代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第5章代數(shù)系統(tǒng)第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)成分：集合+運算公理：運算性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)的構成代數(shù)系統(tǒng)的同構與同態(tài)代數(shù)系統(tǒng)間的關系映射半群與群環(huán)與域格與布爾代數(shù)子代數(shù)積代數(shù)商代數(shù)笛卡兒積等價關系子集新的代數(shù)系統(tǒng)分類生成第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)5.0近世代數(shù)簡介5.1二元運算及其性質(zhì)

5.2代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介公元3世紀，中國數(shù)學家趙爽對于一元二次方程-x2+kx=c給出了一個根的公式我們現(xiàn)在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在600年后建立的:第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介三次和四次方程把數(shù)學家們難住了一千多年，直到塔塔利亞和卡丹的出現(xiàn)，才真正地發(fā)現(xiàn)了一般的三次和四次方程的求根公式。方程的解為：而一般的四次方程的解法是由卡丹的學生費拉里得出的。第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介法國數(shù)學家拉格朗日發(fā)表論文《關于代數(shù)方程解的思考》，他認為次數(shù)不低于五次的方程的代數(shù)解法一般而言是找不到的，他試圖證明這個理論的正確性，但是終以失敗告終，然而這件事實卻被兩位天才的年輕數(shù)學家加以補充，并得到證明，而在他們的研究工作中誕生的新概念和新理論都將代數(shù)帶入了一個新的時代，即近世代數(shù)時代。第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介厄米特評價阿貝爾：“他工作中豐富的數(shù)學思想可以讓數(shù)學家們忙碌500年。”他的論文《高于四次的一般方程的代數(shù)求解不可能性的證明》是代數(shù)學發(fā)展史上里程碑式的重大突破。（N.H.Abel，1802－1829）第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介羅素說，他的死使數(shù)學的發(fā)展推遲了幾十年。伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關于群和域的理論。(Galois1811.10-1832.5)第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介引例凱撒密碼思考：明文和密文如何轉換？如明文HELLOWORLD→？明文abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密文DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介用數(shù)字0~25表示字母a~z，abcdefghijklmnopqrstuvwxyz012345678910111213141516171819202122232425則Z26={0,1,2,…,25},凱撒加密實現(xiàn)了如下轉換過程：f:Z26→Z26

，x∈Z26,y=f(x)=(x+3)mod26上述<Z26,f>構成了一類代數(shù)系統(tǒng)：群第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介思考：更一般地，若加密函數(shù)變?yōu)閥=(ax+b)mod26,如何解出x？

x=a-1(y-b)mod26第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介近世代數(shù)的內(nèi)容：近世代數(shù)所要探討的數(shù)學結構是由集合上定義若干運算而組成的系統(tǒng)——稱為代數(shù)系統(tǒng)。主要介紹群、環(huán)、域、格、布爾代數(shù)等基本概念和理論。第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介近世代數(shù)特點：比較抽象。采用集合論的記號。對運算及其運算規(guī)律的重視。研究對象高度抽象，以便掌握最根本的性質(zhì)。第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡介近世代數(shù)學在計算機科學中的廣泛應用：

(1)半群理論在自動機和形式語言中發(fā)揮了重要作用；

(2)群論在計算機安全領域的重要作用；

(3)有限域的理論是編碼理論的數(shù)學基礎，在通訊中發(fā)揮了重要作用；

(4)格和布爾代數(shù)的理論成為電子計算機硬件設計和通訊系統(tǒng)設計中的重要工具。第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)5.0近世代數(shù)簡介5.1二元運算及其性質(zhì)

5.2代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算及其性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)二元運算二元運算的重要性質(zhì)（重點）代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素（重點）第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)定義

代數(shù)系統(tǒng)

——集合及其上的運算

<S,f1,f2,...,fk>定義運算f

函數(shù)

f:S×S×…×S→S注：通常用符號“+”、“-”、“*”、“/”、“∩”、“∪”、“∧”、“∨”、“┐”、“★”、“☆”、“о”、“⊕”、“”、“”等抽象的符號來表示一個抽象的運算。封閉性第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例1

通常數(shù)的乘法運算是否可看作下列集合上的二元運算？請說明理由。（1）A={1,2}（2）B={x|x是素數(shù)}（3）C={x|x是偶數(shù)}（4）D={2n|n∈N}

第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例2幾個比較重要的代數(shù)系統(tǒng)：(1)<Z,+>,“+”為普通加法。——

整數(shù)加群(2)<Zn,>

，“”定義為模n加法，xy=(x+y)modn.——模n加群(3)<P(S),>,“”為對稱差運算?！獙ΨQ差群(4)

<P(A)，∪,∩,>，“∪”,“∩”,“”為集合的并、交、補運算——集合代數(shù)(5)<{0,1},,,>,“”，“”，“”分別為命題的合取、析取、否定運算——布爾代數(shù)

第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)運算表：xi?(xi)x1x2…xn?(x1)?(x2)…?(xn)一元運算表?x1x2…

xnx1x2…xnx1?x1x1?x2…

x1?xnx2?x1x2?x2…

x2?xn…………xn?x1xn?x2…

xn?xn二元運算表第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例3

令A={a,b}，寫出P(A)上的∩運算表?！搔郸祘a}{a}{a}{a}{a}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ上表頭元素左表頭元素運算第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)練習

設S={1,2,3,4}，定義S上的二元運算如下：x?y=(xy)mod5,x,yS.求?的運算表。注：運算表可以直觀地顯示出運算所具有的某些性質(zhì)。?123412341234241331424321第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算的性質(zhì)運算性質(zhì)是代數(shù)系統(tǒng)的核心。根據(jù)運算的性質(zhì)，可以將眾多代數(shù)系統(tǒng)進行抽象分類，比如群，交換群，循環(huán)群，置換群，環(huán)，域，格，布爾代數(shù)，等等。第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算的性質(zhì)定義設?和*為S上的二元運算，(1)?在S上可交換：x,yS,x?y=y?x.(2)?在S上可結合：x,y,zS,(x?y)?z=x?(y?z).(3)?適合冪等律：xS,x?x=x.(4)*對?可分配：x,y,zS,x*(y?z)=(x*y)?(x*z).(5)?和*滿足吸收律：x,yS,x*(x?y)=x,x?(x*y)=x.第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算的性質(zhì)注：在滿足結合性的集合上，可以定義元素的冪運算。

xx=x2x2x=xx2=x3xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ+)第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算的性質(zhì)例4

關于元素的冪，請計算：

(1)整數(shù)集上的加法+：13=？，乘法×：13=？(2)集合族P(S)上的對稱差：A3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x3=?(xZn)第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運算的性質(zhì)例5在Z+上定義兩個運算為：a*b=ab，a△b=a?b，其中“?”是普通乘法，試證明*對△是不可分配的。第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定義

設?為S上的二元運算，el,er,e,l,r,S，(1)

左幺元el：xS,el?x=x.

右幺元er：xS,x?er=x.

幺元(單位元)e：e既是左幺元，又是右幺元。(2)左零元l：xS,l?x=l.

右零元r：xS,x?r=r.

零元：既是左零元，又是右零元。(3)x的左逆元yl：xS,ylS,使得

yl?x=e.x的右逆元yr：xS,yrS,使得x?yr

=e.x的逆元y：y

S既是x的左逆元，又是x的右逆元。第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定理(1)幺元存在唯一性。幺元是代數(shù)系統(tǒng)的幺元。(2)零元存在唯一性。零元是代數(shù)系統(tǒng)的幺元。(3)設?在S上可結合，則逆元若存在，則唯一。

通常把這個唯一的逆元記作x-1.逆元依賴于元素x。注：在定義了幺元和逆元之后，元素的冪運算可以擴充至：

x0=e，xn=xxn-1xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ)

第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例6

求以下各代數(shù)系統(tǒng)的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的話）。(1)<Z,+>,“+”為普通加法。(2)<Zn,>，“”定義為模n加法，xy=(x+y)modn.(3)<P(S),>,“”為對稱差運算。(4)<P(S)，∪,∩>，“∪”,“∩”為集合的并、交運算<Z,+，0>，<Zn,，0>，<P(S),，

><P(S)，∪,∩，S，>

第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例7關于元素的冪，請計算：(1)整數(shù)集上的加法+：1-3=？，乘法×：2-3=？(2)集合族P(S)上的對稱差：A-3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x-3=?(xZn)第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定義

設?為S上的二元運算，如果x,y,zS滿足以下條件：(1)若x?y=x?z且x不是零元，則y=z，(左消去律)

(2)若y?x=z?x且x不是零元，則y=z，(右消去律)就稱運算?滿足消去律。第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例8

對于下面給定的集合和該集合上的二元運算，指出該運算的性質(zhì)，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。(1)<Z+,*>x,yZ+，x*y=lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍數(shù)。(2)<Q，*>x,yQ，x*y=x+y-xy.第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素解：(1)*運算可交換，可結合，是冪等的。xZ+，x*1=x，1*x=x，1為幺元，不存在零元。只有1有逆元，是它本身，其它整數(shù)無逆元。(2)*運算滿足交換律，∵x,yQ，x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x.*運算滿足結合律，