2022年北京第二十七中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年北京第二十七中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用與球心距離為的截面去截球，所得截面的面積為，則球的表面積為

A、

B、

C、

D、

參考答案：D2.已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，且有a4a6=4a72，則a3=（）A．B．C．1D．2參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由a4a6=4a72可得a12q8=4a12q12，解方程求得q2=，再根據(jù)a3=a1q2求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a4a6=4a72，可得a12q8=4a12q12，∴q2=．∴a3=a1q2=2×=1．故選：C．3.直線過(guò)點(diǎn)，在軸上的截距取值范圍是，其斜率取值范圍是

A、

B、或

C、或

D、或參考答案：D4.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an等于()A．4n－1

B．2n－1－1 C．2n＋1

D．2n－1參考答案：D

5.已知tanα＝2，則＝()A.

B．－

C.

D.參考答案：D略6.（5分）已知兩組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的平均數(shù)為h，y1，y2，…ym的平均數(shù)為k，則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為（） A． B． C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 首先根據(jù)所給的兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)和平均數(shù)做出這兩組數(shù)據(jù)的和，把兩組數(shù)據(jù)合成一組以后，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是m+n，要求兩組數(shù)據(jù)合成一組的平均數(shù)，只要用兩組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)即可．解答： ∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的平均數(shù)為h，y1，y2，…ym的平均數(shù)為k，∴第一組數(shù)據(jù)的和是nh，第二組數(shù)據(jù)的和是mk，把兩組數(shù)據(jù)合成一組以后，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是m+n，所有數(shù)據(jù)的和是nh+mk，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查平均數(shù)的做法和意義，實(shí)際上這是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)的做法，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．7.數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為若則等于…(

)A.1

B.

C. D.參考答案：B8.圖中陰影部分表示的集合是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.若數(shù)列滿(mǎn)足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為.已知數(shù)列滿(mǎn)足則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

（

）

A.若則可以取3個(gè)不同的值B.若數(shù)列是周期為3的數(shù)列C.對(duì)于任意的正整數(shù)T且,存在，使得是周期為T(mén)的數(shù)列D.存在有理數(shù)且使得數(shù)列是周期數(shù)列參考答案：D略10.

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（

）

（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關(guān)于x的函數(shù)y=（t∈R）的定義域?yàn)镈，存在區(qū)間[a，b]?D，f（x）的值域也是[a，b]．當(dāng)t變化時(shí)，b﹣a的最大值=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根．由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韋達(dá)定理可得b﹣a==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得b﹣a的最大值．【解答】解：關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）==（1﹣t）﹣的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），且函數(shù)在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函數(shù)．故有a=f（a），且b=f（b），即a=，b=．即a2+（t﹣1）a+t2=0，且b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根．由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)為y=1，不滿(mǎn)足條件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韋達(dá)定理可得b﹣a==，故當(dāng)t=﹣時(shí)，b﹣a取得最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的定義域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．12.設(shè)(其中a，b，c為常數(shù)，x∈R)，若f(－2013)＝－17，則f(2013)＝________．參考答案：31略13.定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與的圖像交于點(diǎn)P2,則線段PP2的長(zhǎng)為

.參考答案：14.方程有兩個(gè)不同的解，則的取值范圍是參考答案：a<1,或a=5/415.（5分）函數(shù)f（x）=x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于

．參考答案：4考點(diǎn)： 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)函數(shù)的開(kāi)口方向，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最大值．解答： 因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為x=2?[﹣1，1]，所以函數(shù)在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值4．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，注意對(duì)稱(chēng)軸與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．16.已知||=1，=（1，），（﹣）⊥，則向量a與向量的夾角為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】求出，代入夾角公式計(jì)算．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）?=0，即==1，∵||==2，∴cos＜＞==．∴＜＞=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的夾角計(jì)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．17.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則的值在之間的概率為_(kāi)________;參考答案：試題分析：本題考察的是幾何概型中的長(zhǎng)度問(wèn)題，由且，求得，從而得到所求概率.考點(diǎn)：解三角不等式及幾何概型.

16.側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______．【答案】，【解析】【分析】側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，說(shuō)明三棱錐是正方體的一個(gè)角，把三棱錐擴(kuò)展為正方體，他們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線，求出直徑，即可求出表面積?！驹斀狻總?cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐其實(shí)就是棱長(zhǎng)為的正方體的一角，所以球的直徑就是正方體的對(duì)角線，所以球的半徑為，該球的表面積為【點(diǎn)睛】此類(lèi)特殊的三個(gè)面都是直角的三棱錐可以看著是正方體或者長(zhǎng)方體的頂角，求三棱錐的外接球直徑轉(zhuǎn)換為求立方體的體對(duì)角線，求表面積或者體積實(shí)際就是在求外接球半徑。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖（1），邊長(zhǎng)為的正方形中，分別為上的點(diǎn)，且，現(xiàn)沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)。（1）求證：；（2）求四面體體積的最大值。參考答案：（1）證明：折疊前，，折疊后又，所以平面，因此。

-------4分（2）解：設(shè)，則。因此，

-------8分.所以當(dāng)時(shí)，四面體體積的最大值為。

-------12分略19.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某校學(xué)生上學(xué)路程所需要時(shí)間全部介于0與50之間（單位：分鐘）．現(xiàn)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，按上學(xué)所學(xué)時(shí)間分組如下：第1組(0,10]，第2組(10,20]，第3組(20,30]，第4組(30,40]，第5組(40,50]，得打如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的值．（Ⅱ）若從第3，4，5組中用分成抽樣的方法抽取6人參與交通安全問(wèn)卷調(diào)查，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從這6人中隨機(jī)抽取2人參加交通安全宣傳活動(dòng)，求第4組至少有1人被抽中的概率．參考答案：見(jiàn)解析（Ⅰ），．（Ⅱ）第組人數(shù)為人，第組人數(shù)為人，第組人數(shù)為人，∴比例為，∴第組，組，組各抽，，人．（Ⅲ）記組人為，，，組人為，，組人為，共有種，符合有：種，∴．20.在參加某次社會(huì)實(shí)踐的學(xué)生中隨機(jī)選取40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組：第一組，成績(jī)大于等于40分且小于50分；第二組，成績(jī)大于等于50分且小于60分；……第六組，成績(jī)大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．在選取的40名學(xué)生中．（Ⅰ）求的值及成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)．（Ⅱ）從成績(jī)小于60分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生，求最多有1名學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[50,60)內(nèi)的概率．參考答案：見(jiàn)解析（Ⅰ）．（Ⅱ）有人，有人，兩名學(xué)生都在概率為：，∴．21.已知α和β均為銳角，且sinα=，cosβ=．（1）求sin（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．參考答案：【考點(diǎn)】GR：兩角和與差的正切函數(shù)；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角的正弦公式求得sin（α+β）的值．（2）由（1）求得tanα和tanβ的值，再利用兩角差的正切公式求得tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵已知α和β均為銳角，且sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=．（2）由（1）可得tanα==，tanβ==，∴tan（α﹣β）===．22.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的定義域；⑵討論函數(shù)f(x)的奇偶性；⑶判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義證明.參考答案：（1）使得函數(shù)有意義，則有,-解得：.-------------------------2分所以函數(shù)的定