例談基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)

例談基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)

龍正祥王金理【Summary】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的闡述：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)教育指明了方向和目標(biāo)，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)，教師需要增強(qiáng)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而教的意識(shí)，分析教學(xué)內(nèi)容所承載的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵，尋求數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)施策略，進(jìn)而進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì).本文以“函數(shù)與方程”教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生經(jīng)歷“問題→作圖→觀察→猜想→討論→歸納”環(huán)節(jié)的探究過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.【Key】數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);函數(shù)的零點(diǎn);方程的根一、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系;從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;提出數(shù)學(xué)命題和模型;形成數(shù)學(xué)方法與思想;認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁;運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.《標(biāo)準(zhǔn)》中將每一個(gè)核心素養(yǎng)分為情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)方面，并將每一個(gè)素養(yǎng)分為水平一、二、三.二、教學(xué)內(nèi)容分析1.基于內(nèi)容的安排和作用“函數(shù)與方程”選自北師大版高中數(shù)學(xué)必修一第四章第1節(jié)，它揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系.這種聯(lián)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中“函數(shù)與方程”思想的理論基礎(chǔ).解方程實(shí)際上就是求函數(shù)的零點(diǎn)，這樣解指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)，因此函數(shù)零點(diǎn)的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)核心地位.2.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展“函數(shù)與方程”一課涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊到一般的思想方法等，深入挖掘這些思想方法有助于發(fā)展和提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)研究方程的思想，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.本節(jié)課又是一節(jié)概念課，概念課的教學(xué)過程要注重概念的引出、及時(shí)歸納整理、多角度說明、概念本質(zhì)的分析以及概念理解的升華應(yīng)用，這一過程是數(shù)學(xué)抽象的過程，能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).3.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對(duì)象.函數(shù)零點(diǎn)的概念指向了方程的根（數(shù)的一面）和圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（形的一面），教師要培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考這兩者之間聯(lián)系的能力.零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)、理解和鑒別，要求學(xué)生具備語言概括能力;直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)要求學(xué)生具備從不同角度思考問題的能力;數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求學(xué)生具備概括能力，這些都是學(xué)生在日常生活中必備的思維能力.三、學(xué)情分析1.有利因素由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，又學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，所以從一元二次方程及函數(shù)的關(guān)系開始引入，然后過渡到一般方程及相應(yīng)函數(shù)的研究，得出函數(shù)零點(diǎn)的概念，學(xué)生易于接受，符合學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)原則.鑒于函數(shù)圖像作圖的局限性，應(yīng)進(jìn)一步引出探究零點(diǎn)存在性定理的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究熱情.2.不利因素（1）零點(diǎn)概念的認(rèn)識(shí).對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)，學(xué)生很容易先入為主，認(rèn)為零點(diǎn)是點(diǎn).（2）零點(diǎn)存在性定理的判斷.由于對(duì)定理的討論基礎(chǔ)是函數(shù)圖像，而學(xué)生能畫出的函數(shù)圖像是有限的，極易導(dǎo)致圖像分析的非典型性，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)定理中每一個(gè)Key的理解.（3）零點(diǎn)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)）的確定.零點(diǎn)是在分析圖像的基礎(chǔ)上得到的概念，而并非所有函數(shù)的圖像都能具體描繪出來，所以學(xué)生在零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定上會(huì)遇到困難.四、教學(xué)策略分析本節(jié)課是一節(jié)概念課，概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)追本溯源、前后聯(lián)系、邏輯連貫的概念形成過程.當(dāng)學(xué)生遇到新概念時(shí)，不能用已有知識(shí)解決，就產(chǎn)生了矛盾.教師應(yīng)依據(jù)新概念與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的差異，制造一種恰當(dāng)?shù)拿芮榫?，促使學(xué)生展開思考、分析，最終消除矛盾，掌握概念.根據(jù)這一原則，本文以對(duì)主線問題的三次探究為線索，貫穿整節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生概念的生成，教學(xué)策略的特點(diǎn)如下.1.生活性.在本節(jié)課中，筆者以氣象臺(tái)的圖片作為課堂引入，開放性地回答場(chǎng)所問題，引出學(xué)生不同角度的思考，讓學(xué)生更全面地看待問題，用數(shù)學(xué)中的主線問題揭示矛盾，發(fā)現(xiàn)不同角度思考問題的重要性，引起學(xué)生的共鳴.2.樸實(shí)性.對(duì)于零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)，筆者設(shè)計(jì)溫度曲線的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察溫度曲線代表的函數(shù)圖像，尋找?guī)缀螁栴}的代數(shù)表征，相比利用已有的簡單函數(shù)圖像觀察規(guī)律，實(shí)驗(yàn)法讓學(xué)生更有“親近感”，一改數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中復(fù)雜、高不可攀的形象，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀性.3.矛盾性.在主線問題初探、再探和終探的過程中，經(jīng)常出現(xiàn)矛盾，學(xué)生尋求解決方案、發(fā)現(xiàn)概念，從而解決矛盾，層層深入對(duì)概念的理解.矛盾性能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.五、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.通過具體的二次函數(shù)圖像以及一元二次方程根的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)過程，明確函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根、圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系總結(jié)出函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)存在性定理，提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).2.通過設(shè)置合理的教學(xué)情境，以及分組探究、質(zhì)疑交流，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)探討零點(diǎn)存在性條件的過程，感受零點(diǎn)存在性定理的形成及以數(shù)輔形的強(qiáng)大功能，體會(huì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想.把判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法由特殊函數(shù)推廣到一般函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).3.通過創(chuàng)設(shè)無法求得方程的解到能夠通過研究函數(shù)的零點(diǎn)，利用函數(shù)的性質(zhì)研究方程的根的教學(xué)大情境，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探索歷程，體會(huì)知識(shí)的生成方式，體驗(yàn)獲取知識(shí)、探究數(shù)學(xué)的樂趣，從而提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，零點(diǎn)存在性定理.教學(xué)難點(diǎn)：探究函數(shù)零點(diǎn)存在的條件.六、教學(xué)過程1.巧設(shè)情境，引入新知情境一筆者出示一幅當(dāng)?shù)貧庀笈_(tái)的圖片，讓學(xué)生識(shí)別這個(gè)地方是什么樣的場(chǎng)所.由于學(xué)生并不完全了解當(dāng)?shù)貧庀笈_(tái)，所以有許多即興猜測(cè)的回答，有說是公園的，有說是海豚紀(jì)念館的，也有說是當(dāng)?shù)貧庀笈_(tái)的.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生從不同角度觀察同一場(chǎng)所得到了不同的答案，所以如果對(duì)一個(gè)問題的思考角度不同，得到的答案也會(huì)不同.情境二

判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個(gè)根？①2x-3=0.②x2-2x-3=0.③lnx+2x-3=0.設(shè)計(jì)意圖對(duì)于方程（1）（2），學(xué)生可以直接求解，但對(duì)于方程（3），學(xué)生卻有些猶豫，甚至無從下手.此時(shí)，教師需要提示學(xué)生換個(gè)角度思考問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程（1）（2）的其他解法來解決方程（3）的問題，即嘗試從形的方面來尋求問題的答案.數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形兩個(gè)方面關(guān)系的學(xué)科.同一個(gè)問題，可以從數(shù)的方面考慮，也可以從形的方面探究.初中階段研究方程根側(cè)重于數(shù)的方面，高中階段除了側(cè)重?cái)?shù)的方面還側(cè)重形的方面.這一問題的設(shè)計(jì)，為成功引入零點(diǎn)概念做好了充足準(zhǔn)備.情境三畫出函數(shù)f（x）=2x-3的圖像，觀察方程2x-3=0的根與函數(shù)f（x）=2x-3的圖像與x軸的交點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計(jì)意圖通過簡單函數(shù)“引”零點(diǎn)，在學(xué)生思維困頓之處設(shè)置數(shù)學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑問，通過質(zhì)疑交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和探究新知的熱情，通過后繼學(xué)習(xí)，進(jìn)一步使學(xué)生領(lǐng)會(huì)將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題處理的必要性.2.操作確認(rèn)，探索概念（1）求解畫圖求下列一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的簡圖，并寫出函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，如表1所示.（2）探尋關(guān)系一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系，如表2所示.設(shè)計(jì)意圖揭示規(guī)律，二次方程如果有實(shí)數(shù)根，那么方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).概念自然引入，觀察表中的x1，x2，它們?cè)诜匠讨蟹Q為方程的根，在圖像中稱為圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么對(duì)于函數(shù)而言，取名為零點(diǎn)就水到渠成了.（3）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).零點(diǎn)的三重“身份”：（1）函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn);（2）函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);（3）方程f（x）=0的根.設(shè)計(jì)意圖利用零點(diǎn)不同情境下的三種“身份”，明確函數(shù)零點(diǎn)的概念，零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是數(shù)與形的完美統(tǒng)一，也是方程與函數(shù)思想的絕妙體現(xiàn).（4）應(yīng)用所獲，再探例題判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個(gè)根？①2x-3=0.②x2-2x-3=0.③lnx+2x-3=0.設(shè)計(jì)意圖把方程lnx+2x-3=0的形式改為lnx=-2x+3，從而順利地把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=-2x+3的交點(diǎn)問題.探究過程中，作圖的方法優(yōu)于解方程的方法，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的要求得到了淋漓盡致的體現(xiàn).3.質(zhì)疑思辨，完善概念若方程不轉(zhuǎn)化，本題還能用形解決嗎？顯然是比較困難的.以此作為矛盾沖突點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究不作函數(shù)圖像就能判斷零點(diǎn)存在的方法，即尋求幾何圖形的代數(shù)表達(dá)：零點(diǎn)存在的圖形的共性探究.（1）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，尋求共性如圖1所示，圖中已經(jīng)標(biāo)出a和b時(shí)刻的溫度，請(qǐng)按你自己的設(shè)想在圖1的兩圖中繪出[a，b]部分的溫度曲線.師：溫度曲線作為一個(gè)函數(shù)，它具備哪些條件就可確定有零點(diǎn)存在呢？設(shè)計(jì)意圖如果函數(shù)零點(diǎn)的定義是增強(qiáng)學(xué)生由數(shù)轉(zhuǎn)形、以形助數(shù)的能力，那么零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)就是讓學(xué)生感受由形轉(zhuǎn)數(shù)、以數(shù)輔形的強(qiáng)大功能，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).（2）共性歸納，得出定理如果函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）教師應(yīng)先要求學(xué)生齊讀，然后引導(dǎo)學(xué)生尋找定理中的Key，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)驗(yàn)圖例討論、解釋每一個(gè)Key的意義及重要性，并得出推論（存在唯一零點(diǎn)的命題）：如果函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值互異，即f（a）f（b）<0，且是單調(diào)函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)在（a，b）上必存在唯一的一個(gè)零點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對(duì)于定理的理解，要經(jīng)歷“了解—理解—見解”的逐步深入過程，所以概念定理的教學(xué)也需要分三步走，首先了解概念的形成過程，然后在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)對(duì)概念的理解和欣賞，最后提出自己的見解.零點(diǎn)存在性定理這一概念的生成過程，是由圖形設(shè)計(jì)引出對(duì)共性（零點(diǎn)存在）的歸納探討，概念的理解和欣賞則通過學(xué)生朗讀及對(duì)Key的挖掘辨析來實(shí)現(xiàn)，最后在辨析中尋找零點(diǎn)唯一存在性定理的表述.教師要注重培養(yǎng)學(xué)生歸納問題本質(zhì)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).（3）例題終探，定理應(yīng)用判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個(gè)根？①2x-3=0.②x2-2x-3=0.③lnx+2x-3=0.設(shè)計(jì)意圖探究典例，利用零點(diǎn)存在性定理突破形解決問題的局限性，感受以數(shù)輔形的強(qiáng)大功能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).4.目標(biāo)檢測(cè)，整理所學(xué)檢測(cè)1函數(shù)f（x）=-x3-3x+5的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.0

B.1

C.2

D.無數(shù)個(gè)檢測(cè)2已知函數(shù)f（x）的圖像是連續(xù)不斷的，對(duì)應(yīng)值如表3所示，那么函數(shù)在[1，6]上的零點(diǎn)至少有個(gè).檢測(cè)3已知函數(shù)f（x）=|x2-4|-a，若y=f（x）有四個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.設(shè)計(jì)意圖檢測(cè)1是鞏固利用幾何和代數(shù)方法解決零點(diǎn)問題;檢測(cè)2是零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用;檢測(cè)3是零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用，這三道題目能培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)及核心素養(yǎng).5.反思悟道，內(nèi)化所學(xué)從知識(shí)、思想、生活實(shí)際來談?wù)勛约旱氖斋@.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生發(fā)言，開放式地探討、補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)，從知識(shí)到思想、素養(yǎng)、能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系.6.作業(yè)設(shè)置，課外延續(xù)作業(yè)1（基礎(chǔ)性）已知函數(shù)f（x）=|x2-4|-a，試探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與a的關(guān)系.作業(yè)2（拓展性）已知函數(shù)f（x）=|x2-4|，關(guān)于x的方程[f（x）]2-4f（x）+k=0，嘗試探究該方程解的個(gè)數(shù)與k的關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖作業(yè)1進(jìn)一步鞏固學(xué)生課堂所學(xué)，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力;作業(yè)2讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探究討論，可以從不同角度探究，如化歸成簡單函數(shù)或利用現(xiàn)代信息科技作圖解決等.七、教學(xué)評(píng)價(jià)學(xué)生不僅是學(xué)習(xí)的主體，而且是教學(xué)的資源，是課堂生活的共同創(chuàng)造者.基于數(shù)學(xué)抽象的概念課的教學(xué)研究要從整體上把握概念，突出概念之間的相互聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，精心設(shè)計(jì)好思維的導(dǎo)航圖和生長鏈，從微觀上把握好概念獲取的生長路徑和關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).在本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)研究方程解的情況，從而使原來無法解決的問題轉(zhuǎn)化為可解的問題，體現(xiàn)了用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題、用新觀點(diǎn)看待舊事，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).在利用函數(shù)圖像與性質(zhì)探究函數(shù)零點(diǎn)問題時(shí)，學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的觀察、判斷有一定的難度，需要教師加強(qiáng)指導(dǎo);學(xué)生能夠明確地感受到函數(shù)零點(diǎn)存在時(shí)的圖像特征，但不會(huì)用數(shù)學(xué)語言來描述，這就需要教師通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)模仿、歸納、抽象的過程，促使他們把幾何語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教師準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容等，利用合理的教學(xué)情境與素材，借助各種教學(xué)形式，去落實(shí)教學(xué)目標(biāo).教師應(yīng)該不斷學(xué)習(xí)、探索，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，開發(fā)出符合學(xué)生認(rèn)知