概率論第一章1-2

§4古典概型檢驗(yàn)：古典概型若隨機(jī)試驗(yàn)E滿足：

①樣本空間S

只含有有限個(gè)元素:S={e1,…,en}

②試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的.基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,……；第m種方式有nm種方法,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如：從北京到上海可以坐火車也可以坐飛機(jī)，如果每日火車有3個(gè)班北京上海飛機(jī)有2個(gè)班次則此人有3+2=5種方法從北京到上海。則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，例如:有一位女士有二件上衣和三條裙子則該女士可以有幾種打扮方式。紅白蘭綠黑2×3=6種打扮3有重復(fù)排列從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，共有nk種排列方式.nnnn12k4無(wú)重復(fù)排列從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，共有排列方式:nn-1n-2n-k+112kk=n時(shí)稱全排列n個(gè)不同元素中任取k個(gè)元素的排列數(shù)5組合：從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)元素并成一組（不考慮其間順序）稱為一個(gè)組合，此種組合總數(shù)為：排列與組合關(guān)系式：6分組：n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個(gè)元素r2個(gè)元素rk個(gè)元素…n個(gè)元素因?yàn)?/p>

例1

一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只?？紤]兩種取球方式：

(a)放回抽樣第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

(b)不放回抽樣第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：1）取到的兩只都是白球的概率；

2）取到的兩只球顏色相同的概率；

3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

取球問(wèn)題說(shuō)明：取球問(wèn)題中，球，產(chǎn)品，人等一般都認(rèn)為是可辨的。

解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)基本事件。設(shè)A=“取到的兩只都是白球”，

B=“取到的兩只球顏色相同”，

C=“取到的兩只球中至少有一只是白球”。

(a)有放回抽樣:樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n=6×6=36（是可重復(fù)排列）(b)無(wú)放回抽樣:法一(排列）：樣本空間S中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)重復(fù)排列(b)無(wú)放回抽取:

（所求事件中沒(méi)有順序的要求）法二(組合）：樣本空間S中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

例2

一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只?？紤]兩種取球方式：

(a)放回抽樣第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

(b)不放回抽樣第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：第一次取紅球，第二次取白球的概率D={第一次取紅球，第二次取白球}

解:樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n=6×6=36（是可重復(fù)排列）(a)有放回抽樣:D={第一次取紅球，第二次取白球}(b)無(wú)放回抽樣:(排列）：樣本空間S中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)重復(fù)排列注：試驗(yàn)不同樣本空間不同，A中所含樣本點(diǎn)數(shù)不同。

例3

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，問(wèn)其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?（不放回抽樣和放回抽樣兩種方式)又

在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有不放回抽樣1）由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。2）有放回抽樣從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行排列，可能的排列數(shù)為個(gè)，(樣本總數(shù)）。而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的排列數(shù)共有于是所求的概率為：此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。例4袋中有a只白球和b只紅球。現(xiàn)在把球一只只隨機(jī)的取出來(lái)不放回，求第k

次取出的一只球是白球的概率解法1：E：把a(bǔ)只白球和b只紅球都編上不同的號(hào)碼，把取出的球依次放在a+b個(gè)位置上。（如圖）1…k…a+bS中基本事件總數(shù):（a+b）！A包含的基本事件個(gè)數(shù)，此結(jié)果與k無(wú)關(guān)，這與日常生活的經(jīng)驗(yàn)是一致的。解法2：把a(bǔ)只白球和b只紅球編上不同的號(hào)碼，我們只考慮前k只球。即把取出的前k只球依次放在k個(gè)位置上，如圖…kS中基本事件總數(shù):A包含的基本事件個(gè)數(shù):3、試驗(yàn)E是從n件產(chǎn)品中任取m件，可視為一次從中取m件，可用組合計(jì)數(shù)。也可看作每次取一件，取后不放回連取m次?？捎门帕杏洈?shù)，要由所求問(wèn)題而定。小結(jié)1、試驗(yàn)E是無(wú)放回抽取，當(dāng)事件A無(wú)次序要求可用組合，也可用排列計(jì)數(shù)，例1(b)當(dāng)A有次序要求時(shí)，必須要用排列計(jì)數(shù)。（例2）2、試驗(yàn)E是有放回抽取，可重復(fù)排列問(wèn)題，例1，2，34、古典概率，其分子與分母的計(jì)數(shù)方法要一致。

例1

將m只球（可分辨）隨機(jī)的放入N(Nm)個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將m只球放入N個(gè)盒子中去,共有而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有分球入盒問(wèn)題例2、將n只球隨機(jī)地放入N（Nn）個(gè)盒子中去（設(shè)盒子的容量不限），試求下列事件的概率。A={某指定的一個(gè)盒子中沒(méi)有球}

B={某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}

C={恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}

D={某指定的一個(gè)盒子中恰有m個(gè)球}(m≤n)解把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n≤N),基本事件總數(shù)為:事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n個(gè)球中的每一個(gè)球可以并且只可以放入其余的N-1個(gè)盒子中?？偣灿蟹N放法。因此事件B：指定的n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中各放一球，共有n!種放法，因此事件C：恰有n個(gè)盒子，其中各有一球，即N個(gè)盒子中任選出n個(gè)，選取的種數(shù)為在這n個(gè)盒子中各分配一個(gè)球，n個(gè)盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點(diǎn)總數(shù)為事件D：指定的一個(gè)盒子中，恰好有m個(gè)球，這m個(gè)球可從n個(gè)球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個(gè)球可以任意分配到其余的N-1個(gè)盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為Cnm·(N-1)n-m分球入盒問(wèn)題，或稱球在盒中的分布問(wèn)題。有些實(shí)際問(wèn)題可以歸結(jié)為分球入盒問(wèn)題，只是須分清問(wèn)題中的“球”與“盒”，不可弄錯(cuò)。(1)生日問(wèn)題：n個(gè)人的生日的可能情況（每個(gè)人生日是365天之一），相當(dāng)于n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中的可能情況(設(shè)一年365天)；(2)旅客下車問(wèn)題(電梯問(wèn)題)：一列火車中有n名旅客，它在N個(gè)站上都停車，旅客下車的各種可能場(chǎng)合，相當(dāng)于n個(gè)球分到N個(gè)盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問(wèn)題：n個(gè)人被分配到N個(gè)房間中；(4)印刷錯(cuò)誤問(wèn)題：n個(gè)印刷錯(cuò)誤可能出現(xiàn)在一本具有N頁(yè)書(shū)的任何一頁(yè)，錯(cuò)誤球，頁(yè)盒子。（5）有n封信隨機(jī)的投放在N個(gè)信筒中（筒內(nèi)信數(shù)不限）；

設(shè)每個(gè)人在一年(按365天計(jì))內(nèi)每天出生的可能性都相同,相當(dāng)于n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中,則他們生日各不相同的概率（恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球）為

于是,n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為例3(生日問(wèn)題):

某人群有n個(gè)人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？

人數(shù)至少有兩人同生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994例4、將n只球（可分辨）隨機(jī)地放入N（Nn）個(gè)盒子中去（設(shè)盒子至多容納一個(gè)球），試求下列事件的概率。B={某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}

C={恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}解把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n≤N),基本事件總數(shù)為:事件B：指定的n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中各放一球，共有n!種放法，因此事件C：恰有n個(gè)盒子，其中各有一球，即N個(gè)盒子中任選出n個(gè)，選取的種數(shù)為在這n個(gè)盒子中各分配一個(gè)球，n個(gè)盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點(diǎn)總數(shù)為

例1將15名新生隨機(jī)地平均分配到3個(gè)班中去，這

15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問(wèn)：

(1)每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？解：15名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中去的分法總數(shù)為：分組問(wèn)題(1){每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生}=A：將3名優(yōu)秀生分配到3個(gè)班級(jí)，使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種。其余12名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中的分法共有每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：三名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)內(nèi)其余12名新生，一個(gè)班級(jí)分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率為：例:某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中,有12件是正品,3件是次品?，F(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3個(gè)箱中,每箱裝5件，設(shè):A={每箱中恰有一件次品},B={三件次品都在同一箱中}。求:P(A)和P(B)。例

30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。例1

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既不能被6整除也不能被8整除的概率

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，解隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題于是所求概率為例1某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別