D101對弧長和曲線積分21614

會計學(xué)1D101對弧長和曲線積分21614一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共24頁設(shè)是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共24頁如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負(fù).第3頁/共24頁3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共24頁二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共24頁點設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共24頁說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法”.因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共24頁如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共24頁例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共24頁例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共24頁例2.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共24頁例3.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共24頁例4.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共24頁思考:例4中改為計算解:

令,則圓的形心在原點,故,如何機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共24頁例5.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共24頁例6.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共24頁內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共24頁3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共24頁思考與練習(xí)1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共24頁2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共24頁故質(zhì)心坐標(biāo)為第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共24頁備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2