柵觀察鈉光譜線（λ=589.3nm）.問（1）平行光垂直入射時；（2）平行光線以30°角斜入射時，最多能看到第幾級條紋？總共能看到多少條條紋？解：（1）垂直入射，由光柵方程dsinθ=kλ得可見k的最大可能值對應(yīng)sinθ=1.按題意，每毫米刻有500條柵紋，所以光柵常量將上值及λ、sinθ=1代入k式，得53K只能取整數(shù)，故取k=3，即垂直入射時能看到第三級條紋，總共有2k+1=7條明紋.（加1是指中央明紋）54例題6.波長600nm的單色光垂直入射在一光柵上,第二級明條紋出現(xiàn)在sinθ=0.20處,第四級缺級,試問:(1)光柵上相鄰兩縫的間距d有多大？(2)光柵上狹縫可能的最小寬度a有多大？(3)按上述選定的a、b值,試問在光屏上可能觀察到的全部級數(shù)是多少？分析:光柵的多光束干涉主極大光強(qiáng)受單縫衍射光強(qiáng)的調(diào)制.干涉主極大位置由光柵方程決定.干涉主極大與衍射極小在位置上重合時,該級干涉主極大不存在,稱為缺級.因此,缺級可根據(jù)光柵方程和單縫衍射的暗紋條件求得.解:(1)由光柵方程得55(2)根據(jù)缺級條件,有取,得(3)由光柵方程令sinθ=1,解得:即k=0,±1,±2,±3,±5,±6,±7,±9時出現(xiàn)明條紋;±4,±8

,缺級;±10明條紋在θ=90°處,實(shí)際不可見.光屏上可觀察到的全部主極大譜線數(shù)有15條.作業(yè)：1.P418,21題2.以縱坐標(biāo)表示強(qiáng)度，橫坐標(biāo)表示屏上的位置，粗略地畫出三縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。設(shè)縫寬為a，相鄰縫間的距離為d，d=3a.3.白光垂直照射到一個每毫米250條刻痕的平面透射光柵上，試問在衍射角30o處會出現(xiàn)哪些波長的光？57§X射線衍射布喇格公式1.

X

射線AK高壓1895年德國的倫琴發(fā)現(xiàn)X射線。原子內(nèi)殼層電子躍遷產(chǎn)生的一種輻射和高速電子在靶上驟然減速時伴隨的輻射，稱為X射線。其特點(diǎn)是：#在電磁場中不發(fā)生偏轉(zhuǎn)；#穿透力強(qiáng)；#波長較短的電磁波；范圍在0.001nm~10nm之間；#具有化學(xué)、生物反應(yīng)作用。582.

X

射線晶體衍射

天然晶體可以看作是光柵常數(shù)很小的空間三維衍射光柵。1912年勞厄的實(shí)驗(yàn)裝置，如圖：BCP鉛版天然晶體乳膠板在乳膠板上形成對稱分布的若干衍射斑點(diǎn)，稱為勞厄斑。1913年英國物理學(xué)家布喇格父子提出一種簡化了的研究X射線衍射的方法，與勞厄理論結(jié)果一致。593.

布喇格公式同一晶面上相鄰原子散射的光波的光程差為AD-BC=0，它們相干加強(qiáng)。若要在該方向上不同晶面上原子散射光相干加強(qiáng)，則必須滿足：CDMNPAB123d即當(dāng)