初中數學競賽復習資料

競賽專題講座08－幾何變換【競賽知識點撥】一、平移變換定義設PQ是一條給定的有向線段，T是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X',使得丟，則T叫做沿有向線段卩°的平移變換。記為X',圖形F'。主要性質在平移變換下，對應線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切危瑘A變?yōu)閳A。兩對應點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。二、軸對稱變換定義設l是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X'，使得X與X'關于直線l對稱，則S叫做以l為對稱軸的軸對稱變換。記為X』「X'，圖形F'。主要性質在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。三、旋轉變換定義設a是一個定角，0是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點0仍變到0（不動點），而把平面圖形F上任一點X變到X',使得OX'=OX，且ZXOX'=a，則R叫做繞中心0，旋轉角為a的旋轉變換。記為X珥“如°X'，圖形F砂小訃'。其中a<0時，表示ZXOX'的始邊0X到終邊0X'的旋轉方向為順時針方向；a>0時，為逆時針方向。主要性質在旋轉變換下，對應線段相等，對應直線的夾角等于旋轉角。四、位似變換

1.定義設0是一個定點，H是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X',使得。刃二k?。藍，則H叫做以0為位似中心，k為位似比的位似變換。記為X、X',圖形其中k>0時，X'在射線0X上，此時的位似變換叫做外位似；k<0時，X'在射線0X的反向延長線上，此時的位似變換叫做內位似。2.主要性質在位似變換下，一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應線段的比等于位似比的絕對值，對應圖形面積的比等于位似比的平方；不經過位似中心的對應線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應點；兩對應圓相切時切點為位似中心?！靖傎惱}剖析】【例1】P是平行四邊形ABCD內一點，且ZPAB=ZPCBO求證：ZPBA二ZPDA。【分析】作變換△ABP庇巧‘ADCP',則厶ABP竺△DCP',Z1=Z5,Z3=Z6o由PP'也AD^BC,ADPP'、PP'CB都是平行四邊形，知Z2=Z8,Z4=Z7o由已知Z1=Z2,得Z5=Z8。???P、D、P'、C四點共圓。故Z6=Z7，即Z3=Z4o【例2】“風平三角形”中，AA'二BB'二CC'=2,ZA0B'二ZB0C'=60°o圖2求證：s+s+s△AOB‘△BOC'〈希\o△COA‘【分析】作變換△AOCW3△AQR',厶匕。。'璋叫3△B'PR'',則R'、R''重合，記為RoP、R、Q共線，0、A、Q共線，0、B'、P共線，AOPO為等邊三角形。??.s+s+s<S二屈△AOB'△BOC'△COA'△OPQ【分析】取AC、BD的中點E、F，令AC丫冋、A'C'，則A'BC'D是一個符合條件的平行四邊形。延長AF、CC'交于Go???E是AC的中點且EF〃CC'，FC‘〃EC，???F、C'分別為AG、CG的中點。.??AD+BC二BG+BC22BC'二A'D+BC同理可得AB+DC^A'B+DC'o故當四邊形為平行四邊形時，周長最小。【評注】當已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。H【例4】P是00的弦AB的中點，過P點引00的兩弦CD、EF,連結DE交AB于M,連結CF交AB于N。求證:MP二NP。（蝴蝶定理）【分析】設GH為過P的直徑，F、f'F,顯然'三00。又PWGH,???PF'二PF。?.?PF薊&巴：■pF',PA胃陽）＞pb,.?.zfPN二ZF'PM,PF二PF又FF'丄GH,AN丄GH,?FF‘〃ABo.ZF'PM+ZMDF'二ZFPN+ZEDF'二ZEFF'+ZEDF'=18O°,?P、M、D、F'四點共圓°?ZPF'M二ZPDE二ZPFN。.??△PFN竺△PF'M,PN=PMo【評注】一般結論為：已知半徑為R的00內一弦AB上的一點P,過P作兩條相交弦CD、EF,連CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中點的距離為a,貝卩1_1_2aPMPNR2-r2o（解析法證明：利用二次曲線系知識）【例5】00是給定銳角ZACB內一個定圓，試在00及射線CA、CB上各求一點P、Q、R,使得△PQR的周長為最小。

00pBEBPP.0PiBBF?F圖5舉00pBEBPP.0PiBBF?F圖5舉°F【分析】在圓0上任取一點P，令PP,PP，連結PP分別交CA、0010212CB于Q、R。顯然APQR是在取定P的情況下周長最小的三角形。110110設PP交CA于E,PP交CB于F,貝卩PQ+QR+RP=PP=2EF。010201111012???E、C、F、四點共圓，CP°是該圓直徑，由正弦定理，EF=CPsinZECF。???當CP取最小值時，EF為最小，從而APQR的周長為最小，于是有作法：0011連結0C，交圓周于連結0C，交圓周于P，令Pw丁Pi,卩具匚卩?，連結pp.分別交ca、CB于Q、12R。則P、Q、R為所求?！纠?】△ABC中，ZA290°，AD丄BC于D，APQR是它的任一內接三角形。求證:PQ+QR+RP>2AD。【分析】設P訶、P'，P盼門°P''。則RP二RP'，PQ二P''Q,AP=AP'=AP‘'.??PQ+QR+RP二P''Q+QR+RP00又ZA290°,???ZP'AP+ZP''AP=2ZA2180°,A點在線段P'P''上或在凸四邊形P'RQP''的內部°?P''Q+QR+RP'〉AP'+AP''=2AP〉2AD。?PQ+QR+RP>2AD。【評注】如果題設中有角平分線、垂線,或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形,可以將圖形或其部分進行軸對稱變換。此外,也可以適當選擇對稱軸將一些線段的位置變更,以便于比較它們之間的大小。為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC,M是BC的中點。求證：MP=MQ,MP丄MQ?！痉治觥垦娱LBP到E,使PE=BP,延長CQ到F,使QF=CQ,則厶BAE、ACAF都是等腰三角形。顯然：B,CF,AEC=BF,EC±BFoZ/l而PM=2EC,//-

MQ=2bf,顯然：B,CF,AEC=BF,EC±BFoZ/l而PM=2EC,//-

MQ=2bf,?MP二MQ,MP丄MQo圍只例8】已知0是△ABC內一點，ZA0B二ZB0C二ZC0A=120°；P是厶ABC內任一點，求證:PA+PB+PC±OA+OB+OCo（0為費馬點）【分析】將C【分析】將CP珥艮」嚴）'P‘，連結00'、PP‘。則AB00'、ABPP‘都是正三角形。.??00'=0B,PP'=PB。顯然△BO'C'竺△B0C,ABP'C'竺ABPCo?a1【分析】設0?a1【分析】設02,N上氫N',而M由于ZBO'C'二ZB0C=120°=180°-ZBO'O,.?.A、O、O'、C'四點共線。.??AP+PP'+P'C'2AC'二AO+OO'+O'C',即PA+PB+PC2OA+OB+OC?！纠?】00與厶ABC的三邊BC、CA、AB分別交于點A、A、B、B、C、C,121212過上述六點分別作所在邊的垂線a、a、b、b、，設a、b、c三線相交于一點D。1212121求證：a、b、c三線也相交于一點。212【分析】Vai>a2關于圓心0成中心對稱,Ei：048Cr)a。2同理,/.a>b2、c的公共點D在變換R(0,180°)下的像D'也是像a、b「c?的公共點,即叮b「&三線也相交于一點。2【例10】人。是厶ABC的外接圓0的直徑，過D作00的切線交BC于P,連結并延長P0分別交AB、AC于M、N。求證:OM=ON。CTE_O'N1???M、0、N三點共線，?/B、O'、N'三點共線，且。胡ON。取BC中點G,連結0G、0'G、DG、DB。

TZOGP二Z0DP=90°,?：P、D、G、O四點共圓。AZODG=ZOPG，而由MN〃BN'有ZOPG二ZO'BG,.??ZODG二ZO'BG,?：O‘、B、D、G四點共圓。.??ZO'GB二ZO'DB。而ZO'DB二ZACB,???ZO'GB二ZACB,O'G〃AC,而G是BC的中點，???O'是BN'的中點，O'B二O'N',?OM=ON。競賽講座07--面積問題和面積方法基礎知識1．面積公式由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形,故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣,應在不同場合下選擇最佳形式使用．設厶ABC,a,b,c分別為角A,B,C的對邊，h為a的高，R、r分別為△ABC外接a1圓、內切圓的半徑，p二評+b+c)?則△ABC的面積有如下公式:1)S二1ah；AABC21)2)12)S=bcsinAAABC23)4)5)S=3)4)5)S=p-a)(p-b)(p-c)AABC、=ir(a+b+c)=prabc_7RSAABCSAABCS^ABC二2R2sinAsinBsinC7)SAABCa2sinBsinC7)SAABC2sin(B+C)8)S卜c—a)AABC2a1(9)S=R2(sin2A+sin2B+sin2C)AABC22．面積定理（1）一個圖形的面積等于它的各部分面積這和；（2）兩個全等形的面積相等；（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積相等（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應的高（或底）的比；（5）兩個相似三角形的面積的比等于相似比的平方；（6）共邊比例定理：若△PAB和厶QAB的公共邊AB所在直線與直線PQ交于M，則S:S二PM:QM；APABAQAB（7）共角比例定理：在△ABC和厶AB'C'中，若ZA=ZA'或ZA+ZA'二180°，則SAB-AC—AABC=—SAB'?A'C'?NAB'C'3?張角定理：如圖，由P點出發(fā)的三條射線PA,PB,PC，設ZAPC,ZCPB=0,ZAPB=a+0<180°，則A,B,C三點共線的充要條件是：sinasin0sin（a+0）+=PBPAPC例題分析例1.梯形ABCD的對角線AC,BD相交于O，且S=m，S=n，求SNAOBNCODABCD例2．在凸五邊形ABCDE中，設S=S=S=S=S=1，求此五邊NABCNBCDNCDENDEANEAB形的面積．例3.G是厶ABC內一點，連結AG,BG,CG并延長與BC,CA,AB分別交于D,E,F，AGF、△BGF、△BGD的面積分別為40，30，35，求△ABC的面積.例4.P,Q,R分別是△ABC的邊AB,BC和CA上的點，且BP=PQ=QR=RC=1，求厶ABC的面積的最大值.例5.過△ABC內一點引三邊的平行線DE〃BC，FG〃CA，HI〃AB，點D,E,F,G,H,I都在△ABC的邊上，S表示六邊形DGHEFI的面積，S表示12ABC的面積.求證：S>2S.132例6.在直角厶ABC中，AD是斜邊BC上的高，過△ABD的內心與厶ACD的內心的直線分別交邊AB和AC于K和L，△ABC和厶AKL的面積分別記為S和T.求證：S>2T.例7?銳角三角形ABC中，角A等分線與三角形的外接圓交于一點A，點B、C與此類111似，直線AA^與B、C兩角的外角平分線將于一點A，點B、C與此類似.求證：1000

三角形ABC的面積是六邊形ACBACB的面積的二倍；000111三角形ABC的面積至少是三角形ABC的四倍.000S2例8.在△ABC中，P,Q,R將其周長三等分，且P,Q在邊AB上，求證：嚴>石.S9AABC例9.在銳角厶ABC的邊BC邊上有兩點E、F,滿足ZBAE=ZCAF，作FM丄AB,FM丄AC(M,N是垂足)，延長AE交厶ABC的外接圓于點D，證明四邊形AMDN與△ABC的面積相等.三.面積的等積變換等積變換是處理有關面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉換證(解)題.例10.凸六邊形ABCDEF內接于。O，且AB=BC=DC=空3+1，DE=EF=FA=1，求此六邊形的面積.例11.已知AABC的三邊a>b>c，現在AC上取AB'二AB，在BA延長線上截取BC'二BC，在CB上截取CA'二CA，求證：S>S.AABCAA'B'C'例12.AA'B'C'在AABC內，且AABCsAA'B'C'，求征：S+S+S二SAABCABCAACABAABC例13.在AABC的三邊BC,CA,AB上分別取點D,E,F，使BD二3DC,CE二3EA，AF二3FB，連AD,BE,CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面積為13,求三角形PQR的面積.例14.E為圓內接四邊形ABCD的AB邊的中點，EF丄AD于F，EH丄BC于H,EG丄CD于G,求證：EF平分FH.例15.已知邊長為a,b,c,的AABC，過其內心I任作一直線分別交AB,AC于M,N點,求證：MIa+c求證：INb例16.正△PQR=正厶P'Q'R'，AB=a，BC=b，CD=a，DE=b，1122EF二a，FA二b.求證：a2+a2+a2=b2+b2+b2.33123123例17.在正AABC內任取一點O，設O點關于三邊BC,CA,AB的對稱點分別為A',B',C',則AA',BB',CC'相交于一點P.例18.已知AC,CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M,N分別內分ACCE，且AMCN使==k，如果B,M,N三點共線，試求k的值.ACCE例19.設在凸四邊形ABCD中，直線CD以AB為直徑的圓相切，求證：當且僅當BC〃AD時，直線AB與以CD為直徑的圓相切.訓練題1.設AABC的面積為10cm2，D,E,F分別是AB,BC,CA邊上的點，且AD=2cm,DB=3cm,若S=S，求AABE的面積.AABEDBEF過AABC內一點作三條平行于三邊的直線，這三條直線將AABC分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為S,S,S，求三角形AABC的面積.123在AABC的三邊AB,BC,CA上分別取不與端點重合的三點M,K,L,求證：AAML，1ABKM,