2022年度江蘇省無(wú)錫市哈佛女子高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年度江蘇省無(wú)錫市哈佛女子高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，則C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是

(

)

參考答案：A略2.5分）若集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，則?U（M∪N）是（） A． {1，2，3} B． {4} C． {1，3，4} D． {2}參考答案：B考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專(zhuān)題： 集合．分析： 由并集、補(bǔ)集的運(yùn)算分別求出M∪N、?U（M∪N）．解答： 因?yàn)镸={1，2}，N={2，3}，所以M∪N={1，2，3}，又集合U={1，2，3，4}，則?U（M∪N）={4}，故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)1<a<b<a2，則在四個(gè)數(shù)2，logab，logba，logaba2中，最大的和最小的分別是（

）（A）2，logba

（B）2，logaba2

（C）logab，logba

（D）logab，logaba2參考答案：A4.若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，則（）A．f（﹣1.5）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（﹣1）＜f（﹣1.5）＜f（2） C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣1.5） D．f（2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1）參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性把f（2）、f（﹣1.5）、f（﹣1）轉(zhuǎn)化到區(qū)間（﹣∞，﹣1]上進(jìn)行比較即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，又﹣2＜﹣1.5＜﹣1≤﹣1，所以f（﹣2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1），又f（x）為偶函數(shù)，所以f（2）＜f（﹣1.5）＜f（﹣1）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)把f（2）、f（﹣1.5）、f（﹣1）轉(zhuǎn)化到區(qū)間（﹣∞，﹣1]上解決．5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是定義域上單調(diào)遞減的函數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.圓心為點(diǎn)，并且截直線所得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程（

）A. B.C. D.參考答案：B分析】設(shè)圓的半徑為r，由題意可得弦心距，求得，代入可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹斀狻繄A心到直線的距離，在直線上截的的弦長(zhǎng)為8圓的半徑圓的方程為故選：B【點(diǎn)睛】求出圓心到直線的距離，可得圓的半徑，即可求出圓的方程。7.形如的函數(shù)因其函數(shù)圖象類(lèi)似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動(dòng)地稱(chēng)為“囧函數(shù)”.若函數(shù)且有最小值，則當(dāng)時(shí)的“囧函數(shù)”與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1

B．2

C．4

D．6參考答案：C8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若，則△ABC的面積是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B9.若圓中一段弧長(zhǎng)正好等于該圓外切正三角形的邊長(zhǎng)，設(shè)這段弧所對(duì)的圓心角是，則的值所在的區(qū)間為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，則直線sinAx+ay+c=0與sinBx+by=0的位置關(guān)系是（）A．相交 B．重合 C．垂直 D．平行參考答案：D【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和直線的斜率的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．【解答】解：∵直線sinAx+ay+c=0的斜率k1=﹣，直線sinBx+by=0的斜率k2=﹣，∴得到兩直線方程斜率相同，常數(shù)項(xiàng)不相等，得到兩直線的位置關(guān)系是平行；故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等腰△ABC的頂角A=，|BC|=2，以A為圓心，1為半徑作圓，PQ為該圓的一條直徑，則?的最大值為

．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用平面向量的三角形法則，將，分別AP，AC，AB對(duì)應(yīng)的向量表示，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，得到關(guān)于夾角θ的余弦函數(shù)解析式，借助于有界性求最值即可．【解答】解：如圖：由已知==；故答案為：．12.函數(shù)f（x）=ax﹣3﹣3（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

．參考答案：（3，﹣2）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖像變換．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令x﹣3=0，由函數(shù)的解析式求得x和y的值，可得函數(shù)f（x）=ax﹣2﹣3的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：令x﹣3=0，由函數(shù)的解析式求得x=3、且y=﹣2，故函數(shù)f（x）=ax﹣2﹣3的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（3，﹣2），故答案為：（3，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．13.記號(hào)表示ab中取較大的數(shù)，如.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___▲___.

參考答案：由題意，當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)令，解得，此時(shí)，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)的圖象如圖所示，要使得，根據(jù)圖象的平移變換，可得且，解得且，即且.

14.若函數(shù)f（x）=x2+mx﹣2在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：m≥﹣4【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+mx﹣2的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為：x=﹣，函數(shù)f（x）=x2+mx﹣2在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，可得：，解得：m≥﹣4．故答案為：m≥﹣4．15.給出下列四個(gè)判斷：①在定義域上單調(diào)遞減；②函數(shù)f（x）=2x﹣x2恰有兩個(gè)零點(diǎn)；③函數(shù)有最大值1；④若奇函數(shù)f（x）滿足x＜0時(shí)，f（x）=x2+x，則x＞0時(shí)，f（x）=﹣x2+x．其中正確的序號(hào)是．參考答案：③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①在定義域上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤，比如﹣1＜1，但f（﹣1）＞f（1）不成立，故①錯(cuò)誤；②由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，分別作出函數(shù)y=2x和y=x2的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=2x﹣x2恰有3個(gè)零點(diǎn)；故②錯(cuò)誤，③函數(shù)≤（）0=1，即函數(shù)有最大值1；故③正確，④若奇函數(shù)f（x）滿足x＜0時(shí)，f（x）=x2+x，則x＞0時(shí)，﹣x＜0，即f（﹣x）=x2﹣x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2+x，x＜0．故④正確，故正確是結(jié)論是③④，故答案為：③④【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．16.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，，則__________．參考答案：原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類(lèi)型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.17.在△中，三邊所對(duì)的角分別為，若，則＝

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參考答案：或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）設(shè)f(x)＝，若0＜a＜1，試求：(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值參考答案：19.（本小題共8分）

已知cos（－）＝，sin（＋）＝－，∈（，），∈（0，），求sin（＋）的值。

參考答案：解：因?yàn)椤剩?，），∈?，），所以－∈（－，0），＋∈（，）.又cos（－）＝，sin（＋）＝－，

2分所以sin（－）＝－，cos（＋）＝－.

4分因?yàn)閟in（＋＋）＝sin[（＋）－（－）]

6分＝sin（＋）cos（－）－cos（＋）sin（－）＝（－）·－（－）（－）＝－，所以sin（＋）＝－sin（＋＋）＝.

8分20.（12分）（2015秋?長(zhǎng)沙校級(jí)期中）．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若a＞k，比較（lna）0.7與（lna）0.6的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．

【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性通過(guò)k∈N*，求出k的值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式．（2）利用指數(shù)函數(shù)y=（lna）x的性質(zhì)，把不等式大小比較問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同底的冪比較大小，即可得出答案．【解答】解：（1）冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因?yàn)閗∈N*，所以k=1，2；且冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)，∴k=1，函數(shù)的解析式為：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①當(dāng)1＜a＜e時(shí)，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②當(dāng)a=e時(shí)，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③當(dāng)a＞e時(shí)，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查冪函數(shù)的基本性質(zhì)，考查不等式的大小比較，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．21.（本小題12分）已知函數(shù)y=（1）判斷函數(shù)在（1，+∞）區(qū)間上的單調(diào)性（2）求函數(shù)在區(qū)間是區(qū)間［2,6］上的最大值和最小值參考答案：解：設(shè)x1、x2是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-==.當(dāng)x=6時(shí),ymin=.略22.設(shè)函數(shù),（1）若不等式的解集為(－1,3)，求的值；（2）若，求的最小值．（3）若求不等式的解集.參考答案：（1）2；（2）；（3）分類(lèi)討論，詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)不等式與相應(yīng)的方程之間的關(guān)系得出關(guān)于的方程組，求解可得出的值；（2）由得，再代入中運(yùn)用均值不等式可求得最小值；（3）由已知將不等式化為，即，對(duì)分①，②，③，④四種情況分別討論得出不等式的解集.【詳解】（1）由不等式解集為可得：方程的兩根為，3且,由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，所以（2）由已知得,則，當(dāng)時(shí)，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）