采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型

6.2采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型脈沖傳遞函數(shù)6.2.1采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

1、環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的定義說明：對零初始條件的理解與傳遞函數(shù)一樣；只有采樣信號之間才有脈沖傳遞函數(shù)的概念；總是認為系統(tǒng)輸出處帶有同步虛擬采樣開關(guān)。在零初始條件下，輸出脈沖序列c*(t)的z變換C(z)與輸入脈沖序列r*(t)的z變換R(z)之比2、脈沖傳遞函數(shù)的物理意義

式中g(shù)(t)為系統(tǒng)的脈沖響應，也是G(s)的反拉氏變換；設直接作用在對象上的信號是r*(t)

輸出量c*(t)為采樣時刻t=kT(k=0,1,2…)的值可由下式求得

當n>k時，零初始條件有g(shù)(kT-nT)=0,故上式可寫為

根據(jù)z變換的卷積定理有

其中C(z)為c(nT)的z變換，G(z)為g(nT)的z變換，R(z)為r(nT)的z變換。采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)就是連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應序列的z變換。脈沖響應g(t)拉氏變換傳遞函數(shù)G(s)采樣脈沖響應序列g(shù)(nT)z變換脈沖傳遞函數(shù)G(z)z反變換反拉氏變換例：如圖所示，已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求G(z)

解：反拉氏變換求出g(t),利用部分分式展開反拉氏變換對g(t)求z變換由于G(s)和G(z)的原函數(shù)分別是脈沖響應g(t)和與之對應的采樣序列g(shù)*(t)，所以可以省去反拉氏變換這一步，直接從G(s)的部分分式各項求出對應的G(z)的各項。3、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣拉氏變換的一個重要性質(zhì)若采樣函數(shù)的拉氏變換與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換相乘后再離散化，則可以從離散符號中提出來，即(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)

由于r*(t)、y*(t)、c*(t)都存在，所以R(z)、Y(z)、C(z)都存在，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)為如果采樣系統(tǒng)有n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)，并且相鄰兩個環(huán)節(jié)之間均有同步采樣開關(guān)，那么等效脈沖傳遞函數(shù)等于n個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)

G1(s)和G2(s)之間沒有采樣開關(guān)，所以y*(t)不存在，因此Y(z)也不存在，沒有G1(z)和G2(z)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)為例1：如圖所示，求G(z)解：G1(s)和G2(s)之間有采樣開關(guān)，例2：如圖所示，求G(z)解：G1(s)和G2(s)之間沒有采樣開關(guān)，所以不存在G1(z)和G2(z)對應的z變換采樣開關(guān)的位置不同，脈沖傳遞函數(shù)是不一樣的。4、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

首先說明： 不是所有的采樣系統(tǒng)都有閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的，取決于采樣開關(guān)的位置。(1)誤差采樣閉環(huán)采樣系統(tǒng)

誤差采樣就形同檢測量和參考輸入有同步采樣開關(guān)。輸出處認為有同步虛擬采樣開關(guān)，虛擬的含義是表明C(z)存在，但在G(s)和H(s)之間不存在采樣開關(guān)連續(xù)輸出信號的拉氏變換為：對誤差信號離散化整理得誤差脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為為誤差采樣系統(tǒng)的特征方程其中對上面兩式取z變換，得注意：閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能從連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)求z變換獲得，即例：如圖所示，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：誤差采樣結(jié)構(gòu)。等同于檢測與參考輸入有采樣開關(guān)，而G

(s)和H

(s)之間有采樣開關(guān)，相當于各個環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān)。特征方程為，與前例不相同。采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和特征方程沒有通式(2)誤差處沒有采樣開關(guān)的系統(tǒng)在誤差點沒有采樣開關(guān)，因此不能在輸入端虛設采樣開關(guān)，系統(tǒng)不存在R(z)。此時，系統(tǒng)不存在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。整理得所以輸出有從采樣開關(guān)開始按照箭頭方向直到下一個采樣開關(guān)。例：如圖所示，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：從采樣開關(guān)開始按照箭頭方向直到下一個采樣開關(guān)終止?；蛘哒f是根據(jù)采樣開關(guān)后面的采樣信號關(guān)系列寫方程。注意幾點：脈沖傳遞函數(shù)是定義在兩個采樣信號之間的；采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和特征方程不僅和結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與采樣開關(guān)的位置有關(guān)；當輸入以及誤差處沒有采樣開關(guān)時，R(z)不