等腰、直角、相似三角形的存在性問題解題策略

等腰三角形的存在性問題解題策略主講人：成炎森專題攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況

已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分錢。

解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快。

幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算。

代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗。例題解析例1如圖1-1，在平面直角坐標系xOy中，已知點D的坐標為（3，4），點P是X軸正半軸上的一個動點，如果△DOP是等腰三角形，求點P的坐標?！窘馕觥?/p>

分三種情況討論等腰三角形△DOP：①DO=DP，②OD=OP，③PO=PD。

①當DO=DP時，以D為圓心、DO為半徑畫圓，與X軸的正半軸交于點P，此時點D在OP的垂直平分線上，所以點P的坐標為（6，0）（如圖1-2）

上面是幾何法的解題過程，我們可以看到，畫圖可以幫助我們快速找到目標P，其中①和②畫好圖就知道答案了，只需要對③進行計算。

代數(shù)法先設點P的坐標為（X，0），其中X＞0，然后羅列△DOP的三邊長（的平方）。DO2=52，OP2=X2，PD2=(X-3)2+42

①當DO=DP時，52=(X-3)2+42，解得X=6，或X=0。

當X=0時既不符合點P在X軸的正半軸上，也不存在△DOP。

②當OD=OP時，52=X2，解得X=±5，當X=-5時等腰三角形DOP是存在的，但是點P此時不在X軸的正半軸上（如圖1-5）

③當PO=PD時，X2=(X-3)2+42，這是一個一元一次方程，有唯一解，它的幾何意見是兩條直線（X軸和OD的垂直平分線）有且只有一個交點。

代數(shù)法不需要畫三種情況的示意圖，但是計算量比較大，而且要進行檢驗。

例2如圖2-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時由停止運動，在P、Q兩點移動的過程中，當△PQC為等腰三角形時，求t的值?！窘馕觥?/p>

在P、Q兩點移動的過程中，△PQC的6個元素（3個角和3條邊）中，唯一不變的就是∠PCQ的大小，夾∠PCQ的兩條邊CQ=t，CP=10-2t，因此△PQC符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個∠C就可以了，在∠C的邊上取點P或Q畫圓。

這道題中，我們從“有限”的矩形中，選擇我們需要的“無限”的∠PCQ，使得畫圖簡潔，計算簡練。例3

如圖3-1，直線y=2x+2與X軸交于點A，與y軸交于點B，點P是X軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，如果△APQ是等腰三角形，求點P的坐標?！窘馕觥?/p>

我們先用代數(shù)法解這道題

由y=2x+2得，A（-1，0），B（0，2），所以OA=1，OB=2。

如圖3-2，由于∠QPA=∠ABO，所以OP:OQ=OB:OA=2:1

設點Q的坐標為（0，m），那么點P的坐標為（2m，0）因此AP2=（2m+1）2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2

我們再用幾何法驗證代數(shù)法，并進行比較，如圖3-3，在直線PQ平移的過程中，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可知∠QPO的大小是不變的，因此△PQA也符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個∠P，點P在點A的右側，暫時不畫y軸（如圖3-4）

①如果AP=AQ，以A為圓心、AP為半徑畫圓，得到點Q（如圖3-5），因為點Q在y軸上，于是“奇跡”出現(xiàn)了，點A（-1，0）怎么可以在y軸的右側呢？

我們可以體驗到，幾何法可以快速找到目標，而且計算比較簡便。例4

如圖4-1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點，P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D，當△APD是等腰三角形時，求m的值。【解析】

點P（0，m）在運動的過程中，△APD的三個角都在變化，因此不符合幾何法“邊角邊”的解題條件，我們用代數(shù)法來解。因為PC∥DB，M是BC的中點，所以BD=CP=2-m，所以D（2，4-m）

于是我們可以羅列出△APD的三邊長（的平方）：AD2=(4-m)2，AP2=m2+4,PD2=22+(4-2m)2

例5如圖5-1，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，∠ADE=∠B，設BD的長為X，如果△ADE為等腰三角形，求X的值。【解析】

在△ADE中，∠ADE=∠B大小確定，但是夾∠ADE的兩條邊DA、DE用含有x的式子表示太麻煩了。

本題的已知條件∠ADE=∠B=∠C非常典型，由于∠ADC=∠ADE+∠1，∠ADC=∠B+∠2，∠ADE=∠B，所以∠1=∠2，于是得到典型結論△DCE∽△ABD

直角三角形的存在性問題解題策略專題攻略

解直角三角形存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根。

一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程。

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便。

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起。

如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便。

在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用到，怎樣畫直角三角形的示意圖？如果已知直角邊，那么過直角邊的兩個端點畫垂線，第三個頂點在垂線上；如果已知斜邊，那么以斜邊為直徑畫圓，直角頂點在圓上（不含直徑的兩個端點）例題解析

【解析】

我們看到，在畫圖時，無須受到△ABC的“限制”，只需要取其確定的∠B

【解析】

【解析】A、B兩點是確定的，以線段AB為分類標準，分三種情況.如果線段AB為直角邊，那么過點A畫AB的垂線，與第一象限內的一支雙曲線沒有交點；過點B畫AB的垂線，有1個交點。以AB為直徑畫圓，圓與雙曲線有沒有交點呢？先假如有交點，再列方程，方程有解那么就有交點，如果是一元二次方程，那么可能是一個交點，也可能是兩個交點。由題意，得點B的坐標為（2，0）,且∠BAP不可能成為直角。

例4如圖4-1，已知直線y=kx-6經過點A(1，-4),與x軸相交于點B.若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標?！窘馕觥?/p>

和例題3一樣，過A、B兩點分別畫AB的垂線，各有1個點Q

和例題3不同，以AB為直徑畫圓，圓與y軸有沒有交點，一目了然，而圓與雙曲線有沒有交點，是徒手畫雙曲線無法肯定的

將A(1，-4)代入y=kx-6,可得k=2.所以y=2x-6,B(3,0).設OQ的長為m分三種情況討論直角三角形ABQ:

三種情況的直角三角形ABQ，直角邊都不與坐標軸平行，我們以直角頂點為公共頂點，構造兩個相似的直角三角形，這樣列比例方程比較簡便。

已知A（1，-4）、B(3，0),設Q（0，n）,那么根據(jù)兩點間的距離公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，在按照斜邊為分類標準列方程，就不用畫圖進行“盲解”了

【解析】

【解析】

這道題目畫示意圖有技巧的，如果將點D看作主動點，那么CE就是從動線段，反過來畫圖，點E在以CA為半徑的⊙C上，如果把點E看作主動點，再畫∠ACE的平分線就產生點D了。

（3）因為DA=DE，所以只存在∠ADE=90°的情況。

①如圖6-5，當E在AB下方時，根據(jù)對稱性，知∠CDA=∠CDE=135°

此時△CDH是等腰直角三角形，DH=CH=3，所以AD=AH-DH=1

②如圖6-6，當E在AB上方時，根據(jù)對稱性，知∠CDA=∠CDE=45°,此時△CDH是等腰直角三角形，DH=CH=3，所以AD=AH+DH=7相似三角形的存在性問題解題策略專題攻略

相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等。

判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步；尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗，如例題1、2、3、4。

應用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等，如例題6。

應用判定定理3解題不多見。如例題5，根據(jù)三邊對應成比例列連比式解方程（組）。例題解析

【解析】

【解析】

【解析】

【解析】

③如圖4-4，當點P在BA的延長線上時，∠B與∠PCA不可能相等.在△AOB中，根據(jù)大邊對大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一個外角，∠BAO＞∠PCA.

【解法二】如圖5-2，△AOB是確定的，△AOB與△EOD有公共點O，OB:OD＝1:2,∠BOD＝90°如果△EOD∽

△AOB，我們可以把△AOB繞著點O順時針旋轉，使得點B′落在OD上，此時旋轉角為90°，點B′恰好落在OD的中點。按照這個運動規(guī)則，點A（1，4）繞著點O順時針旋轉90°，得到點A′（4，-1），點A′是線段OE的中點，因此點E的坐標為（8，-2）如圖5-3，點E（8，-2）關于直線OD（即直線y=-X）對稱的點為E′（2，-8）

【解析】

我們另起爐灶，按照判定定理1來解決

△ABP與△FBD有公共角∠B，我們以∠D為分類標準，分兩種情況討論它們相似：

第一種情況，如圖6-3，∠BAP=∠D是不可能的，這是因為∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP=2∠D