2007年高考文科數學試題及參考(北京卷)

2007年一般高等學校招生全國一致考試數學（文史類）（北京卷）本試卷分第I卷（選擇題）和第II（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至9頁，共150分．考試時間120分鐘．考試結束，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題共40分）注意事項：1．答第I卷前，考生務勢必自己的姓名、準考據號、考試科目涂寫在答題卡上．2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其余答案．不可以答在試卷上．一、本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函數f(x)x(0x≤2)的反函數的定義域為（）3Ａ．(0，)Ｂ．(1，9]Ｃ．(0，1)Ｄ．[9，)3．函數f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（）Ａ．πＢ．πＣ．2πＤ．4π24．橢圓x2y21(ab0)的焦點為F1，F2，兩條準線與x軸的交點分別為M，N，a22b若MN≤F1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）Ａ．0，1Ｂ．0，2Ｃ．1，Ｄ．2，22225．某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字構成，此中4個數字互不同樣的牌照號碼共有（）Ａ．C124個Ｂ．A262A104個A26101242410Ｃ．C26個Ｄ．A2610個xy5≥，6．若不等式組y≥a，表示的平面地區(qū)是一個三角形，則a的取值范圍是（）0≤x≤2Ａ．a5Ｂ．a≥7Ｃ．5≤a7Ｄ．a5或a≥7共10頁第1頁7．平面∥平面的一個充分條件是（）Ａ．存在一條直線，a∥，a∥Ｂ．存在一條直線a，a，a∥Ｃ．存在兩條平行直線a，b，a，b，a∥，b∥Ｄ．存在兩條異面直線a，b，a，a∥，b∥8．對于函數①f(x)x2，②f(x)(x2)2，③f(x)cos(x2)，判斷以下兩個命題的真假：命題甲：f(x2)是偶函數；命題乙：f(x)在(，)上是減函數，在(2，)上是增函數；能使命題甲、乙均為真的全部函數的序號是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③2007年一般高等學校招生全國一致考試數學（文史類）（北京卷）第II卷（共110分）注意事項：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．f(x)是f(x)1x32x1的導函數，則f(1)的值是．310．若數列an的前n項和Snn210n(n1，2，3，)，則此數列的通項公式為．11．已知向量，，，．若向量b(a+b)，則實數的值是a=24b=11．12．在△ABC中，若tanA1150，BC1，則AB．，C313．2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是我國以古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么cos2的值等于．共10頁第2頁14．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出x123x123f(x)211f(x)321則f[g(1)]的值為；當g[f(x)]2時，x．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題共12分）記對于x的不等式xa0的解集為P，不等式x1≤1的解集為Q．1I）若a3，求P；II）若QP，求正數a的取值范圍．16．（本小題共13分）數列an中，a12an1ancn（c是常數，n1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數列．（I）求c的值；A（II）求an的通項公式．17．（本小題共14分）如圖，在Rt△AOB中，OABπ4．Rt△AOC可，斜邊AB6以經過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉獲得，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中點．（I）求證：平面COD平面AOB；（II）求異面直線AO與CD所成角的大?。?8．（本小題共12分）某條公共汽車線路沿線共有11個車站（包含起點站和終點站），在起點站開出的一輛公共汽車上有6位乘客，假定每位乘客在起點站以外的各個車站下車是等可能的．求：I）這6位乘客在其不同樣的車站下車的概率；II）這6位乘客中恰有3人在終點站下車的概率；19．（本小題共14分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線訂交于點M(2，0)，AB邊所在直線的方程為x3y60點T(1，1)在AD邊所在直線上．共10頁第3頁

DOBCyCTDMNOBxAI）求AD邊所在直線的方程；II）求矩形ABCD外接圓的方程；（III）若動圓P過點N(2，0)，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．20．（本小題共14分）已知函數ykx與yx22(x≥0)的圖象訂交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分別是yx22(x≥0)的圖象在A，B兩點的切線，M，N分別是l1，l2與x軸的交點．（I）求k的取值范圍；（II）設t為點M的橫坐標，當x1x2時，寫出t以x1為自變量的函數式，并求其定義域和值域；（III）試比較OM與ON的大小，并說明原由（O是坐標原點）．共10頁第4頁2007年一般高等學校招生全國一致考試數學（文史類）（北京卷）參照答案一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）題號12345678答案CBBDACDC1．∵costan0，∴當cosθ<0，tanθ>0時，θ∈第三象限；當cosθ>0，tanθ<0時，θ∈第四象限，選C。2．函數f(x)3x(0x≤2)的反函數的定義域為原函數的值域，原函數的值域為(1，9]，∴選B。3．函數f(x)sin2xcos2x=2sin(2x4)，它的最小正周期是π，選B。4．橢圓x2y2221(ab0)的焦點為F1，F2，兩條準線與x軸的交點分別為M，N，ab22若|MN|2a，|F1F2|2c，MN≤F1F2，則a2c，該橢圓離心率e≥2，取cc2值范圍是2，，選D。2Ａ．0，1Ｂ．0，2Ｃ．1，Ｄ．2，22225．某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字構成，此中4個數字互不同樣的牌C2612照號碼共有A104個，選A。6．如圖，不等式組xy5≥，0≤x≤表示的平面地區(qū)是一個梯形，2它的一個極點坐標是(2，7)，用平行于x軸的直線y≥a截梯形得到三角形，則a的取值范圍是5≤a7，選C。7．平面∥平面的一個充分條件是存在兩條異面直線

2,75x02a，b，a，a∥，b∥，選Ｄ．8．對于函數①f(x)x2，函數f(x2)|x4不|是偶函數，對于函數③f(x)cosx(，2是)一個周期函數，周期是2π，不行能在(，)上是減函數，在(2，)上是增函數；因此函數①③都不符合條件，只有函數②f(x)(x2)2，能使命題甲、乙均共10頁第5頁為真，選C。二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）題號91011121314答案32n1131071，12529．f(x)是f(x)1x32x1的導函數，f'(x)x22，則f(1)=3．310．若數列an的前n項和2，，，)，數列為等差數列，數列的通項公Snn10n(n123式為anSnSn1=2n11．11．已知向量a=，，=，．向量ab(2,4)，b(a+b)，則24b112+λ+4+λ=0，實數=－3．1，C150，∴A為銳角，sinA1，則12．在△ABC中，若tanA，BC1310BCsinC10。．依據正弦定理AB=sinA213．圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴每一個直角三角形的面積是6，a2b225設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，則1，∴兩條直角邊的長分別為3，ab624，直角三角形中較小的銳角為47，cosθ=，cos2θ=2cos2θ－1=。52514．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出x123x123f(x)211f(x)321則f[g(1)]=f(3)1；當g[f(x)]2時，f(x)2，x1．三、解答題（本大題共6小題，共80分）15．（共12分）解：（I）由x30，得Px1x3．x1共10頁第6頁（II）Qxx1≤1x0≤x≤2．由a0，得Px1xa，又QP，因此a2，即a的取值范圍是(2，)．16．（共13分）解：（I）a2，a22c，a323c，1因為a1，a2，a3成等比數列，因此(2c)22(23c)，解得c0或c2．當c0時，a1a2a3，不符合題意舍去，故c2．（II）當n≥2時，因為a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，因此ana1[12n(n1)(n1)]cc．2又a12，c2，故an2n(n1)n2n2(n2，3，)．當n1時，上式也成立，因此ann2n2(n1，2，)．17．（共14分）解法一：（I）由題意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD．平面COD平面AOB．（II）作DEOB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，CDE是異面直線AO與CD所成的角．在Rt△COE中，CO1BO1，BO2，OE2CECO225．COE

ADEOB共10頁第7頁又DE13．AO2在Rt△CDE中，tanCDECE515．DE33異面直線AO與CD所成角的大小為arctan15．3解法二：（I）同解法一．（II）成立空間直角坐標系Oxyz，如圖，則O(0，0，0)，A(0，0，23)，C(2，0，0)，D(0，1，3)，zOA，，3)，CD(2，1，3)，(002Acos，OACDOACDOACDD66．23224異面直線AO與CD所成角的大小為arccos6．4OBy18．（共13分）xC解：（I）這6位乘客在互不同樣的車站下車的概率為6PA101512≥.1512．661010（II）這6位乘客中恰有3人在終點站下車的概率為C639314580.01458．P66101019．（共14分）解：（I）因為AB邊所在直線的方程為x3y60，且AD與AB垂直，因此直線AD的斜率為3．又因為點T(1，1)在直線AD上，因此AD邊所在直線的方程為y13(x1)．3xy20．共10頁第8頁x3y6，（II）由y解得點A的坐標為(0，2)，3x2=0因為矩形ABCD兩條對角線的交點為M(2，0)．因此M為矩形ABCD外接圓的圓心．又AM(22(0222．0)2)從而矩形ABCD外接圓的方程為(x2)2y28．（III）因為動圓P過點N，因此PN是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，因此PMPN22，即PMPN22．故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為22的雙曲線的左支．因為實半軸長a2，半焦距c2．因此虛半軸長bc2a22．22從而動圓P的圓心的軌跡方程為xy1(x≤2)．2220．（本小題共14分）解：（I）由方程ykx，消y得x2kx20．·····①y2x2依題意，該方程有兩個正實根，2，故k822．0解得kx1x2k，0（II）由f(x)2x，求得切線l1的方程為y2x1(xx